2019年上海市高考冲刺数学试卷.docx

‎2019年上海市高考冲刺数学试卷 副标题 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 已知直线a，如果直线b同时满足条件①a与b异面；②a与b成定角；③a与b的距离为定值．则这样的直线b（　　）‎ A. 唯一确定 B. 有2条 C. 有4条 D. 有无数条 2. 已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）•f（y）并且f（1）=1，那么：‎(f(1)‎‎)‎‎2‎f(1)‎‎+‎(f(2)‎‎)‎‎2‎f(3)‎+‎(f(3)‎‎)‎‎2‎f(5)‎+…+‎‎(f(1010)‎‎)‎‎2‎f(2019)‎的值为（　　）‎ A. 2019 B. 1010 C. 4038 D. 3030‎ 3. 对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）-f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．判断下列函如①f（x）=2x+1；②f（x）=x2+2x+1；③f（x）=2x； ④f(x)=sin(x+‎3π‎4‎)‎中是“位差奇函数”的有（　　）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 4. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为-‎1‎‎3‎，其前n项和记为Sn，若对任意的n∈N*，均有A≤3Sn-‎1‎Sn≤B恒成立，则B-A的最小值为（　　）‎ A. ‎7‎‎2‎ B. ‎9‎‎4‎ C. ‎11‎‎4‎ D. ‎‎13‎‎6‎ 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）‎ 5. 已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=______．‎ 6. 抛物线y2=4x的焦点坐标是______．‎ 7. 若向量a，b满足‎|a|=1，|b|=2‎且a与b的夹角为π‎3‎，则‎|a+b|‎=______．‎ 8. 已知sin（α-π）=3cosα，则tan（π-α）=______‎ 9. 一堆零件中任取5个，称得它们的质量如下（单位：克）：126，125，122，124，128，则该样本的标准差S=______克．‎ 10. 已知△ABC周长为4，sinA+sinB=3sinC，则AB=______．‎ 11. 已知直线l1：（a-3）x+（4-a）y+1=0与l2：2（a-3）x-2y+3=0平行，则a=______．‎ 12. 已知圆锥的体积为‎3‎‎3‎π，母线与底面所成角为π‎3‎，则该圆锥的侧面积为______．‎ 13. 已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若对任意的k∈N*，都有n→∞‎lim‎(Sn−Sk+1‎)=‎ak成立，则q=______．‎ 14. 若实数x，y满足约束条件y≤xx+y≤4‎y≥k，且z=2x+y的最小值是-9，则实数k=______‎ 第13页，共13页 1. 在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线y=‎1−‎x‎2‎上一个动点，则BP•BA的取值范围是______．‎ 2. 设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=x,x∉Dx‎2‎‎,x∈D，其中集合D={x|x=n−1‎n，n∈N*}，则方程f（x）-lgx=0的解的个数是______．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）‎ 3. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°， （1）求四棱锥A1-ABCD的体积； （2）求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小． ‎ ‎ ‎ 4. 已知复数z1=sin2x+λi，z‎2‎‎=m+(m−‎3‎cos2x)i(λ，m，x∈R，)‎，且z1=z2． （1）若λ=0且0＜x＜π，求x的值； （2）设λ=f（x），已知当x=α时，λ=‎‎1‎‎2‎，试求cos(4α+π‎3‎)‎的值． ‎ 5. 某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 人数/千人 ‎2082‎ ‎2135‎ ‎2203‎ ‎2276‎ ‎2339‎ ‎2385‎ 第13页，共13页 ‎（1）根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数量的变化趋势； （2）研究人员用函数P(t)=2000+‎‎450‎‎4.4878e‎−0.6554t+1‎拟合该地的人口数量，其中t的单位是年，2014年初对应时刻t=0，P（t）P）的单位是干人，设P（t）的反函数为T（x），求T（2400）的值（精确到0.1），并解释其实际意义． ‎ 1. 