成都外国语学校2018－2019学年度下期期中考试
高一数学试卷(理)
注意事项：
1、 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
2、 本堂考试时间120分钟，满分150分
3、 答题前，请考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卷上，并用2B铅笔填涂
4、 考试结束后，请考生将答题卷交回
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。
1.一个三角形的三个内角的度数成等差数列，则的度数为 （ ）
A. B. C. D.
2.数列，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝C．an＝－D．an＝1－
3.下面关于等比数列和公比叙述正确的是（ ）
A.为递增数列 B.为递增函数
C.为递减数列D.为递增函数列且为递增函数
4.在△ABC中角所对的边分别为以下叙述或变形中错误的是( )
A．，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．a＝b⇔sin2A＝sin2B
C．＝D．
5.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形
6.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α−β)＝−，则tanβ＝( )
A、B、3C、D、
7.设是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错
第 8 页 共 8 页（理）
误的是（ ）
A．d＜0 B．a7＝0C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
8.在中，已知则此三角形有几个解 ( )
A．0 B．1 C．2 D．不确定
9.在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则下列关系一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
10.已知，且，则（）
A． B． C． D．
11.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（ ）
A． B．
C． D．
12.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足 （ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
第 8 页 共 8 页（理）
13.在中角所对的边分别为，若则
14.设为数列的前项和，已知
则___________
15.已知非零平面向量a，b满足|b|=1，且a与b-a的夹角为150°，则|a|的最大值为____________
16.已知的三个内角的对边分别为，满足，且，则的值为__________
三、解答题(本大题共6个小题，共70分)：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.(本题满分10分)已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
18．(本题满分12分)已知sin α＋cos α＝，，，
(1)求sin2α和tan2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
19.设正项等比数列中，，且的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；
第 8 页 共 8 页（理）
（2）若，数列的前项和为，数列满足，记为数列的前项和，求.
20.(本题满分12分)已知各项均为正数的等差数列的前三项的和为27，且满足，数列的前项和为，且对一切正整数，点都在函数的图象上.
(I)求数列和的通项公式；
(II)设，求数列的前项和为；
21.(本题满分12分)数列的前项和为
（1）若为等差数列，求证：；
（2）若，求证：为等差数列.
22.(本题满分12分)在中，是的内角，向量，且
（I）求角；（II）求的面积.
成都外国语学校2018－2019学年度下期期中考试
高一数学试卷(理)参考答案
一、选择题：CCDBC BCBBC DC
二、填空题13.；14.；15.2；16.
第 8 页 共 8 页（理）
三、解答题(本大题共6个小题，共70分)：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.(本题满分10分)已知函数
(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最大值和最小值．
【解析】（1）
…………………………………2分
……………………………………………………4分
所以函数的最小正周期…………………………………………5分
（2）因为，所以………………………………6分
当时，即是………………………………8分
当时，即是………………………………10分
18．(本题满分12分)已知sin α＋cos α＝，，，
(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．
【解析】(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，即1＋sin 2α＝，∴sin2α＝.……3分
又2α∈，∴cos 2α＝＝
∴tan 2α＝＝.…………………………………………6分
(2)∵，
又∴，
于是
又，∴cos 2β＝－，
又∵，∴sin 2β＝………………………………9分
第 8 页 共 8 页（理）
又∵cos2α＝=
又，∴cos α＝，sin α＝.……………………11分
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sin α sin2β＝×－×＝－……12分
19.(本题满分12分)设正项等比数列中，，且的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，数列满足，记为数列的前项和，求.
【解析】（1）设正项等比数列的公比为
由的等差中项为可得………………3分
即则
所以…………………………………………6分
（2）……………………………………7分
则数列是以1为首项，2为公比的等差数列
于是…………………………………………8分
从而…………………………………10分
则
则…………………………………………………………………………12分
20.(本题满分12分)已知各项均为正数的等差数列的前三项的和为27，且满足，数列的前项和为，且对一切正整数，点都在函数的图象上.
(I)求数列和的通项公式；(II)设，求数列的前项和为；
【解析】（1）设等差数列的公差为，且
由题则
第 8 页 共 8 页（理）
又
则，所以…………………………………………………………3分
又……①
当时……②
由有
当时也满足上式
所以…………………………………………………………………………6分
（2）
……③
……④………………………………8分
由③-④有
则…………………………10分
…………………………………………………………12分
21.(本题满分12分)数列的前项和为.（1）若为等差数列，求证：；（2）若，求证：为等差数列.
【解析】（1）证明：已知)数列为等差数列，设其公差为，有
则
于是……①
又……②
由①②相加有即…………………………6分
（2）证明：由，有当时，，
所以， ③…………9分
， ④
④－③并整理，得，即……11分
第 8 页 共 8 页（理）
所以数列是等差数列．…………………………………………12分
22.(本题满分12分)在中，是的内角，向量，且（I）求角；（II）求的面积.
【解析】（I）
又中……………………3分
所以，有，所以…………………………………………6分
（II）在中，设角、、所对的边分别为、、
…………………………………………………………7分
又
由余弦定理有………………………………9分
所以代入中有
联立解得
所以……………………………………………………12分
第 8 页 共 8 页（理）
微信/支付宝扫码支付