第十七讲 矩形、菱形与正方形
(时间：60分钟)
一、选择题
1.如图,设M表示平行四边形,N表示矩形,P表示菱形,Q表示正方形,则下列四个图形中,能表示它们之间关系的是( A )
2.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,则∠1＋∠2＋∠3的度数为( A )
A.150° B.120° C.90° D.180°
,(第2题图) ,(第3题图)
3.如图,在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝6,AC＝8,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为( C )
A.4 B.4.4 C.4.8 D.5
4.如图,平行四边形ABCD的顶点B、D都在反比例函数y＝(x＞0)的图象上,点D的坐标为(2,6),AB平行于x轴,点A的坐标为(0,3),将这个平行四边形向左平移2个单位,再向下平移3个单位后点C的坐标变为( B )
A.(1,3) B.(4,3)
C.(1,4) D.(2,4)
,(第4题图) ,(第5题图)
5.已知坐标平面上有一长方形ABCD,其坐标分别为A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),现固定点B并将此长方形按顺时针方向旋转,如图所示.若旋转后点C的坐标变为(3,0),则旋转后点D的坐标变为( D )
A.(2,2) B.(2,3)
C.(3,3) D.(3,2)
6.如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C′处,点B落在点B′处,其中AB＝9,BC＝6,则FC′的长为( D )
A. B.4 C.4.5 D.5
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二、填空题
7.已知菱形的两条对角线长分别是6和8,则这个菱形的面积为__24__.
8.如图,矩形ABCD中,如果以AB为直径的⊙O沿着BC滚动一周,点B恰好与点C重合,那么的值等于__3.14__.(结果保留两位小数)
9.已知：如图,菱形ABCD的边长为4,∠A＝60°,以点A为圆心,AD长为半径画弧,以点B为圆心,BC长为半径画弧,则图中阴影部分的周长是__π＋4__.
,(第9题图) ,(第11题图)
10.菱形ABCD中,∠A＝60°,其周长为24 cm,则菱形ABCD的面积为__18__cm2.
11.如图,在矩形ABCD中,AB＝,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是____.
三、解答题
12.如图,E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点,AE＝CF,求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,AD＝BC.
又∵AE＝CF,
∴AD－AE＝BC－CF,即ED＝BF.
而ED∥BF,
∴四边形BFDE为平行四边形,
∴BE＝DF(平行四边形对边相等).
13.已知：如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝CD,E是对角线BD上一点,且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC,且∠CBE∶∠BCE＝2∶3,求证：四边形ABCD是正方形.
证明：(1)在△ADE与△CDE中,
∵AD＝CD,
DE＝DE,
EA＝EC,
∴△ADE≌△CDE(S.S.S.),
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∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC,
∴∠ADE＝∠CBD,∴∠CDE＝∠CBD,
∴BC＝CD.
∵AD＝CD,∴BC＝AD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵AD＝CD,∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵BE＝BC,∴∠BCE＝∠BEC.
∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3,
∴∠CBE＝180°×＝45°.
∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABC＝90°,
∴四边形ABCD是正方形.
14.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A、B两点的纵坐标分别为3、1,反比例函数y＝的图象经过A、B两点,则菱形ABCD的面积为( D )
A.2 B.4 C.2 D.4
,(第14题图) ,(第15题图)
15.如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连结AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E.若DE＝DC＝1,AE＝2EM,则BM的长为____.
16.(2018·台州中考)如图,在正方形ABCD中,AB＝3,点E、F分别在CD、AD上,CE＝DF,BE、CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,则△BCG的周长为__＋3__.
17.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△COD关于CD的对称图形为△CED.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)连结AE,若AB＝6 cm,BC＝ cm.
①求sin ∠EAD的值；
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②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合),连结OP,一动点Q从点O出发,以1 cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以1.5 cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A,到达点A后停止运动,当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时,求AP的长和点Q走完全程所需的时间.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴OD＝OB＝OC＝OA.
∵△CED和△COD关于CD对称,∴DE＝DO,CE＝CO,
∴DE＝EC＝CO＝OD,
∴四边形OCED是菱形；
(2)①设AE交CD于K.
∵四边形CODE是菱形,
∴DE∥AC,DE＝OC＝OA,∴＝＝.
∵AB＝CD＝6,∴DK＝2,CK＝4.
在Rt△ADK中,AK＝＝＝3,
∴sin ∠EAD＝＝；
②作PF⊥AD于F.易知PF＝AP·sin ∠DAE＝AP.
∵点Q的运动时间t＝＋＝OP＋AP＝OP＋PF,
∴当O、P、F共线时,OP＋PF的值最小,此时OF是△ACD的中位线,
∴OF＝CD＝3,AP＝DK＝,
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时,AP的长为,点Q走完全程所需的时间为3 s.
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18.已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
(1)如图①,E、G分别是OB、OC上的点,CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE,求证：OE＝OG；
(2)如图②,H是BC上的点,过点H作EH⊥BC,交线段OB于点E,连结DH交CE于点F,交OC于点G.若OE＝OG.
①求证：∠ODG＝∠OCE；
②当AB＝1时,求CH的长.
(1)证明：图①中,∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OD＝OC,
∴∠DOG＝∠COE＝90°,
∴∠OEC＋∠OCE＝90°.
∵DF⊥CE,∴∠OEC＋∠ODG＝90°,
∴∠ODG＝∠OCE,
∴△DOG≌△COE(A.S.A.),
∴OE＝OG；
(2)证明：①图②中,∵OG＝OE,∠DOG＝∠COE＝90°,OD＝OC,∴△ODG≌△OCE(S.A.S.),
∴∠ODG＝∠OCE；
②解：设CH＝x.
∵四边形ABCD是正方形,AB＝1,
∴BH＝1－x,∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°.
∵EH⊥BC,∴∠BEH＝∠EBH＝45°,
∴EH＝BH＝1－x.
∵∠ODG＝∠OCE,∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE,∴∠HDC＝∠ECH.
∵EH⊥BC,∴∠EHC＝∠HCD＝90°,
∴△CHE∽△DCH,∴＝,
∴CH2＝EH·CD,∴x2＝(1－x)·1,
解得x＝或(舍去),
∴CH＝.
19.如图,在菱形ABCD中,∠ABC＝120°,AB＝10 cm,
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点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、A(P、A两点不重合)两点间的最短距离为__(10－10)__cm.
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