2020 年高一下学期期中阶段性评价考试
数 学 试 卷
卷首语：
因疫情影响无法开学，本次考试采取网络阅卷方式，每科试卷与答题卡都提前两小时通过班
级群发送，请下载打印，考试中，自觉遵守纪律，做到家校统一，考试结束后，请将答题卡拍照上
传。
注意：考试时间 120 分，试卷总分 100 分，本卷由高二数学教研组命题，考试范围为必修+选修
全部内容，试卷格式与高考一致。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．在 中，一定成立的等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．在 中， ， ， ，则最短的边的长度是（ ）
A． B． C． D．
3．数列 ， ， ， ， 的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列 对任意的 ， 满足 且 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
5．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ， ， 且
，则 （ ）
A． B． C． D．
6．在等差数列 中， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．在 中，三边 ， ， 与面积 的关系式为 ，则角 为（ ）
A． B． C． D．
8．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在由正数组成的等比数列 中，若 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
11．已知 是等比数列， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， 是以 为首项， 为公比的等比数列，
设 ， ，当 时， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在 中， ， ， ，则 ．
14． 等 比 数 列 的 前 项 和 为 ， 已 知 ， ， 成 等 比 数 列 ， 则 数 列 的 公 比
为 ．
15．在 中， ， ， 是 边上的一点， ， 的面积为 ，
则 的长为 ．
ABC△
sin sina A b B= cos cosa A b B=
sin sina B b A= cos cosa B b A=
ABC△ 45B = ° 75A = ° 1c =
6
3
6
2
1
2
3
2
1− 8
5
15
7
− 24
9
2( 1) 1( 1) 2 1
n
n
na n
+ −= − −
2
( 1) 2 1
n
n
n na n
+= − +
( 3)( 1) 2 1
n
n
n na n
+= − +
( 2)( 1) 2 1
n
n
n na n
+= − +
{ }na p *q∈N p q p qa a a+ = + 2 6a = − 10a
165− 33− 30− 21−
ABC△ A B C a b c 2a = 2 3c = 3cos 2A =
b c< b =
3 2 2 2 3
{ }na 1 3a = 100 36a = 36 56a a+
36 38 39 42
ABC△ a b c S 2 2 24a S b c+ = + A
45° 60° 120° 150°
nS { }na n 5
3
5
9
a
a
= 9
5
S
S
=
1 1− 2 1
2
ABC△ 3 2a = 2 3b = 1cos 3C = ABC△
3 3 2 3 4 3 3
{ }na π
3 4 5 3a a a = 3 1 3 2 3 7sin(log log log )a a a+ + +
1
2
3
2
1 3
2
−
{ }na 2 2a = 5
1
4a = 1 2 2 3 1n na a a a a a ++ + + =
16(1 4 )n−− 16(1 2 )n−− 32 (1 4 )3
n−− 32 (1 2 )3
n−−
{ }na 1 2 { }nb 1 2
nn bc a= 1 2n nT c c c= + + + 2013nT > n
7 9 10 11
ABC△ 3b = 3 3c = 30B = ° a =
{ }na n nS 1S 22S 33S { }na
ABC△ 30A = ° 2 5BC = D AB 2CD = BCD△ 4
AC16．设 是等比数列，公比 ， 为 的前 项和．记 ， ．设
为数列 的最大项，则 ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）在 中， ， 为锐角，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 ， ， 的值．
18．（12 分）在数列 中， ， ．
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）设数列 满足 ，求 的通项公式．
19 ．（ 12 分 ） 已 知 ， ， 分 别 为 的 内 角 ， ， 的 对 边 ， 且 满 足
，函数 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减．
（1）证明： ；
