2019~2020 学年度下学期高一期中能力测试【线上】
数 学 学 科 试 题
▲请悉知：
1.出题人： 2.使用年级：高一下学期
3.考试形式：闭卷【120 分钟 满分 150 分】 4.考试范围：四月十五日前网课所学内容
◎请在答题卷上作答，拍照上传，自觉遵守考试纪律，诚信应考，本次考试不记录排名，最终成绩
只做参考。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．数列 ， ， ， ， 的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
2．在 中， ，则 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．已知等差数列 中， ， ，则公差 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， ，
则边 （ ）
A． B． C． D．
5．若数列 是等差数列，其公差 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 中， 是边 上的点，且 ， ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 为等差数列，前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．在 中，角 的对边分别为 ，已知 ， 的面积为 ，
且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．等差数列 的前 项和为 ，若 ， 是 和 的等比中项，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
10．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则数列 的公比 大小
是（ ）
A． B． C． 或 D．
11．已知 的三个内角 所对的边分别为 ， 的外接圆的面积为 ，
且 ，则 的最大边长为（ ）
A． B． C． D．
12 ． 已 知 数 列 为 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 是 它 的 前 项 和 ， 若 ， 且
，则 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在 中，内角 的对边分别为 ， ， ， 的面积
为 ，则 __________．
14．等比数列 中， ， ， ，则 ________．
1
2
− 1
4
1
8
− 1
16
1
2n
− ( 1)
2
n
n
− 1( 1)
2
n
n
+−
1
( 1)
2
n
n−
−
ABC△ cos cosa A b B= ABC△
{ }na 3 9a = 9 3a = d
1
2 1 1− 1
2
−
ABC△ A B C a b c 2b = 45B = ° 120C = °
c =
2 3 2 6
{ }2 1na + 1d = 3 5a = 10 =a
18 17
2
19
2 12
ABC△ D AC AB AD= 2 3AB BD= 2BC BD= sin C
3
3
3
6
6
3
6
6
{ }na n nS 5 5a = 9S =
25 90 50 45
ABC△ , ,A B C , ,a b c 30B∠ = ° ABC△ 3
2
sin sin 2sinA C B+ = b
4 2 3+ 4 2 3− 3 1− 3 1+
{ }na n nS 1 1a = 2a 1a 5a 8S =
8 64 8 64 64−
{ }na n nS 1a 3S 2S { }na q
1 1
2 1 1
2
− 1
2
−
ABC△ , ,A B C , ,a b c ABC△ 3π
2 2 2cos cos cos 1 sin sinA B C A C− + = + ABC△
2 3 3 2 3
{ }na nS n 1 7 4a a =
4 7
52 2a a+ = 5S =
32 31 30 29
ABC△ , ,A B C , ,a b c sin 2 sina B C= 6c = ABC△
4 sinC =
{ }na 1 2a = 2q = 126nS = n =15 ． 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 已 知 ， ， ， 则
________．
16．等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ，则 ______．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）在等差数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，求 的前 项和 ．
18．（12 分）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 的和．
19．（12 分）如图，在△ABC 中， 为 所对的边， 于 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
ABC△ , ,A B C , ,a b c 30B = ° 7b = 3c = a =
{ }na { }nb n nS nT 3 1
3
n
n
S n
T n
+= +
2 20
7 15
a a
b b
+ =+
{ }na 2 7 23a a+ = − 3 8 29a a+ = −
{ }na
{ }n na b+ 1 2 { }nb n nS
{ }na { }nb 1 1 1a b= = 2 4 10a a+ = 2 4 5b b a=
{ }na
1 3 5 2 1nb b b b −+ + + +
a b c, , A B C, , CD AB⊥ D 1
2BD AD c− =
sin 2sin( )C A B= −
3cos 5A = tanC20．（12 分）已知数列 前 项和为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
21．（12 分）△ABC 的内角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）若 ， ，求 的面积 ；
