习题课——复数运算的综合问题
课后训练案巩固提升
1.若复数z满足|z-1+i|=3,则复数z对应的点的轨迹围成图形的面积等于( )
A.3 B.9 C.6π D.9π
解析:由题意得,复数z对应的点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以3为半径的圆,其面积等于π×32=9π.
答案:D
2.已知a,b∈R,且2+ai,b+3i是一个实系数一元二次方程的两个根,则a,b的值分别是( )
A.a=-3,b=2 B.a=3,b=-2
C.a=-3,b=-2 D.a=3,b=2
解析:由题意得,这两个复数一定是互为共轭复数,故a=-3,b=2.
答案:A
3.满足条件|z+i|=|z+3i|的复数z对应点的轨迹是 ( )
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.线段
解析:由已知得,复数z对应的点到两点(0,-1),(0,-3)的距离相等,因此其轨迹是这两个点连线的垂直平分线,是一条直线.
答案:A
4.已知复数z1,z2满足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=,则|z1+z2|的值等于( )
A. B.6 C. D.58
解析:由|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)及已知条件可得|z1+z2|=.
答案:C
5.关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,则实数a的值等于 .
解析:设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i,所以
解得a=11或a=-.
答案:11或-
6.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是 .
解析:设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是
解得
因为13-2x=≥0,所以x≤,故x=舍去,故z=4+3i.
- 2 -
答案:z=4+3i
7.已知z∈C,且|z+1|=|z-i|,则|z+i|的最小值等于 .
解析:由于|z+1|=|z-i|表示以(-1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而|z+i|=|z-(-i)|表示直线上的点到(0,-1)的距离,数形结合知其最小值为.
答案:
8.已知复数z=,z1=2+mi.
(1)若|z+z1|=5,求实数m的值;
(2)若复数az+2i在复平面上对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.
解:(1)z==1+i.
因为|z+z1|=|1+i+2+mi|=|3+(m+1)i|==5,
所以9+(m+1)2=25.
解得m=-5或m=3.
(2)az+2i=a(1+i)+2i=a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以解得-2
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