双曲线Γ：x‎2‎−y‎2‎b‎2‎=1‎（b＞0）． （1）若Γ的一条渐近线方程为y=2x，求Γ的方程； （2）设F1、F2是Γ的两个焦点，P为Γ上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为9，求b的值； （3）斜率为2的直线与Γ交于A、B两点，试根据常数b的不同取值范围，求线段AB中点的轨迹方程． ‎ 2. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an2=Sn+Sn-1（n∈N*，n≥2），数列{bn}满足b‎1‎‎⋅b‎2‎…bn=‎‎2‎n(n+1)‎‎2‎（n∈N*）． （1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）设cn=‎1‎‎2‎an‎−‎‎1‎an‎⋅‎an+1‎，Tn是{cn}的前n项和，求正整数m，使得对任意的n∈N*，均有Tm≥Tn； （3）设B={x|x=k1b1+k2b2+…+knbn，且x＞0，其中k1，k2，…，kn∈{-1，1}}（n∈N*，n≥2），求集合B中所有元素的和． ‎ 第13页，共13页 答案和解析 ‎1.【答案】D 【解析】‎ 解：由题意作图如右图，其中α∥β，a⊂α，b⊂β，a，b异面 则平面β内任一条与b平行的直线都满足要求． 故选：D． 由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，由图可知，平面β内所有与b平行的线都满足题设中的三个条件，由此选出正确选项 本题老点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查异面直线的定义、夹角、距离等基本概念解题的关键是理解题意中的三个条件，构造出如图的图形辅助判断，本题考查了空间想象能力及推理判断的能力，全面考查了对异面直线的定义的理解 ‎2.【答案】B 【解析】‎ 解：由意题f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1， 可得令x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n）， 可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（n）=1， 那么=f2（1）+f2（2）+…+f2（1010）=1010． 故选：B． 根据f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1，可得令x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n），可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（n）=1，即可求解． 本题考查了抽象函数的性质的应用，赋值法的计算，属于中档题．‎ ‎3.【答案】B 【解析】‎ 解：根据题意，依次分析4个函数： 对于①，f（x）=2x+1，有f（x+m）-f（m）=2（x+m）+1-（2m+1）=2x， 则对任意实数m，f（x+m）-f（m）是奇函数， 即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”； 对于②，f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，则f（x+m）-f（m）=x2+2（m+1）x， 设h（x）=x2+2（m+1）x，不会是奇函数， 则f（x）=x2+2x+1不是“位差奇函数”； 对于③，f（x）=2x，记h（x）=f（x+m）-f（m）=2x+m-2m=2m（2x-1）， 由h（x）+h（-x）=2m（2x-1）+2m（2-x-1）=0，当且仅当x=0等式成立， 则对任意实数m，f（x+m）-f（m）都不是奇函数，则f（x）不是“位差奇函数”； 对于④，，f（x+m）-f（m）=sin（x+m+）-sin（m+）=2cos（+m+）sin， ‎ 第13页，共13页 可取m=，可得2cos（+π）sin=-sinx为奇函数，则f（x）是“位差奇函数”． 故选：B． 根据题意，结合““位差奇函数”的定义依次分析4个函数是否是“位差奇函数”，综合即可得答案． 本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题．‎ ‎4.【答案】B 【解析】‎ 解：Sn==-•， ①n为奇数时，Sn=+•，可知：Sn单调递减，且=，∴＜Sn≤S1=2； ②n为偶数时，Sn=-•，可知：Sn单调递增，且=，∴=S2≤Sn＜． ∴Sn的最大值与最小值分别为：2，． 考虑到函数y=3t-在（0，+∞）上单调递增， ∴A≤=-=． B≥==． ∴B-A的最小值=-=． 故选：B． Sn=-•，①n为奇数时，Sn=+•，根据单调性可得：＜Sn≤S1=2；②n为偶数时，Sn=-•，根据单调性可得：=S2≤Sn＜．可得Sn的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y=3t-在（0，+∞）上单调递增，即可得出． 