{ }na 2q = nS { }na n 2
1
17 n n
n
n
S ST a +
−= *n∈N 0nT
{ }nT 0n =
ABC△ A B A B C a b c
3cos2 5A = 10sin 10B =
A B+
2 1a b− = − a b c
{ }na 1 2a = 1 2 1n
n na a+ = + +
{ 2 }n
na −
{ }nb 22log ( 1 )n nb a n= + − { }nb
a b c ABC△ A B C
sin sin 2 cos cos
sin cos
B C B C
A A
+ − −= ( ) sin ( 0)f x xω ω= > π[0, ]3
π 2π[ , ]3 3
2b c a+ =（2）若 ，证明： 为等边三角形．
20 ．（ 12 分 ） 设 数 列 ， 满 足 ， ， ， 且 数 列
是等差数列，数列 是等比数列．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
21．（12 分）某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的
环 境 标 志 ， 小 李 、 小 王 设 计 的 底 座 形 状 分 别 为 ， ， 测 得 ，
， ， ．
π( ) cos9f A= ABC△
{ }na { }nb 1 1 6a b= = 2 2 4a b= = 3 3 3a b= =
*
1{ }( )n na a n+ − ∈N *{ 2}( )nb n− ∈N
{ }na { }nb
*k ∈N 1(0, )2k ka b− ∈ k
ABC△ ABD△ 14AD BD= =
10BC = 16AC = C D∠ = ∠（1）求 的长度；
（2）若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用
较低？请说明理由．
22．（12 分）定义：若数列 满足 ，则称数列 为“平方数列”．已知在数列
中， ，点 在函数 的图象上，其中 为正整数．
（1）证明：数列 是“平方数列”，且数列 为等比数列；
（2）设（1）中“平方数列”的前 项之积为 ，则 ，求数列
的通项及 关于 的表达式．
AB
{ }nA 2
1n nA A+ = { }nA { }na
1 2a = 1( , )n na a +
2( ) 2 2f x x x= + n
{2 1}na + {lg(2 1)}na +
n nT 1 2(2 1)(2 1) (2 1)n nT a a a= + + ⋅ ⋅ + { }na
nT n数 学 答 案 与 解 析
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由 ，得 ．
2．【答案】A
【解析】由三角形内角和定理知 ，
根据“大角对大边”以及角 最小，可知最短的边是 ，
由正弦定理 ，解得 ．
3．【答案】D
【解析】将首项 改写为 后，观察发现：分式前的符号规律为 ，
分 母 ， ， ， ， 的 规 律 为 ， 分 子 ， ， ， ， 的 规 律 为
．
4．【答案】C
【解析】 ， ， ，故 ．
5．【答案】C
【解析】由余弦定理 ，得 ，
∴ ，∴ ，
由 ，得 ．
6．【答案】A
【解析】 ， ．
7．【答案】A
【解析】因为 且 ，
sin sin
a b
A B
= sin sina B b A=
180 ( ) 60C A B= °− + = °
B b
sin sin
b c
B C
= 6
3b =
1− 3
3
− ( 1)n−
3 5 7 9 2 1n + 3 8 15 24
2( 1) 1 ( 2)n n n+ − = +
10 8 2a a a= + 8 42a a= 4 22a a= 10 2 2 24 5 30a a a a= + = = −
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 24 12 6b b= + −
2 6 8 0b b− + = ( 2)( 4) 0b b− − =
b c< 2b =
100 1 1
100 1 3
a ad
−= =− 36 56 1 91 12 90 36a a a a a d+ = + = + =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 24a S b c+ = +所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．
8．【答案】A
【解析】 ．
9．【答案】C
【解析】∵ ， ，∴ ，
∴ ．
10．【答案】B
【 解 析 】 因 为 ， 所 以 ，
，
所以 ．
11．【答案】C
【解析】设等比数列的首项为 ，公比为 ，则 ， ，所以 ，
由等比数列的性质知数列 仍是等比数列，其首项为 ，公比为 ，
故由等比数列前 项和公式，得 ．
12．【答案】C
【解析】由已知 ， ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，解得 ，
∴ 的最小值为 ．
1 1cos sin2 2S bc A bc A= = sin cosA A= tan 1A = 45A = °
9 1 9 5
5 1 5 3
9( ) 9 9 5 15( ) 5 5 9
S a a a
S a a a
+= = = × =+
