带电粒子在磁场、复合场中的运动
1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里。三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc。已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是( )
A．ma>mb>mc B．mb>ma>mc
C．mc>ma>mb D．mc>mb>ma
解析：选B 该空间区域为匀强电场、匀强磁场和重力场的叠加场，a在纸面内做匀速圆周运动，可知其重力与所受到的电场力平衡，洛伦兹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有mag＝qE，解得ma＝。b在纸面内向右做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向上，可知mbg＝qE＋qvbB，解得mb＝＋。c在纸面内向左做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向下，可知mcg＋qvcB＝qE，解得mc＝－。综上所述，可知mb>ma>mc，选项B正确。
2.一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段运动轨迹如图所示，运动轨迹上的每一小段都可近似看成圆弧，由于带电粒子使沿途空气电离，粒子的能量逐渐减少(带电荷量不变)，从图中情况可以确定( )
A．粒子从a运动到b，带正电
B．粒子从a运动到b，带负电
C．粒子从b运动到a，带正电
D．粒子从b运动到a，带负电
解析：选C 带电粒子做圆周运动的半径r＝＝，随着Ek的减小，半径减小，故粒子从b运动到a；由左手定则知粒子带正电，故选C。
3.[多选]速度相同的一束带电粒子由左端射入质谱仪后的运动轨迹如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．该束带电粒子带负电
B．速度选择器的P1极板带正电
C．能通过狭缝S0的带电粒子的速率等于
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝S0，粒子的比荷越小
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解析：选BC 由左手定则可知，该束带电粒子带正电，速度选择器的P1极板带正电，选项A错误，B正确；由qE＝qvB1可得能通过狭缝S0的带电粒子的速率等于v＝，选项C正确；由r＝可知，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝S0，r越小，粒子的比荷越大，选项D错误。
4．如图，光滑半圆形轨道与光滑斜面轨道在B处平滑连接，前者置于水平向外的匀强磁场中，有一带正电小球从A处静止释放，且能沿轨道前进，并恰能通过半圆形轨道最高点C。现若撤去磁场，使小球从静止释放仍能恰好通过半圆形轨道最高点，则释放高度H′与原释放高度H的关系是( )
A．H′＜H B．H′＝H
C．H′＞H D．无法确定
解析：选C 有磁场时，恰好通过最高点，有：mg－qvB＝m，无磁场时，恰好通过最高点，有：mg＝m，由两式可知v2＞v1。根据动能定理，由于洛伦兹力和支持力不做功，都是只有重力做功，mg(h－2R)＝mv2可知，H′＞H，故C正确。
5．(2016·全国卷Ⅱ)一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆弧所对应的圆心角由几何知识知为30°，则＝·，即＝，选项A正确。
6．[多选]如图所示为一个质量为m、带电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中。现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度－时间图像可能是下列选项中的( )
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解析：选AD 由左手定则可判断洛伦兹力方向向上，圆环受到竖直向下的重力，还可能受到垂直杆的弹力及向左的摩擦力。当洛伦兹力初始时刻小于重力时，弹力方向竖直向上，圆环向右减速运动，随着速度减小，洛伦兹力减小，弹力越来越大，摩擦力越来越大，故做加速度增大的减速运动，直到速度为零而处于静止状态，选项中没有对应图像；当洛伦兹力初始时刻等于重力时，弹力为零，摩擦力为零，故圆环做匀速直线运动，A正确；当洛伦兹力初始时刻大于重力时，弹力方向竖直向下，圆环做减速运动，速度减小，洛伦兹力减小，弹力减小，在弹力减小到零的过程中，摩擦力逐渐减小到零，故做加速度逐渐减小的减速运动，摩擦力为零时，开始做匀速直线运动，D正确。
7.[多选]如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面(未画出)。一群比荷为的负离子以相同速率v0(较大)，由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法中正确的是(不计重力)( )
A．离子飞出磁场时的动能一定相等
B．离子在磁场中运动半径一定相等
C．由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
D．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大
解析：选BC 射入磁场的离子比荷相等，但质量不一定相等，故射入时初动能可能不相等；又因为洛伦兹力不做功，这些离子从射入到射出动能不变，故不同离子的动能可能不相等，A错误。离子在磁场中偏转的半径为r＝，由于比荷和速率都相等，磁感应强度B为定值，故所有离子的偏转半径都相等，B正确。同时，各离子在磁场中做圆周运动的周期T＝也相等，根据几何规律：圆内较长的弦对应较大的圆心角，所以从Q点射出的离子偏转角最大，在磁场内运动的时间最长，C正确。沿PQ方向射入的离子不会从Q点射出，故偏转角不是最大，D错误。
8．如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场。在该区域中，有一个竖直放置光滑绝缘圆环，环上套有一个带正电的小球。O点为圆环的圆心，a、b、c、d
