阶段性测试(九)
[考查范围：第5章 5.1～5.2 总分：100分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是( D )
A B C D
2．下面性质中菱形有而矩形没有的是( D )
A．邻角互补 B．内角和为360°
C．对角线相等D．对角线互相垂直
3．菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则它的面积为( C )
A．6cm2B．12cm2
C．24cm2D．48cm2
4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是( C )
A．20°B．40°
C．80°D．100°
5．我们把顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．则矩形的中点四边形是( B )
A．矩形B．菱形
C．正方形D．四边形
6．如图，将边长为2cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线l翻折得到四边形ABEF，若∠DAB＝30°，则四边形CDFE的面积为( C )
A．2cm2B．3cm2
C．4cm2D．6cm2
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是__6__．
8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连结CE，则CE的长为____．
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连结DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝____．
第9题图 第10题图
10.如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件__AB＝BC(或BC＝2AB)__时，四边形PEMF为矩形．
三、解答题(共50分)
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11．(8分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：OE＝BC.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD＝90°，CD＝BC.
∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD.
又∵CD＝BC，∴OE＝BC.
12．(10分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.
(1)求证：四边形EBFC是菱形；
(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.
证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥CB，∴BH＝HC.
∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形．
又∵AH⊥CB，∴四边形EBFC是菱形．
(2)证明：∵四边形EBFC是菱形，
∴∠ECH＝∠HCF＝∠ECF.
∵AB＝AC，AH⊥CB，
∴∠CAH＝∠BAC.
∵∠BAC＝∠ECF，
∴∠HCF＝∠HAC
∵AH⊥CB，
∴∠HAC＋∠ACE＋∠ECH＝90°，
∴∠HCF＋∠ACE＋∠ECH＝90°.∴∠ACF＝90°.
即AC⊥CF.
13．(10分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连结各边中点得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是矩形.
解：(1)证明：
∵点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF綊AC，GH綊AC，
∴EF綊GH，同理EH綊FG.
∴四边形EFGH是平行四边形；
4
又∵对角线AC，BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形．
14．(10分)准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，由折叠可得：
∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB，
∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，
∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．
(2)解：∵四边形BFDE为菱形，
∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°.∵∠A＝90°，AB＝2，
∴AE＝＝，BF＝BE＝2AE＝，
∴菱形BFDE的面积为×2＝.
15．(12分)已知，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AD，OA，BC，OC的中点．
(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)当BC＝AB时，判断四边形EFGH为何种特殊四边形，并证明．
第15题图 第15题答图
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB.
∵E，F分别是AD，OA的中点，
∴EF是△AOD的中位线，∴EF綊OD.
同理得到GH是△BOC的中位线，
则GH綊OB，
∴EF綊GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
(2)平行四边形EFGH为矩形．理由如下：
如图，连结EG.
∵点E，G是AD，BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴EG⊥BC，且点O在线段EG上，∠ABC＝90°.
∵BC＝AB，∴AC2＝AB2＋BC2＝AB2＋(AB)2＝4AB2，∴AB＝AC.
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∴∠ACB＝30°，
∴OG＝OC＝OH，即OG＝OH.
又∵由(1)知，四边形EFGH为平行四边形，
∴2OG＝2OH，即EG＝FH，∴平行四边形EFGH为矩形.
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