江苏徐州古邳中学2019-2020高一数学下学期期中考试试题（Word版附答案）

高一下学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分） 1. 的值是 （ ） A. B. C. D. 2.用符号表示“点 A 在直线 上， 在平面 外”，正确的是 （ ） A． 　　 B． C． D． 3.在 中，已知 ，则角 等于 (　 　) A．60°　　 B．60°或 120° C．30°　 D．30°或 150° 4.与直线 都垂直的两条直线 的位置关系是 （ ） A．平行　 　B．平行或相交 C．平行或异面　 D．平行，相交或异面 5.已知球的半径为 3，则该球的体积为 （ ） A. B. C. D. 6.在 中，角 的所对的边分别为 ，若 ， 则 的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 7.在 中，如果 ，那么 等于 ( ) A． B． C． D． 8.若 则 （ ） A．-2 B． C．2 D． 9.若 的周长等于 20，面积是 ， ,则边 BC 的长为 （ ） A．5 B． 6 C．7 D．8 10.当 时，函数 取得最大值，则 （ ） A． B． C． D．  15cos15sin ⋅ 2 1 2 1− 4 1 4 1− l l α α∉∈ llA , α⊄∈ llA , α⊄⊂ llA , α∉⊂ llA , ABC∆ 45,22,4 === Aba B l ba, 3 8π 3 16π π16 π36 ABC∆ CBA ,, cba ,, AaBcCb sincoscos =+ ABC∆ ABC∆ 432sin:sin:sin ：：=CBA Ccos 3 2 3 2− 3 1− 4 1−     ∈−= ππαα ,2,5 42cos =+ )4tan( πα 2 1− 2 1 ABC∆ 310 60=A θ=x xxxf cossin2)( −= =θcos 5 52 5 5 5 52− 5 5-11.钝角三角形的三边长为 ，其最大角不超过 ，则 的取值范围（　　） A． B． C． D． 12. 的值为 （ ） A．3　 B． C．1　 D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分） 13.已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是 3，则该正四棱锥的体积为________． 14. = 15.已知 的内角 A、B、C 的对边分别为 ，若 满足 ， 则 A＝________. 16. 在 中, ,若该三角形有两解,则 的取值范围为________． 三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，18 至 22 题每题 12 分） 17.( (本小题满分 10 分) 在 中，AC=3,BC=4,AB=5,以 AB 边 所在直线为轴，三角形面绕 AB 旋 转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积。 18. (本小题满分 12 分) 已知 . (1) 求 的值；  42sin72cos42cos18cos ⋅−⋅ 2,1, ++ aaa 120 a      2 5,1      2 5,2 3 ( ]3,2      3,2 3   20cos 20sin10cos2 − 2 3 ABC∆ cba ,, cba ,, ( )( ) bcacbcba 3=−+++ ABC∆ 60,2, === Bbxa x ABC∆     ∈=     + ππαπα ,2,10 2 4sin αcos(2) 求 的值． 19. (本小题满分 12 分) 在四棱柱 中, ， 求证：（1）AB∥平面 （2） 20. (本小题满分 12 分) 如 图 ， 在 中 ， 已 知 点 D 在 边 AB 上 ，      − 42sin πα 1111 DCBAABCD − BCABABAA ⊥= 11 , CBA 11 BCAAB 11 平面⊥ ABC∆. (1) 求 的值； (2) 求 CD 的长． 21. (本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥 ABCD 中，E，F 分别为棱 BC，CD 上的点，且 BD∥平面 AEF. (1) 求证：EF∥平面 ABD； (2) 若 AE⊥平面 BCD，BD⊥CD，求证：平面 AEF⊥平面 ACD. 13,13 5cos,5 4cos,3 ==∠== BCACBADBAD Bcos22. （本小题满分 12 分） 如图所示，为美化环境，拟在四边形 空地上修建两条道路 和 ，将四边形 分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点 在边 的三等分处（靠近 点）， 百米， ， ， 百米， . （1）求 区域的面积； （2）为便于花草种植，现拟过 点铺设一条水管 至道路 上，求当水管 最短时的 长． ABCD EA ED E BC B 3BC = BC CD⊥ 120ABC∠ =  21EA = 60AED∠ =  ABE∆ C CH ED CH第二学期期中考试 高一年级数学试题答案 二、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分） 1、C 2、B 3、C 4、D 5、D 6、B 7、D 8、B 9、C 10、D 11、D 12、D 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分） 13. 