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银川一中2018/2019学年度(下)高一期中考试
数 学 试 卷
命题教师：唐伯锦 西林涛
一、单选题
1．与终边相同的角是( )
A． B． C． D．
2．下列四式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．，,的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，若，则的值为（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
6．在中，内角满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
9．已知向量满足，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
10．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．最小正周期为 B．关于对称
C．关于点对称 D．在上单调递减
11．已知是的重心，若，，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
12．若，则（ ）
A．5或 B．或 C．3或 D．或
二、填空题
13．已知向量，那么在方向上的投影是________．
14．王小一问同桌王小二一道题：的值是多少？王小二微笑着告诉王小一：就等于的值，你认为王小二说得对吗？________（对或不对）
15．平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是____________.
16．已知函数的部分
图象如图所示，将函数的图象先向右平移1个单位
长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到
函数的图象，若在处取得最大值，则__________．
三、解答题
17．（本小题满分10分）
已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
（1）求弦AB所对的圆心角的大小；
（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.
18．（本小题满分12分）
已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知，，函数．
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）若方程在上的解为，，求的值．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量且.
（1）若，求向量的坐标；
（2）求的值域.
21．（本小题满分12分）
设是两个不共线的非零向量．
（1）设，，，那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线；
（2）若，且与的夹角为60°，那么实数x为何值时的值最小？最小值为多少？
22． （本小题满分12分）
已知函数的最小正周期是，且在区间上单调递减.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于的方程
在上有实数解，求的取值范围.
1．D
【解析】
【分析】
终边相同的角相差了360°的整数倍，由α＝2019°+k•360°，k∈Z，令k＝﹣6，即可得解．
【详解】
终边相同的角相差了360°的整数倍，
设与2019°角的终边相同的角是α，则α＝2019°+k•360°，k∈Z，
当k＝﹣6时，α＝﹣141°．
故选：D．
【点睛】
本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查．
2．C
【解析】
【分析】
对四个选项分别计算，由此判断出不能化简为的选项.
【详解】
解：由题意得
A：，
B：，
C：，所以C不能化简为，
D：，
故选：C．
【点睛】
本小题主要考查向量的加法和减法的运算，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
由任意角的三角函数的定义求得，然后展开二倍角公式求．
【详解】
解：∵角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，
∴，
∴．
则.
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．
4．D
【解析】
【分析】
先化简已知得，再计算得到，最后化简sin(-)求值得解.
【详解】
由题得. 因为＜＜所以.
故答案为：D
【点睛】
本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．B
【解析】
【分析】
先求出，再利用求出的值.
【详解】
故选：
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．B
【解析】
【分析】
先由得，化简整理即可判断出结果.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，故，所以三角形是等腰三角形.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，属于基础题型.
8．D
【解析】
【分析】
先将函数解析式化简整理，由正弦函数的值域即可求出结果.
【详解】
因为，所以的最大值为.
故选D
【点睛】
本主要考查三角函数的最值问题，熟记辅助角公式以及正弦函数的值域即可，属于基础题型.
9．B
【解析】
【分析】
根据即可得出，再根据即可求出，然后对两边平方即可求出，从而可求出，这样根据向量夹角的范围即可求出与的夹角．
【详解】
因为，，所以，．
又，，
故也即是，
所以；
又，故与的夹角为．
故选：B．
【点睛】
向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.
10．D
【解析】
【分析】
先将整理成，再向左平移个单位长度，得到新的函数解析式，根据正弦函数的性质即可求出结果.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为
故所得图象对应的函数的周期为，故排除A；
令，求得，不是最值，故排除B；
令，求得 ，故图象不关于点对称，故排除C；
在上，，可得单调递减，故D满足条件，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质、以及平移的问题，熟记正弦型函数的性质、以及左加右减的平移原则即可，属于常考题型.
11．C
【解析】
【分析】
根据三角形重心的性质得到，再由向量的基底表示得到，根据平面向量基本定理得到结果.
【详解】
已知是的重心，则取AB的中点E，则
若,则，又因为,故
=根据平面向量基本定理得到=。
故答案为：C.
【点睛】
这个题目考查的是向量基本定理的应用；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。
12．B
【解析】
【分析】
由得，再由正切的倍角公式得或，化简，代入计算即可.