本题考查了等比数列的求和公式、单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5.【答案】3 【解析】‎ 解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}， A∪B={1，2，3，5}， ∴a=3． 故答案为：3． 利用并集定义直接求解． 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．‎ 第13页，共13页 ‎6.【答案】（1，0） 【解析】‎ 解：根据题意，抛物线y2=4x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上， 且p=2， 则抛物线的焦点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）． 根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上，且p=2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案． 本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向．‎ ‎7.【答案】‎7‎ 【解析】‎ 解：∵且与的夹角为 ∴=7 ∴则= 故答案为： 根据可得答案． 本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．‎ ‎8.【答案】3 【解析】‎ 解：由sin（α-π）=3cosα，得-sinα=3cosα， ∴tanα=-3，则tan（π-α）=-tanα=3． 故答案为：3． 直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解． 本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．‎ ‎9.【答案】2 【解析】‎ 解：一堆零件中任取5个，称得它们的质量如下（单位：克）： 126，125，122，124，128， ∴该样本的平均数为=（126+125+122+124+128）=125， 该数据的方差为S2=[（126-125）2+（125-125）2+（122-125）2+（124-125）2+（128-125）2]=4， 则该样本的标准差S=2． 故答案为：2． 先求出该样本的平均数，再求出该数据的方差，由此能求出该样本的标准差． 本题考查样本的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10.【答案】1 【解析】‎ 解：∵sinA+sinB=3sinC， ∴由正弦定理可得a+b=3c， ‎ 第13页，共13页 又△ABC的周长为4， ∴a+b+c=4c=4， 解得c=1，即AB=1． 故答案为：1． 由正弦定理可得a+b=3c，结合周长为4可得c值，即得答案． 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属基础题．‎ ‎11.【答案】3或5 【解析】‎ 解：当a=3时两条直线平行， 当a≠3时有 故答案为：3或5． 考查题意，不难发现x=3为所求，然后利用直线平行的条件解答即可． 本题考查直线与直线平行的条件，是基础题．‎ ‎12.【答案】2π 【解析】‎ 解：∵圆锥的体积为，母线与底面所成角为， ∴如图，设圆锥底面半径AO=OB=r，则母线长l=SA=2r，高SO=r， ∴V=πr2•r=， 解得r=1，∴l=SA=2，SO=， ∴该圆锥的侧面积为S=πrl=2π=2π． 故答案为：2π． 设圆锥底面半径AO=OB=r，则母线长l=SA=2r，高SO=r，利用体积，求出r=1，l=SA=2，该圆锥的侧面积为S=πrl，由此能求出结果． 本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎13.【答案】‎5‎‎−1‎‎2‎ 【解析】‎ 解，①当q=1时，=[na1-（k+1）a1]，极限不存在． ②q≠1时，==， 若q＞1或q＜0，则极限不存在．故0＜q＜1， 上式可化为： ===，即q2+q-1=0，解得q=或q=＞1（舍去）． 故填：． 先分q是否为1进行讨论，排除q=1的情况，然后将等比数列的前n项和公式代入，求极限即可． 本题考查了数列极限，讨论q的情况，以确定极限是否存在，是解决问题的突破口，本题主要考查极限的计算，等比数列的前n项和公式，属中档题．‎ 第13页，共13页 ‎14.【答案】-3 【解析】‎ 解：由实数x，y满足约束条件，作出可行域如图， 联立，解得A（k，k）， 化z=2x+y为y=-2x+z， 由图可知，当直线y=-2x+z过A（k，k）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3k=-9，即k=-3． 故答案为：-3． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎15.