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2018—2019学年度第二学期期中联考
高 一 数 学 试 卷
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1、考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试卷上无效。
3、考试结束后，只交答题卡。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知是锐角，那么2是
A．第一象限 B．第二象限 C．小于的正角 D．第一象限或第二象限
2．下列三角函数的值大于零的是
A． B． C． D．
3．下列命题成立的是
A．若是第二象限角，则 B．若是第三象限角，则
C．若是第四象限角，则 D．若是第三象限角，则
4．下列等式成立的是
A． B．
C． D．
5．下列定义在上的四个函数与其对应的周期T不正确的一组是
A． B．
C． D．
6．下列关于函数的单调性的叙述，正确的是
A．在上是增函数，在上是减函数
B．在上是增函数，在和上是减函数
C．在上是增函数，在上是减函数
D．在上是增函数，在上是减函数
7．下列不等式中，正确的是
①
②
③
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
8．为了得到的图象，只需把余弦曲线上的所有点
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为
A． B． C． D．
10．已知，，那么的值为
A． B． C． D．
11．函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
12．在中，则的解的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
二、填空题（本题共4小题，每小题5分共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）
13．若，则与的夹角为 ▲ ．
14．在中，，则最短边长等于 ▲ ．
15．等腰三角形一个底角的余弦为，那么顶角的余弦值为 ▲ ．
16．已知，那么的值为 ▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。
17．（本小题满分10分）
如图，在中，已知，边所夹的角为．
A
B
C
（1）关系式是否成立；
（2）证明或者说明（1）中你的结论．
18．（本小题满分12分）
设函数．
（1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；
（2）不画图，说明函数的图象可由的图象经过怎样的变化得到．
19．（本小题满分12分）
已知．
（1）请通过降幂化简；
（2）求函数在上的最小值并求当取最小值时的值．
20．（本小题满分12分）
在中，角对应的边分别是，已知．
（1）求角的大小；
（2）若的面积求的值．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，求的最小值．
22．（本小题满分12分）
如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）．
（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角（设为）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由．
天门市2018-2019学年度第二学期期中考试试题
高 一 数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1、考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试卷上无效。
3、考试结束后，只交答题卡。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知是锐角，那么2是 C
A．第一象限 B．第二象限 C．小于的正角 D．第一象限或第二象限
2．下列三角函数的值大于零的是 B
A． B． C． D．
3．下列命题成立的是 D
A．若是第二象限角，则 B．若是第三象限角，则
C．若是第四象限角，则 D．若是第三象限角，则
4．下列等式成立的是 C
A． B．
C． D．
5．下列定义在上的四个函数与其对应的周期T不正确的一组是 A
A． B．
C． D．
6．下列关于函数的单调性的叙述，正确的是 B
A．在上是增函数，在上是减函数
B．在上是增函数，在和上是减函数
C．在上是增函数，在上是减函数
D．在上是增函数，在上是减函数
7．下列不等式中，正确的是 A
①
②
③
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
8．为了得到的图象，只需把余弦曲线上的所有点 C
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 C
A． B． C． D．
10．已知，，那么的值为 B
A． B． C． D．
11．函数的单调递增区间是 D
A． B．
C． D．
12．在中，则的解的个数为 C
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
二、填空题（本题共4小题，每小题5分共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）
13．若，则与的夹角为 ▲ ． 或
14．在中，，则最短边长等于 ▲ ．
15．等腰三角形一个底角的余弦为，那么顶角的余弦值为 ▲ ．
16．已知，那么的值为 ▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。
17．（本小题满分10分）
A
B
C
如图，在中，已知，边所夹的角为．
（1）关系式是否成立；
（2）证明或者说明（1）中你的结论．
解：（1）中关系式是成立的……………………………………3分
（2）证明：如图，设……………5分
则……………………………………6分
…………………9分
∴ …………………10分
18．（本小题满分12分）
设函数．
（1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；
（2）不画图，说明函数的图象可由的图象经过怎样的变化得到．
解：（1）因为
……………………………4分
所以当时，取最小值
此时的取值集合为……………………………………8分
（2）先将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图象；再将的图象上所有的点向左平移个单位，得到
的图象………………………………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
已知．
（1）请通过降幂化简；
（2）求函数在上的最小值并求当取最小值时的值．
解： （1）…………………………2分
……………………………………………4分
…………………………………………………………………8分
（2）由，得
∴当，即时，的最小值为 ……………12分
20．（本小题满分12分）
在中，角对应的边分别是，已知．
（1）求角的大小；
（2）若的面积求的值．
解：（1）由，
得……………………………………………………2分
即
解得或（舍去）………………………………………4分
因为，所以…………………………………………………6分
（2）由，
得……………………………………………………8分
由余弦定理得
故……………………………………………………………………10分
从而由正弦定理得
…………………12分
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，求的最小值．
解：（1）∵，又，
∴……………………………………………………………2分
∴ ①
又∵
∴ ②……………………………………………………4分
由①②得，
∴，∴
当时，（舍去）
当时，
∴，∴………………………………………………6分
（2）由（1）可知
∴当时，………………………………………12分
22．（本小题满分12分）
如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离
SA按米处理）．
（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角（设为）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图，作，依题意
又，故在中，可求得
………………………………………………………2分
即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米 ……………………………………5分
在中，，，
，
又，故，
即立柱的高度米…………………………………………………………7分
（2）存在 …………………………………………………………………………………8分
因为，
所以
于是得，从而
又为锐角，
故当视角取最大值时，………………………………………12分
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