【详解】
由 ，得，由正切的倍角公式得，解得或；化简，将的值代入，可得 或.
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变形和倍角公式的应用，熟记公式是关键，也考查了计算能力，属于基础题.
13．
【解析】设向量， 的夹角为，则向量在方向上的投影为。
答案：
点睛：向量在向量方向上的投影是一个数，而不是向量，该数可能为正数、也可为负数和零。计算时可利用，即结合几何图形求解，也可利用向量的坐标进行求解。
14．对
【解析】
15．
【解析】
【分析】
设,利用表示，再根据向量数量积得关于函数关系式，最后根据二次函数性质求结果.
【详解】
设,则
,
所以当时，取最小值，当时，取最大值0，即的取值范围是.
【点睛】
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线位置关系，是解决这类问题的一般方法.
16．
【解析】
【分析】
由图像可得函数的周期及最值，求得与，利用最值求得，可得，利用两角和的正弦公式可得辅助角的正余弦，再利用诱导公式及二倍角公式求得结果.
【详解】
由图象得的最大值为，最小正周期为8，且过点，所以，又，所以，将点代入，得，因为，所以，所以.由题意可得，所以，其中 ，当，即时取得最大值，所以，所以 ，故答案为．
【点睛】
本题考查了三角函数解析式的确定，考查了两角和的正弦公式、诱导公式、二倍角公式的应用，关键是求得辅助角的三角函数值，属于综合题.
17．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据为等边三角形得出，
（2）代入弧长公式和面积公式计算.
【详解】
（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以.
（2）因为，所以.，
又，
所以.
【点睛】
本题主要考查了扇形的相关知识点，弦长、弧长、面积等，属于基础题，解题的关键是在于公式的熟练运用.
18．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）把已知等式两边平方即可求得的值；
（2）求出的值，结合角的范围开方得答案．
【详解】
解：（1），
，即，
；
（2），
又，，，
则．
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
19．（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据向量数量积的坐标表示求出f（x）结合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；
（2）由方程f（x）在（0，π）上的解为x1，x2，及正弦函数的对称性可求x1+x2，进而可求．
【详解】
解：，，
令可得，函数图象的对称轴方程，
方程在上的解为，，由正弦函数的对称性可知，
，，
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（I）先求得，利用两个向量平行的坐标表示列方程，结合解方程组求得的值，进而求得的坐标.（II）由（I）得到，化简的表达式，配方后利用，结合二次函数的性质，求得的值域.
【详解】
（Ⅰ），又 ①
又②由①②得，.
当时，（舍去）；当时，，
，即.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，
又当时，；当时，.
的值域为.
【点睛】
本小题主要考查向量的减法，考查两个向量平行的坐标表示，考查二次函数型函数值域的求法，属于中档题.
21．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由A，B，C三点共线知：存在实数λ使=λ+（1-λ），代入，，可得λ=，t=；
（2）•=||||cos60°=，∴|-2x|2=2+4x22-4x•=2+16x2-4=16x2-4+4，利用二次函数求最值可得．
【详解】
（1）由A，B，C三点共线知：存在实数λ使=λ+（1-λ），
则（+）=λ（-）+（1-λ）t
则λ=，t=，
（2）•=||||cos60°=，
∴|-2x|2=2+4x22-4x•=2+16x2-4
=16x2-4+4，
∴当x=-=时，|-2x|的最小值为．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
22.(1);(2)或.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面向量数量积公式可得，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得，利用区间上单调递减，可得，从而可得函数解析式；（Ⅱ）原方程可化为令，可得，整理，等价于在有解，利用一元二次方程根的分布求解即可.
试题解析：（Ⅰ）
，∴
当时，此时单增，不合题意，∴；
∴，∴，在单减，符合题意，故
（Ⅱ），，
方程方程即为：
令，由
，得，于是
原方程化为，整理，等价于在有解
解法一：
（1）当时，方程为得，故；
（2）当时，在上有解在上有解，问题转化为求函数上的值域；设，则，，，
设，在时，单调递减，时，单调递增，∴的取值范围是，
在上有实数解或
解法二：记
（1）当时，，若解得不符合题意，所以；
（2）当，方程在上有解；
①方程在上恰有一解；
②方程在上恰有两解或；
综上所述，的范围是或
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