2.2.2 反证法
课后训练案巩固提升
一、A组
1.在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的反设;②已知条件;③定义、公理、定理等;④原结论.
A.①②
B.②③
C.①②③
D.①②④
解析:除原结论不能作为推理条件外,其余均可.
答案:C
2.实数a,b,c不全为正数,是指( )
A.a,b,c均不是正数
B.a,b,c中至少有一个是正数
C.a,b,c中至多有一个是正数
D.a,b,c中至少有一个不是正数
解析:实数a,b,c不全为正数,是指a,b,c中至少有一个不是正数,故选D.
答案:D
3.下列命题错误的是( )
A.三角形中至少有一个内角不小于60°
B.四面体的三组对棱都是异面直线
C.在区间(a,b)内单调的函数f(x)至多有一个零点
D.若a,b∈Z,且a+b为偶数,则a,b都不是奇数
解析:当a,b∈Z,且a+b为偶数时,a,b可以都是偶数,也可以都是奇数,故D项错误.
答案:D
4.如果两个实数之和为正数,那么这两个数( )
A.至少有一个是正数
B.都是正数
C.一个是正数,一个是负数
D.都是负数
解析:假设两个数都不是正数,即都是负数或者0,其和必为负数或者0,与已知矛盾,所以两个数中至少有一个是正数,故选A.
答案:A
5.用反证法证明命题“若a+b+c≥0,abc≤0,则a,b,c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为( )
A.a,b,c三个实数中最多有一个不大于零
B.a,b,c三个实数中最多有两个小于零
C.a,b,c三个实数中至少有两个小于零
D.a,b,c三个实数中至少有一个不大于零
解析:“最多有一个”的否定是“至少有两个”.故选C.
答案:C
6.命题“在△ABC中,A>B,则a>b”,用反证法证明时,假设应该是 .
解析:结论是“a>b”,其否定是“a≤b”.
- 4 -
答案:a≤b
7.“x=0,且y=0”的否定形式为 .
解析:“p且q”的否定形式为“p或q”.
答案:x≠0或y≠0
8.完成反证法证题的全过程.
题目:设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7任意排成的一个数列,p=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7),求证:p为偶数.
证明:假设p为奇数,则 均为奇数.
因为7个奇数之和为奇数,故有
(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为 . ①
而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)= . ②
①与②矛盾,故假设不成立,故p为偶数.
解析:由假设p为奇数,可知a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为奇数,而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0,矛盾,故假设不成立,故p为偶数.
答案:a1-1,a2-2,…,a7-7 奇数 0
9.已知a,b,c是互不相等的非零实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点.
证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.
由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,
得Δ1=(2b)2-4ac≤0,且Δ2=(2c)2-4ab≤0,且Δ3=(2a)2-4bc≤0.
同向不等式求和得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0.
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.
∴a=b=c.
这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而原命题得证.
10.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.
证明:假设ME与BN共面,
则AB⊂平面MBEN,
且平面MBEN∩平面DCEF=EN.
由已知两正方形不共面,得AB⊄平面DCEF.
又AB∥CD,
所以AB∥平面DCEF,
而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,
所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,
所以EN∥EF,这与EN∩EF=E矛盾,
故假设不成立,
所以ME与BN不共面,
即直线ME与BN是两条异面直线.
- 4 -
二、B组
1.用反证法证明命题“如果实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( )
A.假设a,b,c都是偶数
B.假设a,b,c都不是偶数
C.假设a,b,c至多有一个是偶数
D.假设a,b,c至多有两个是偶数
解析:“至少有一个”的否定是“一个都没有”.
答案:B
2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP∠CAP
3.设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是 (填序号).
解析:若a=,b=,则a+b>1,但a1,故⑤推不出;
若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.
用反证法证明③:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故答案为③.
答案:③
4.导学号40294015已知m是整数,且m2+6m是偶数,求证:m不是奇数.
证明:假设m是奇数,不妨设m=2k-1(k∈Z),
则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k)-5,
因为k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k)-5为奇数,
即m2+6m是奇数,这与已知条件中的m2+6m是偶数相矛盾,
因此假设错误,即m不是奇数.
5.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
证明:假设a,b,c,d都是非负数,即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,
因为a+b=c+d=1,
所以(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)=1,
于是ac+bd=1-(ad+bc)≤1,
这与ac+bd>1相矛盾,
故假设不成立,即a,b,c,d中至少有一个是负数.
6.设{an}是公比为q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
(1)解:设{an}的前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;
- 4 -
当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1, ①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn, ②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,
∴Sn=,
∴Sn=
(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1.
∵a1≠0,
∴2qk=qk-1+qk+1.
∵q≠0,
∴q2-2q+1=0,
∴q=1,这与已知矛盾.
∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
- 4 -
微信/支付宝扫码支付