应城一中 2019-2020 学年度下学期期中考试
高一数学试卷
考试时间：2019 年 4 月 21 日上午 8:00～10:15 试卷满分：150 分
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.不等式 的解集是
A． B．
C． D．
2.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则
A. 25 B. 28 C. 31 D. 32
3.已知实数 ， 满足 ，则下列关系式恒成立的是
A． B．
C． D．
4.
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 已知 为等比数列， ， ，则
A. 9 B. C. D.
7.已知 的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的 2 倍，则最小角的
余弦值为A. B. C. D.
8.已知函数 的图象的相邻对称轴的距离为 ，把 的图象
向左平移 个单位长度，得到 的图象，关于函数 ，下列说法正确的是
A.函数 是奇函数 B.其图象关于直线 对称
C. 在 上的值域为 D. 在 上是增函数
9. 已知 ，则 的最小值为
A. 3 B. 4 C. D.
10. 在 中，角 所对的边分别为 ， .若 ,
则
A. B.4 C. 或 4 D.4 或
11. 在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，如果 a、b、c 成等差数列， ，
的面积为，则 b 等于
A. B. C. D.
12.已知 ，则
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线
上)
13.当 时，函数 的最小值为______ ．
14. 若 ，且 ，则 ______．
ABC∆ , ,A B C , ,a b c15.如图,某人在山脚 P 处测得甲山山顶 A 的仰角为 30°,乙山山顶 B 的仰角为 60°,∠APB 的
大小为 30°,山脚 P 到山顶 A 的直线距离为 4km,在 A 处测得山顶 B 的仰角为 30°,则乙山的
高度为________ km.
16. 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有 个点，
相应的图案中总的点数记为 ，则 ________
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤)
17.（本题满分 10 分）
已知 ，且 ．
求 的值；
若 ， ，求 的值．
18. （本题满分 12 分）
(1)已知函数 ,若对于任意 ,都有 恒成立,求实数 的
取值范围；
（2）已知各项均为正数的等比数列 中，公比 ，若存在两项 使得 ，
求 的最小值。
na19. （本题满分 12 分）
已知 为数列 的前 项和，且 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
20. （本题满分 12 分）
如图，在 中， ，点 在线段 上.
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求 的面积.
21. （本题满分 12 分）
2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响。在党和
政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复
工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失。为降低疫情影响，某厂家拟在 2020 年举行
某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量) 万件与年促销费用 万元( )满足 ( 为常数),如果不搞促销活动,则该产品
的年销售量只能是 2 万件.已知生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产一万件该产品需要再
投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(此处每件产品
年平均成本按 元来计算).
(1)将 2020 年该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数；
(2)该厂家 2020 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
22. （本题满分 12 分）
已知数列 的前 项和 ，若不等式 对 恒成立，
（1）证明 是等差数列，并求 的通项公式;
（2）求实数 的取值范围;
（3）设 ，求数列 项和 . 应城一中 2019-2020 学年度下学期期中考试
高一数学参考答案
一、选择题
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
1
2
选
项
B B D C A C A C B C A D
二、填空题
13. 14. 15. 3 16.
三、解答题
17.（本题满分 10 分）
已知 ，且 ．
求 的值；
若 ， ，求 的值．
解： ，且 ， ，
．
， ， ， ，
，
．
3′
5′
8′
10′18. （本题满分 12 分）
(1)已知函数 ,若对于任意 ,都有 恒成立,求实数 的
取值范围；
（2）已知各项均为正数的等比数列 中，公比 ，若存在两项 使得 ，
求 的最小值。
解：（1）由题意， ，
即 ，得 ,
所以
（2）由 得
故 = .
当且仅当 且 ，即 时上式取等.
故 的最小值为 2.（不考虑取等条件扣一分）
19. （本题满分 12 分）
已知 为数列 的前 项和，且 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
解：（1） （2）
（1）
3′
6′
8′
11′
12′
11, 3 1n a ′= = 20. （本题满分 12 分）
如图，在 中， ，点 在线段 上.
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求 的面积.
（本题是高三 3 月份考试题，没有改数据，估计学生搜不到答案）
{ }
1 1 1 1 1
1
2
2,2 9 ,2 2 ,3 3
1 1 13 3 ( ) 43 3 3
n n n n n n n n
n
n n n
n S a S S a a a a
a a
− − − − −
−
−
′≥ = − − = − =
′∴ = • =
是以 为首先，为公比的等比数列，
2
1 0 1 3 2
0 2 2 1
1 0 2 1
1
1
(2). 3 5
1 3 2 3 3 3 ( 1)3 3 7
3 1 3 2 3 3 3 ( 1)3 3
2 3 3 3 3 8
1 (1 3 )3 3 101 3
1 2 1 312 4
n
n
n
n n
n
n n
n
n n
n
n
n
n
n
nb na
T n n
T n n
T n
n
nT
−
− − −
− −
− − −
−
−
′= =
′= + + + + − +
= + + + + − +
′− = + + + −
−
′= −−
−∴ = +
12′21. （本题满分 12 分）
2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响。在党和政府
强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复
产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失。为降低疫情影响，某厂家拟在 2020 年举行某产
品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量) 万件与年促销费用 万元
( )满足 ( 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是 2 万件.
已知生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产一万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件
产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(此处每件产品年平均成本按 元来计
算).
(1)将 2020 年该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数；
(2)该厂家 2020 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
解: (1)由题意知,当 m=0 时,x=2(万件),
则 2=4-k,解得 k=2,∴x=4- .
∵每件产品的销售价格为 1.5× (元),
∴2018 年的利润 y=1.5x× -8-16x-m=- +37(m≥0).
2′
6′(2)∵当 m≥0 时,m+1>0,∴ +(m+1)≥2 =8,当且仅当 m=3 时等号成立.
∴y≤-8+37=29,
当且仅当 =m+1,即 m=3 万元时,ymax=29(万元).
故该厂家 2018 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大为 29 万元.
22. （本题满分 12 分）已知数列 的前 项和 ，若不等式
对 恒成立，
（1）证明 是等差数列，并求 的通项公式;
（2）求实数 的取值范围;
（3）设 ，求数列 项和 .
解：（1）当 时， ，得
当 时， ，又 ，两式相减，得： ，
得 ，所以 ，又 ，
所以数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，
,即 ;
（2）因为 ，故不等式 等价于
记 ，则 .
故 时， ; 时， ,从而 ;
当 时， ，即
综上， .
所以 ，即 .
（3） ，
所以 .
9′
12′
1′
3′
4′
6′
8′
10′
12′
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