（2）若 ，求 ．
{ }na n
2
2n
n nS
+=
{ }na
{ }2 na n
A B C, , a b c, , 2 sin 3sina C B=
4 3b = 120C = ° ABC△ S
: 2:3b c = 3sin 2 sin
sin
A B
C
−22．（12 分）设 为正项数列 的前 项和，且满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ， ，若 恒成立，求 的取值范围．
nS { }na n 2 3 6 4n n na a S+ = +
{ }na
1
1
( 1)( 1)n
n n
b a a +
= − − 1 2n nT b b b= + + +… nT m< m数 学 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】 ， ， ， ，
所以其通项公式是 ．
2．【答案】D
【解析】 ，正弦定理可得 ，
即 ， ， ，
或 ，∴ 或 ，
∴ 为等腰三角形或直角三角形．
3．【答案】C
【解析】等差数列 中， ， ，则 ，
即 ，解得 ．
4．【答案】D
【解析】 ， ， ，由正弦定理可得 ，
，解得 ．
5．【答案】B
【解析】∵数列 是等差数列，其公差 ，且 ，
，解得 ，
，解得 ．
( ) 1
1 112 2
− = − × ( )2
2
1 114 2
− ×= ( )3
3
111
8 2
−− = × ( )4
4
1 1116 2
= − ×
( 1)
2
n
n
−
cos cosa A b B= 2 sin cos 2 sin cosR A A R B B=
sin 2 sin 2A B= ( )2 0,2πA∈ 2 (0,2π)B∈
2 2A B∴ = 2 2 πA B+ = A B=
2
πA B+ =
ABC△
{ }na 3 9a = 9 3a = 9 3 6a a d= +
33 6a d= + 1d = −
2b = 45B = ° 120C = °
sin sin
b c
B C
=
2
sin 45 sin120
c∴ =° ° 6c =
{ }2 1na + 1d = 3 5a =
( )3 12 1 2 1 2 11a a∴ + = + + = 1 4a =
( )10 12 1 2 1 9 18a a∴ + = + + = 10
17
2a =6．【答案】D
【解析】设 ，∴ ， ， ，
在 中， ，
因为 为三角形的内角，∴ ，
在 中，由正弦定理知 ．
7．【答案】D
【解析】因为数列 为等差数列且 ，所以 ．
8．【答案】D
【解析】由已知可得 ，解得 ，
又 ，由正弦定理可得 ，
由余弦定理 ，
解得 ．
9．【答案】C
【解析】由已知可得， ，∴ ，∴ 或 ，
由等差数列的前 项和公式可得 或 ．
10．【答案】D
【解析】 ， ， 成等差数列，∴ ，
即 ， ， ．
11．【答案】B
【解析】 的外接圆的面积为 ， ，
AB a= AD a= 2
3
aBD = 42
3
aBC BD= =
ABD△
2 2
2 2 2
2
42 13cos 2 2 3
a aAB AD BDA AB AD a
−+ −= = =⋅
A 2 2 2sin 1 cos 3A A= − =
ABC△ 3 2 2 6sin sin 4 3 6
ABC ABC
= ⋅ = × =
{ }na 5 5a = ( )1 9
9 5
9 9 =452
a aS a
+ ×= =
1 3sin302 2ac ° = 6ac =
sin sin 2sinA C B+ = 2a c b+ =
2 2 2 2 22 cos ( ) 2 3 4 12 6 3b a c ac B a c ac ac b= + − = + − − = − −
1 3b = +
2
2 1 5a a a= ⋅ 2(1 ) 1 4d d+ = + 0d = 2d =
n 8 18 8S a= = 8 1
8 7 8 78 8 2 642 2S a d
× ×= + = + × =
1a 3S 2S 3 1 22S a S= +
2
1 1 1 1 1 12( ) ( )a a q a q a a a q+ + = + + 22 0q q+ = 1
2q = −
ABC△ 2π 3πR = 3R∴ =，
则 ，
，
根据正弦定理 ，
根据余弦定理 ， ， ，
故 为最长边 ．
12．【答案】B
【解析】因为 ，所以 ， ， ．
因为 ，所以 ．
所以 ， ， ，所以 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．【答案】
【解析】由正弦定理得 ，
又 ，得 ，所以 ，故填 ．
14．【答案】
【解析】 ， ，故 ，故 ，
故答案为 ．
15．【答案】
2 2 2cos cos cos 1 sin sinA B C A C− + = +
2 2 21 sin 1 sin 1 sin 1 sin sinA B C A C− − + + − = +
2 2 2sin sin sin sin sin 0A B C A C− + + =
2 2 2 0a c b ac+ − + =
2 2 2 2 cosa c b ac B ac+ − = = − 1cos 2B∴ = − 120B∴∠ = °
b 2 sin 3b R B= =
1 7 4a a = 2
4 4a = 0na > 4 2a =
4 7
52 2a a+ = 7
1
4a =
3 1
8q = 1
2q = 1 16a =
5
5
116[1 ( ) ]2= 3111 2
S
−
=
−
2 2
3
2ab c=
6c= 1 sin 3 2 sin 42S ab C C= = = 2 2sin 3C = 2 2
3
6
1 2a = 2q = 1
1
1 2 2 1261
n
n
n
qS a q
+−= = − =− 6n =
6
4【解析】由余弦定理 ，可得 ，解得 ，
（舍），
所以 ．
16．【答案】
【解析】因为等差数列 ， 的前 n 项和分别为 ， ，
由等差数列的性质，可得 ，
又 ，所以 ，
故答案为 ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）设等差数列 的公差是 ，
由已知 ，∴ ，
∴ ，得 ，
∴数列 的通项公式为 ．
（2）由数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