1cos 3C = 0 πC< < 2 2sin 3C =
1 1 2 2sin 3 2 2 3 4 32 2 3ABCS ab C= = × × × =△
π 3
3 4 5 43a a a a= =
π
3
4 3a =
π
7 3
3 1 3 2 3 7 3 1 2 7 3 4 3
7πlog log log log ( ) log 7log 3 3a a a a a a a+ + + = = = =
3 1 3 2 3 7
3sin(log log log ) 2a a a+ + + =
1a q 3 5
2
1
8
aq a
= = 1
2q = 1 4a =
1{ }n na a + 1 2 8a a = 2 1
4q =
n 1 2 2 3 1
18 [1 ( ) ] 324 (1 4 )1 31 4
n
n
n na a a a a a −
+
× −
+ + + = = −
−
2 1na n= − 12n
nb −= 12 2 1 2 1n
n n
n bc a −= = × − = −
1 2 1
1 2
1 2(2 2 2 ) 2 2 21 2
n
n n
n nT c c c n n n+−= + + + = + + + − = × − = − −−
2013nT > 12 2 2013n n+ − − > 10n ≥
n 10第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．【答案】 或
【解析】将 ， ， 代入 ，
即 ，整理得 ，∴ 或 ．
14．【答案】
【解析】由题意可得 ，
①当 时， ，即 ， 不符合题意，所以 ；
②当 时，应有 ，
化简得 ，得 或 （舍去）或 （舍去）．
15．【答案】 或
【解析】如图，
设 ，由 ，得 ，∴ ．
在 中，由余弦定理得 ，
解的 或 ，
当 时，由 ，得 ，
3 6
3b = 3 3c = 30B = ° 2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
2 29 (3 3) 2 3 3 cos30a a= + − ⋅ ° 2 9 18 0a a− + = 3a = 6
1
3
2 1 34 3S S S= +
1q = 1 1 14 2 3 3a a a× = + × 1 18 10a a= 1 0a = 1q ≠
1q ≠
2 3
1 1 1(1 ) (1 ) (1 )4 31 1 1
a q a q a q
q q q
− − −× = + ×− − −
1 (3 1)( 1) 01
a q q qq
⋅ ⋅ − − =−
1
3q = 0 1
4 2 2
BCD θ∠ = 14 sin2BCDS CD CB θ= = ⋅△
2 5sin 5
θ = 5cos 5
θ = ±
BCD△ 2 2 2 2 cosBD CD CB CD CB θ= + − ⋅
4 2BD = 4
4 2BD =
sin sin
BD CD
Bθ =
2 52sin 15sin
4 2 10
CDB BD
θ ×
= = =又由 ，得 ；
当 时，同理得 ．
16．【答案】
【解析】根据等比数列的求和公式 ，
故 ，
令 ，则函数 ，
当 时，函数 取得最小值，此时 ，
而 ，故此时 最大，所以 ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．【答案】（1） ；（2） ， ， ．
【解析】（1）∵ ， 为锐角， ，∴ ．
又 ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
（2）由（1）知 ，∴ ．
sin sin
AC BC
B A
= 2 5 1sin 2 21sin 10
2
BCAC BA
= = × =
4BD = 4AC =
4
1(1 )
1
n
n
a qS q
−= −
2
1 1
2
1
(1 ) (1 )17 17 16 1 161 1 ( 17)(1 ) 1
n n
n n
n
n n n n
a q a q
q qq qT qa q q q q q
− −× − − +− −= = = + −− −
( 2)n nq t= = 16( )g t t t
= +
4t = ( )g t 4n =
1 1 01 1 2q
= ⋅ C D∠ = ∠ ABD ABCS S>△ △
ABC△
121 (5 1)2
n
na
−= − 2 15 n
nT −=
2
1 2 2n n na a a+ = + 2 2
12 1 4 4 1 (2 1)n n n na a a a+ + = + + = +
{2 1}na +
2
1lg(2 1) lg(2 1) 2lg(2 1)n n na a a+ + = + = + 1lg(2 1) lg5 0a + = ≠
1lg(2 1) 2lg(2 1)
n
n
a
a
+ + =+ {lg(2 1)}na + lg5 2
1lg(2 1) lg5a + = 1lg(2 1) 2 lg5n
na −+ =
122 1 5 n
na
−+ = 121 (5 1)2
n
na
−= −
1 2
(1 2 )lg5lg lg(2 1) lg(2 1) lg(2 1) (2 1)lg51 2
n
n
n nT a a a
−= + + + + + + = = −−
2 15 n
nT −=
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