【答案】[0，1+‎2‎] 【解析】‎ 解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，-1）， P是曲线y=上一个动点， ∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]， ∴=（1，1），=（cosα，sinα+1）， =cosα+sinα+1=， ∴•的取值范围是[0，1+]． 故答案为：[0，1+]． 设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围． 本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．‎ ‎16.【答案】8 【解析】‎ 解：∵在区间[0，1）上，f（x）=， 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f（x）是定义在R上且周期为1的函数， ∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 同理： ‎ 第13页，共13页 区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点； 故f（x）的图象与y=lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数； 即方程f（x）-lgx=0的解的个数是8， 故答案为：8 由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案． 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．‎ ‎17.【答案】解：（1）∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2， ∴AA1⊥平面ABCD，AC=‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎2‎， ∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角， ∵A1C与底面ABCD所成的角为60°， ∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2‎2‎•‎3‎=2‎6‎， ∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4， ∴四棱锥A1-ABCD的体积： V=‎1‎‎3‎‎×AA‎1‎×‎S正方形ABCD=‎1‎‎3‎‎×2‎6‎×4‎=‎8‎‎6‎‎3‎． （2）∵BD∥B1D1， ∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）． ∵BD=‎4+4‎‎=2‎‎2‎，A1D=A1B=‎2‎‎2‎‎+(2‎‎6‎‎)‎‎2‎=2‎7‎， ∴cos∠A1BD=A‎1‎B‎2‎‎+BD‎2‎−‎A‎1‎D‎2‎‎2×A‎1‎B×BD=‎28+8−28‎‎2×2‎7‎×2‎‎2‎=‎14‎‎14‎． ∴∠A1BD=arccos‎14‎‎14‎． ∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos‎14‎‎14‎． 【解析】‎ ‎ （1）推导出AA1⊥平面ABCD，从而∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，进而∠A1CA=60°，AA1=AC•tan60°=2，由此能求出四棱锥A1-ABCD的体积． （2）由BD∥B1D1，得∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与B1D1所成角． 本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中 第13页，共13页 线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎18.【答案】解：（1）∵z1=z2 ∴sin2x=mλ=m−‎3‎cos2x ∴λ=sin2x−‎3‎cos2x（2分） 若λ=0则sin2x−‎3‎cos2x=0‎得tan2x=‎‎3‎（4分） ∵0＜x＜π， ∴0＜2x＜2π ∴‎2x=‎π‎3‎，或‎2x=‎‎4π‎3‎ ∴x=‎π‎6‎或‎2π‎3‎（6分） （2）∵λ=f(x)=sin2x−‎3‎cos2x=2(‎1‎‎2‎sin2x−‎3‎‎2‎cos2x)‎ =‎2(sin2xcosπ‎3‎−cos2xsinπ‎3‎)‎=‎2sin(2x−π‎3‎)‎（8分） ∵当x=α时，λ=‎‎1‎‎2‎ ∴‎2sin(2α−π‎3‎)=‎‎1‎‎2‎，sin(2α−π‎3‎)=‎‎1‎‎4‎，sin(π‎3‎−2α)=−‎‎1‎‎4‎（9分） ∵cos(4α+π‎3‎)‎=cos2(2α+π‎6‎)=2cos‎2‎(2α+π‎6‎)−1‎=‎2sin‎2‎(π‎3‎−2α)−1‎--（11分） ∴cos(4α+π‎3‎)‎=‎2×(−‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎−1=−‎‎7‎‎8‎．