， ，
．
2 2 2
cos 2
a c bB ac
+ −=
23 3 7
2 2 3
a
a
+ −= 4a = 1a = −
4a =
8
3
{ }na { }nb nS nT
1 21
2 20 1 21 21
1 217 15 1 21 21
21( )
2
21( )
2
a a
a a a a S
b bb b b b T
+
+ += = =++ +
3 1
3
n
n
S n
T n
+= +
2 20 21
7 15 21
3 21 1 8
21 3 3
a a S
b b T
+ × += = =+ +
8
3
3 2na n= − +
23 2 12
n
n
n nS
−= + −
{ }na d
( ) ( )3 8 2 7 2 6a a a a d+ − + = = − 3d = −
2 7 12 7 23a a a d+ = + = − 1 1a = −
{ }na 3 2na n= − +
{ }n na b+ 1 2
12n
n na b −+ = 1 12 3 2 2n n
n nb a n− −= − = − +
( ) ( ) ( ) 2
2 1 3 1 31 4 7 3 2 1 2 2 2 2 1 2 12 2
n n n
n
n n n nS n − − −= + + +⋅⋅⋅+ − + + + +⋅⋅⋅+ = + − = + − 18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ．
（2）设等比数列的公比为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
从而 ．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：因为 ，所以 ，
由正弦定理，得 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ，
化简，得 ．
又 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ．
20．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，故当 时， ，
两式相减得 ，
2 1na n= − 3 1
2
n −
{ }na d
2 4 10a a+ = 12 10a d+ = 2d =
2 1na n= −
q
2 4 5b b a= 3
1 1 5b qb q a= 2 3q =
2 2 1
2 1 1 3n n
nb b q − −
− = =
2 1
1 3 5 2 1
3 11 3 3 3 2
n
n
nb b b b −
−
−+ + + + = + + + + =
48
11
−
1
2BD AD c− = 1cos cos 2a B b A c− =
1sin cos sin cos sin2A B B A C− = ( )sin 2sinC A B= −
( ) ( )sin 2sinA B A B+ = −
( )sin cos cos sin 2 sin cos cos sinA B A B A B A B+ = −
3cos sin sin cosA B A B=
3cos 5A = 4sin 5A = 4tan 3A = 4tan 9B =
( )
4 4
tan tan 483 9tan tan 4 41 tan tan 111 3 9
A BC A B A B
++= − + = − = − = −− − ⋅
na n= 12 2n+ −
2
2n
n nS
+= 2n ≥ ( ) ( )2
1
1 1
2n
n nS −
− + −=
( )2na n n= ≥又由题设可得 ，从而 的通项公式为 ．
（2）记数列 的前 项和为 ，由（1）知 ，
所以 ．
21．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由 ，得 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
（2）∵ ， ，∴ ，
故可设 ， ， ，
则 ，
∴ ．
22．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）令 ，有 ，即 ，
解得 或 （舍），
当 时， ，也有 ，
两式相减得 ， ，
∴ ，即 ，
是以 为首项， 为公差的等差数列， ．
（2）由（1）知 ，
，
2
1 1
1 1 12a S
+= = = { }na na n=
{ }2 na n nT 2 2na n=
( )1 2 3 12 1 2
2 2 2 2 2 21 2
n
n n
nT +
−
= + + + + = = −−
18 1
2 sin 3 sina C c B= 2 3ac bc= 2 3a b=
4 3b = 6a = 1 1sin 6 4 3 sin120 182 2S ab C= = × × × ° =
2 3a b= : 2:3b c = : : 3 : 2:3a b c =
3a k= 2b k= ( )3 0c k k= >
2 2 2 5cos 2 6
b c aA bc
+ −= =
3sin2 sin 2 3sin cos sin 2 3 cos 6cos 2 1sin sin 3
A B A A B a A b A
C C c
− − − −= = = =
3 1na n= + 1[ , )9
+∞
1n = 2
1 1 13 6 4a a S+ = + 2
1 1 13 6 4a a a+ = +
1 4a = 1 1a = −
2n ≥ 2 3 6 4n n na a S+ = + 2
1 1 13 6 4n n na a S− − −+ = +
1 1( )( 3) 0n n n na a a a− −+ − − = 1 0n na a −+ ≠
1 3 0n na a −− − = 1 3n na a −− =
{ }na∴ 4 3 4 3( 1) 3 1na n n∴ = + − = +
1 1 1 1( )3 (3 3) 19nb n n n n
= = −+ +
1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )] (1 )2 2
1 1 1
9 91 1 93n n n nT∴ = × + +⋅⋅⋅+− − − −
微信/支付宝扫码支付