第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩 形
1.矩形的性质
1.如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C′处,点B落在点B′处,其中AB=9,BC=6,则FC′的长为( D )
(A) (B)4 (C)4.5 (D)5
2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=
6 cm,则AB的长是( A )
(A)3 cm (B)6 cm
(C)10 cm (D)12 cm
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,EF∥BC,
DE∥CA.若四边形CDEF周长是y,DE是x,DC是10,则y与x之间的函数表达式是( B )
(A)y=x+10 (B)y=2x+20
(C)y=10x (D)y=
4.(整体思想)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )
(A)4.8 (B)5
(C)6 (D)7.2
4
5.如图,在矩形ABCD中,AB>BC,点E,F,G,H分别是边DA,AB,BC,CD的中点,连结EG,FH,则图中矩形共有 9 个.
6.(2018常德)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知∠DGH=30°,连结BG,则∠AGB= 75° .
7.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 3 .
8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= 22.5 度.
9.(2018广东)如图,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连结DE.
(1)求证:△ADE≌△CED;
(2)求证:△DEF是等腰三角形.
证明:(1)因为四边形ABCD是矩形,
所以AD=BC,AB=CD.
由折叠的性质得BC=CE,AB=AE.
所以AD=CE,AE=CD.
因为DE=ED,
所以△ADE≌△CED.
(2)因为△ADE≌△CED,
所以∠DEF=∠EDF.
所以EF=DF.
4
所以△DEF是等腰三角形.
10.(2018北京东城区期末)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=9,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF.
(1)求证:BE=BF;
(2)求BE的长.
(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以AD∥BC.
所以∠DEF=∠EFB.
根据折叠的性质得∠BEF=∠DEF.
所以∠BEF=∠EFB.
所以BE=BF.
(2)解:因为四边形ABCD是矩形,
所以∠A=90°.
由折叠的性质得BE=ED.
设BE=x,则AE=9-x.
因为AE2+AB2=BE2,
所以(9-x)2+32=x2.
解得x=5.所以BE=5.
11.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动,速度为1 cm/s,点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动,速度为2 cm/s,如果动点E,F同时从A,B两点出发,连结EF,DE,DF,若设运动的时间为t s,解答下列问题:
(1)当t为何值时,△BEF为等腰直角三角形?
(2)是否存在某一时刻t,使△DCF为等腰直角三角形?
解:(1)根据题意,得AE=t cm,BF=2t cm.
所以BE=(6-t)cm.
因为四边形ABCD是矩形,
所以∠B=90°.
因为要使△BEF为等腰直角三角形,应有BE=BF,
所以6-t=2t.所以t=2.
所以当t=2时,△BEF为等腰直角三角形.
(2)根据题意,得BF=2t cm.所以CF=(12-2t)cm.
因为四边形ABCD是矩形,所以∠C=90°.
因为要使△DCF为等腰直角三角形,应有CF=DC,
所以12-2t=6.所以t=3.
所以当t=3时,△DCF为等腰直角三角形.
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12.(方程思想)如图,矩形ABCD中,AB长6 cm,对角线比AD边长2 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
解:设AD=x cm,则对角线长为(x+2) cm,在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD2+AB2=BD2,
所以x2+62=(x+2)2,解得x=8.
则AD=8 cm,DB=8+2=10(cm).
在Rt△ABD中有,
=,
而DB=10 cm,AD=8 cm,AB=6 cm,
所以AE===4.8(cm).
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