19.3 正方形
1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( C )
(A)对角线相等
(B)对角线互相垂直
(C)对角线互相平分
(D)对角线平分一组对角
2.下列命题错误的是( C )
(A)对角线互相平分的四边形是平行四边形
(B)对角线相等的平行四边形是矩形
(C)一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
(D)对角线互相垂直的矩形是正方形
3.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( D )
(A)∠D=90° (B)AB=CD
(C)AD=BC (D)BC=CD
4.如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为( B )
(A)2 (B) (C) (D)1
5.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 AC=BD且AC⊥BD(答案不唯一) (填上一个条件即可).
6.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是 AC=BD或(AB⊥BC)(答案不唯一) .
7.如图,正方形ABCD的边长为2,点E在AB边上.四边形EFGB也为正方形,则△AFC的面积为 2 .
8.(2018武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数
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是 30°或150° .
9.已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A,C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB,DN分别交l2于Q,P点.求证:四边形PQMN是正方形.
证明:因为PN⊥l1,QM⊥l1,
所以PN∥QM,∠PNM=90°.
因为PQ∥NM,
所以四边形PQMN是矩形.
因为四边形ABCD是正方形,
所以∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC.
所以∠1+∠2=90°.
又∠3+∠2=90°,所以∠1=∠3.
所以△ABM≌△DAN.所以AM=DN.
同理AN=DP.所以AM+AN=DN+DP,
即MN=PN.所以四边形PQMN是正方形.
10.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求证:四边形ABCD是正方形.
证明:(1)在△ADE与△CDE中,
所以△ADE≌△CDE(S.S.S.),
所以∠ADE=∠CDE,
因为AD∥BC,
所以∠ADE=∠CBD,
所以∠CDE=∠CBD,
所以BC=CD,
因为AD=CD,
所以BC=AD,
所以四边形ABCD为平行四边形,
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因为AD=CD,
所以四边形ABCD是菱形.
(2)因为BE=BC,
所以∠BCE=∠BEC,
因为∠CBE∶∠BCE=2∶3,
所以∠CBE=180°×=45°,
因为四边形ABCD是菱形,
所以∠ABE=45°,
所以∠ABC=90°,
所以四边形ABCD是正方形.
11.(开放探究题)已知,如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并说明
理由.
(1)证明:因为AD,AN分别是∠BAC的内角、外角平分线,
所以∠BAD=∠CAD,∠CAE=∠MAE.
因为∠BAD+∠CAD+∠CAE+∠MAE=180°.
所以2∠CAD+2∠CAE=180°.
所以∠CAD+∠CAE=90°,即∠DAE=90°,
因为AD⊥BC,CE⊥AN,
所以∠ADC=∠AEC=∠DAE=90°,
所以四边形ADCE是矩形.
(2)解:当△ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形时,四边形ADCE是正方形.
理由如下:
因为△ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形,AD⊥BC,
所以∠CAD=∠BAD=45°.∠ACD=45°.
所以∠CAD=∠ACD=45°.所以AD=CD.
因为四边形ADCE是矩形,所以四边形ADCE是正方形.
12.(拓展探究题)如图,四边形ABCD,DEFG都是正方形,连结AE,CG.
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(1)求证:AE=CG;
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想.
(1)证明:因为AD=CD,DE=DG,
∠ADC=∠GDE=90°,
又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE,
所以△ADE≌△CDG.
所以AE=CG.
(2)解:猜想:AE⊥CG.
证明:如图,
设AE与CG交点为M,AD与CG交点为N.
由(1)得△ADE≌△CDG,
所以∠DAE=∠DCG.
又因为∠ANM=∠CND,
所以∠CND+∠DCN=90°,
即∠ANM+∠DAE=90°,
所以∠AMN=∠ADC=90°.
所以AE⊥CG.
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