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为圆环上的四个点，a点为最高点，c点为最低点，bd沿水平方向。已知小球所受电场力与重力大小相等。现将小球从环的顶端a点由静止释放。下列判断正确的是( )
A．小球能越过与O等高的d点并继续沿环向上运动
B．当小球运动到c点时，洛伦兹力最大
C．小球从a点到b点，重力势能减小，电势能增大
D．小球从b点运动到c点，电势能增大，动能先增大后减小
解析：选D 小球在复合场中，受重力、电场力和洛伦兹力。由题意知电场力与重力大小相等，电场力水平向左，重力竖直向下，则二者的合力指向左下方45°，由于合力是恒力，即bc圆弧的中点是做圆周运动的等效“最低点”，在等效“最低点”速度最大，那么ad弧的中点相当于平时竖直平面圆环的“最高点”。由于a、d两点关于新的最高点对称，若从a点静止释放到d点过程中，重力做的正功与电场力做的负功相等，由动能定理可知最高运动到d点，故A错；由于bc弧的中点相当于“最低点”，速度最大，那么这个位置洛伦兹力最大，故B错；从a到b，重力和电场力都做正功，重力势能和电势能都减小，故C错；小球从b点运动到c点，电场力做负功，电势能增大，但由于bc弧的中点速度最大，所以动能先增大后减小，故D正确。
9.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里且磁感应强度为B的匀强磁场，在x轴下方存在垂直于纸面向外且磁感应强度为的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O与x轴成30°角斜向上射入磁场，且在x轴上方磁场中运动的半径为R。则( )
A．粒子经磁场偏转后一定能回到原点O
B．粒子在x轴上方和下方磁场中运动的半径之比为2∶1
C．粒子完成一次周期性运动的时间为
D．粒子第二次射入x轴上方磁场时，沿x轴前进了3R
解析：选D 由r＝可知，粒子在x轴上方和下方磁场中运动的半径之比为1∶2，选项B错误；粒子完成一次周期性运动的时间t＝T1＋T2＝＋＝，选项C错误；粒子第二次射入x轴上方磁场时沿x轴前进了l＝R＋2R＝3R，则粒子经磁场偏转后不能回到原点O，所以选项A错误，D正确。
10.在x轴上方有匀强电场，场强为E，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图所示。在x轴上有一点M，离O点距离为l，现有一带电量为＋q的粒子，从静止开始释放后能经过M点，求如果此粒子在y轴上静止释放，其坐标应满足什么关系？(重力忽略不计)
解析：要使带电粒子从静止释放后能运动到M点，必须把粒子放在电场中A
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点先加速才行，当粒子经加速以速度v进入磁场后，只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，运动半周后到达B点，再做减速运动，上升到与A点等高处，再返回做加速运动，到B点后又以速度v进入磁场做圆周运动，半径与前者相同，以后重复前面的运动，从图中可以看出，要想经过M点，OM距离应为直径的整数倍，即满足2R·n＝＝l。
2R·n＝l①
R＝②
Eq·y＝mv2③
联立①②③可得：y＝(n＝1、2、3……)。
答案：见解析
11．如图所示，在xOy坐标系中，x轴上N点到O点的距离是12 cm，虚线NP与x轴负向的夹角是30°，第Ⅰ象限内NP的上方有匀强磁场，磁感应强度B＝1 T，第Ⅳ象限有匀强电场，方向沿y轴正向，一质量m＝8×10－10 kg，电荷量q＝1×10－4 C带正电粒子，从电场中M(12 cm，－8 cm)点由静止释放，经电场加速后从N点进入磁场，又从y轴上P点穿出磁场，不计粒子重力，取π＝3，求：
(1)粒子在磁场中运动的速度v；
(2)粒子在磁场中运动的时间t；
(3)匀强电场的电场强度E。
解析：(1)粒子在磁场中的轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的轨道半径为R，由几何关系，得R＋Rsin 30°＝，解得R＝×12 cm＝0.08 m
由qvB＝m得v＝，代入解得v＝104 m/s。
(2)由几何关系得：粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为120°，则有
t＝×＝1.6×10－5s。
(3)粒子在电场中运动时，由动能定理得qEd＝mv2，则得E＝＝5×103 V/m。
答案：(1)104 m/s (2)1.6×10－5 s (3)5×103 V/m
12．如图所示，方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界是一个半径为r的圆，圆心O1在x轴上，OO1距离等于圆的半径。虚线MN平行于x轴且与圆相切于P点，在MN的上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的大小为E，方向沿x轴的负方向，磁感应强度为B
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，方向垂直纸面向外。有一群相同的正粒子，以相同的速率，在纸面内沿不同方向从原点O射入第Ⅰ象限，粒子的速度方向在与x轴成θ＝30°角的范围内，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动。粒子的质量为m，电荷量为q(不计粒子的重力)。求：
(1)粒子的初速率；
(2)圆形有界磁场的磁感应强度；
(3)若只撤去虚线MN上面的磁场B，这些粒子经过y轴的坐标范围。
解析：(1)粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中做直线运动，则有：
Eq＝qv0B
得：v0＝。
(2)设正粒子在圆形有界磁场中做匀速圆周运动的半径为R，有：
R＝r
qv0B′＝
得：B′＝。
(3)粒子在圆形磁场中的运动半径为r，则粒子在射出圆形磁场时速度方向都平行于y轴。沿x轴正方向进入圆形有界磁场的粒子经电场E偏转后，过y轴上点的坐标最大
r＝· ·t12
Δy1＝v0t1
y1＝Δy1＋r
得：y1＝r＋
沿与x轴正方向成θ＝30°角进入圆形有界磁场的粒子经电场E偏转后，过y轴上点的坐标最小
r＝· ·t22
Δy2＝v0t2
y2＝Δy2＋r
得：y2＝r＋
即：r＋ ≤y≤r＋ 。
答案：(1) (2) (3)r＋ ≤y≤r＋
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