（12分） 【解析】‎ ‎ （1）把λ=0代入复数z1=sin2x+λi，利用z1=z2．实部等于实部，虚部等于虚部，得到方程组，结合0＜x＜π，求x的值； （2）表示出λ=f（x），化简为一个角的一个三角函数的形式，当x=α时，，代入表达式，化简后即可求的值． 本题是中档题，借助复数相等的条件，确定变量的值，通过三角函数的化简，方程思想的应用确定三角函数数值，考查学生对所学知识的灵活应用能力，分析问题解决问题的能力，是好题．‎ ‎19.【答案】解：（1）2014年至2019年每年该地人口的增长数量为2385-2082=303千人， 3135-2082=53，2203-2135=68，2276-2203=73，2339-2276=63，2385-2339=46， 由上述数据可得从2014年到2019年每年人口增长数量呈先增加后减少的变化趋势，每一年人口总数呈逐渐递增的变化趋势， （2）由P(t)=2000+‎‎450‎‎4.4878e‎−0.6554t+1‎， ∵P（t）的反函数为T（x）， ∴2400=2000+‎450‎‎4.4878e‎−0.6654t+1‎， ∴4.4878‎ 第13页，共13页 e-0.6554t+1=‎450‎‎400‎， ∴4.4878e-0.6554t=‎1‎‎8‎， 两边取对数可得ln4.4878-0.6554t=-ln8， ∴t=ln4.4878+ln8‎‎0.6554‎=ln35.9024‎‎0.6554‎≈5.5， ∴T（2400）=5.5． 其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效数据，即经过半年时间，该地人口数量人数即增长到2400千人． 【解析】‎ ‎ （1）根据表中的数据可得从2014年到2019人后增加的数量，逐年增多，从2007后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年在增加的， （2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可． 本题考查了函数模型在实际生活中的应用，考查了运算求解能力，属于中档题 ‎20.【答案】解：（1）由渐近线方程为y=±bx， 又Γ的一条渐近线方程为y=2x，可得b=2， 可得双曲线的方程为x‎2‎‎−y‎2‎‎4‎=1‎； （2）可设|PF1|=m，|PF2|=n，即有|m-n|=2a， PF1⊥PF2，可得m2+n2=4c2， 则4c2-2mn=4a2，即mn=2b2， △PF1F2的面积为9，即为‎1‎‎2‎mn=b2=9， 解得b=3； （3）设斜率为2的直线方程设为y=2x+t， 代入双曲线方程可得（b2-4）x2-4tx-t2-b2=0， △=16t2+4（b2-4）（t2+b2）＞0，化为t2+b2-4＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=‎4tb‎2‎‎−4‎， AB中点坐标为（‎2tb‎2‎‎−4‎，b‎2‎tb‎2‎‎−4‎）， 消去t，可得中点的轨迹方程为y=b‎2‎‎2‎x， 当b＞2时，△＞0恒成立，即有y=b‎2‎‎2‎x（x∈R）； 当0＜b＜2时，即有y=b‎2‎‎2‎x（x＞‎2‎‎4−‎b‎2‎或x＜-‎2‎‎4−‎b‎2‎）． 【解析】‎ ‎ （1）由双曲线的渐近线方程可得b； （2）可设|PF1|=m，|PF2|=n，运用双曲线的定义和勾股定理，三角形的面积公式，可得所求值； （3）设斜率为2的直线方程设为y=2x+t，代入双曲线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及判别式大于0，即可得到所求轨迹方程． ‎ 第13页，共13页 本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是渐近线方程，考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎21.【答案】解：（1）①a1=1，an2=Sn+Sn-1（n∈N*，n≥2）， ∴an+1‎‎2‎=Sn+1+Sn，相减可得：an+1‎‎2‎-an‎2‎=an+1+an， 化为：（an+1+an）（an+1-an-1）=0， ∵an+1+an＞0， ∴an+1-an=1， 又a‎2‎‎2‎=S2+S1，可得a‎2‎‎2‎-a2-2=0，a2＞0， 解得：a2=2， ∴a2-a1=1， ∴数列{an}设等差数列，an=1+n-1=n． ②数列{bn}满足b‎1‎‎⋅b‎2‎…bn=‎‎2‎n(n+1)‎‎2‎（n∈N*）． n≥2时，b1b2•…bn-1=‎2‎n(n−1)‎‎2‎， ∴bn‎=‎‎2‎n． （2）cn=‎1‎‎2‎an‎−‎‎1‎an‎⋅‎an+1‎=‎1‎‎2‎n-‎1‎n(n+1)‎=‎1‎‎2‎n-‎(‎1‎n−‎1‎n+1‎)‎， ∴Tn=‎1‎‎2‎‎(1−‎1‎‎2‎n)‎‎1−‎‎1‎‎2‎-（1-‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎−‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎n‎−‎‎1‎n+1‎）=-‎1‎‎2‎n+‎1‎n+1‎． Tn+1-Tn=-‎1‎‎2‎n+1‎+‎1‎n+2‎-（-‎1‎‎2‎n+‎1‎n+1‎）=‎1‎‎2‎n+1‎-‎1‎‎(n+1)(n+2)‎． n≤3时，Tn+1≥Tn． n≥4时，Tn+1≤Tn． 当m=4时，使得对任意的n∈N*，均有Tm≥Tn． （3）x=k1b1+k2b2+…+knbn，且x＞0，其中k1，k2，…，kn∈{-1，1}（n∈N*，n≥2）， ①要使x＞0，则必须kn=1．其它k1，k2，…，kn-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，-1． 证明：若kn=-1，则x=k1•2+k2•22+…+kn-1•2n-1-kn•2n≤2+22+……+2n-1-2n=‎2(‎2‎n−1‎−1)‎‎2−1‎-2n=-2＜0， 此时x恒为负数，不成立． ∴kn=1．此时：x≥-2-22-……-2n-1+2n=-‎2(‎2‎n−1‎−1)‎‎2−1‎+2n=2＞0， 故k1，k2，…，kn-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，-1． ②其它k1，k2，…，kn-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，-1． 此时集合内的元素x共有2n-1个互不相同的正数． 证明：k1，k2，…，kn-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2）， 利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n-1个． 下面证明这2n-1个式子所表示的x互不相等，具体如下： 证明：假如这2n-1个式子所表示的x存在相等的数， x1=2n+kn-1•2n-1+……+k2•22+k1•2=x2=2n+kn−1‎‎′‎•2n-1+……+k‎2‎‎′‎•22+k‎1‎‎′‎•2．ki，ki‎′‎∈{-1，1}（i∈N*，n-1≥i≥2）， 即满足ki≠ki‎′‎∈{-1，1}（i∈N*，n-1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m． 则‎(km‎′‎−km)‎•2m=‎(km−1‎−km−1‎‎′‎)‎•2m-1+（km−2‎‎−‎km−2‎‎′‎）•2m-2+……+（k‎1‎‎−‎k‎1‎‎′‎）•2， 而|‎(km−1‎−km−1‎‎′‎)‎•2m-1+（km−2‎‎−‎km−2‎‎′‎）•2m-2+……+（k‎1‎‎−‎k‎1‎‎′‎）•2|≤2•2m-1+2•2m-2+……+2×2=2m+1-4＜|‎(km‎′‎−km)‎•2m|＜2‎ 第13页，共13页 m+1． 因此，假设不成立，即这2n-1个式子所表示的x互不相等． ③这2n-1个x互不相等的正数x（每个均喊knbn=2n）． 由ki=1或-1（i=1，2，……，n-1）等可能出现，因此所有kibi（i=1，2，……，n-1）部分的和为0． 故集合B中所有元素的和为所有knbn=2n的和，即2n•2n-1=22n-1． 【解析】‎ ‎ （1）①a1=1，an2=Sn+Sn-1（n∈N*，n≥2），=Sn+1+Sn，相减可得：-=an+1+an，化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得an． ②数列{bn}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…bn-1=，相除可得bn． （2）cn==-=-，利用求和公式与裂项求和方法可得：Tn=-+．作差Tn+1-Tn，利用其单调性即可得出． （3）x=k1b1+k2b2+…+knbn，且x＞0，其中k1，k2，…，kn∈{-1，1}（n∈N*，n≥2）， ①要使x＞0，则必须kn=1．其它k1，k2，…，kn-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，-1．通过放缩及其求和公式即可证明．另外kn=1．此时：x≥-2-22-……-2n-1+2n＞0． ②其它k1，k2，…，kn-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，-1．此时集合内的元素x共有2n-1个互不相同的正数． 利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n-1个．下面证明这2n-1个式子所表示的x互不相等，具体如下：假如这2n-1个式子所表示的x存在相等的数，x1=2n+kn-1•2n-1+……+k2•22+k1•2=x2=2n+•2n-1+……+•22+•2．ki，∈{-1，1}（i∈N*，n-1≥i≥2），即满足ki≠∈{-1，1}（i∈N*，n-1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．可得•2m=•2m-1+（）•2m-2+……+（）•2，右边通过去绝对值即可得出矛盾． 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 第13页，共13页