14. 15、 π 3 16、 四、解答题 17. 解：过 C 做 CD AB 交 AB 于 D 点。 旋转体是两个同底的圆锥，底面半径 CD= 故，表面积 ……………………….4 分 体积 V= ……..9 分 答：所得几何体的表面积为 ，体积为 。 18. (1)因为α∈(π 2 ，π)，所以α＋ π 4 ∈(3π 4 ， 5π 4 ). 又 sin(α＋ π 4 )＝ 2 10 ， 所以 cos(α＋ π 4 )＝－ 1－sin2(α＋ π 4 )＝－ 1－( 2 10 ) 2 ＝－ 7 2 10 . ………….2 分 所以 cos α＝cos[(α＋ π 4 )－ π 4 ]＝cos(α＋ π 4 )cos π 4 ＋sin(α＋ π 4 )sin π 4 ＝－ 7 2 10 × 2 2 ＋ 2 10 × 2 2 ＝－ 3 5 ……………..5 分 (2) 因为α∈(π 2 ，π)，cos α＝－ 3 5， 所以 sin α＝ 1－cos2α＝ 1－(－ 3 5 ) 2 ＝ 4 5 ……………………………7 分 所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 4 5×(－ 3 5 )＝－ 24 25， cos 2α＝2cos2α－1＝2×(－ 3 5 ) 2 ＝－ 7 25 …………………………………10 分 3 4 2 1 )3 34,2( ⊥ 5 12=⋅ AB BCAC ππ 5 84)( =+⋅⋅= ACBCDCS ππππ 5 48)(3 1 3 1 3 1 222 =+⋅=⋅+⋅ BDADDCBDDCADDC π 5 84 π 5 48所以 sin(2α－ π 4 )＝sin 2αcos π 4 －cos 2αsin π 4 ＝(－ 24 25)× 2 2 －(－ 7 25 )× 2 2 ＝－ 17 2 50 …………………………………..12 分 19. 证：(1)因为 是四棱柱， 所以 ， ………………...........3 分 因为 平面 ， 平面 ， 所 以 . ..................................5 分 （2）： 因为 是四棱柱， 所以侧面 为平行四边形. 又因为 ，所以四边形 为菱形， 因此 . ...................................7 分 又因为 . ...................................10 分 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所 以 平 面 . ..................................12 分 20. 解：(1) 在△ABC 中，cos A＝ 4 5，A∈(0，π)， 所以 sinA＝ 1－cos2A＝ 1－(4 5 ) 2 ＝ 3 5 .………………………………2 分 同理可得 sin∠ACB＝ 12 13 ………………………………4 分 所以 cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB) ＝sin Asin∠ACB－cos Acos∠ACB＝ 3 5× 12 13－ 4 5× 5 13＝ 16 65 …………….6 分 (2) 在△ABC 中，由正弦定理，得 1 1 1 1ABCD A B C D− 11// BAAB ⊄AB CBA 11 ⊂11BA CBA 11 1 1AB A B C平面∥ 1 1 1 1ABCD A B C D− 11AABB ABAA =1 11AABB BAAB 11 ⊥ BCAB ⊥1 BBCBA =1 ⊂BA1 BCA1 ⊂BC BCA1 ⊥1AB BCA1AB＝ BC sin Asin∠ACB＝ 13 3 5 × 12 13＝20. ……………………………… 8 分 又 AD＝3DB，所以 BD＝ 1 4AB＝5. ………………………………10 分 在△BCD 中，由余弦定理，得 CD＝ BD2＋BC2－2BD·BCcos B＝ 52＋132－2 × 5 × 13 × 16 65＝9 2.………12 分 21.证明：(1) 因为 BD∥平面 AEF，BD⊂平面 BCD，平面 AEF∩平面 BCD＝EF， 所以 BD∥EF………………..……….. 3 分 因为 BD⊂平面 ABD，EF⊄平面 ABD， 所以 EF∥平面 ABD……………………5 分 (2) 因为 AE⊥平面 BCD，CD⊂平面 BCD， 所以 AE⊥CD………………………………..7 分 因为 BD⊥CD，BD∥EF，所以 CD⊥EF…………………9 分 又 AE∩EF＝E，AE⊂平面 AEF，EF⊂平面 AEF， 所以 CD⊥平面 AEF ………………11 分 又 CD⊂平面 ACD，所以平面 AEF⊥平面 ACD ……………….12 分 22． 由题 在 中，由 即 所以 百米………………………………………………………3 分 所以 平方百米…………………5 分 记 ，在 中， ,即 ， 所以 ………………………………10 分 当 时，水管长最短 在 中， ( )1 211201 ==∠= ° EA,ABC,BE EBAΔ EBABEcos-2ABBEBAAE 222 ∠⋅+= BABA 2 ++= 121 4=AB 32 3142 1 2 1 =×××=∠⋅⋅= ABEnsiBEABS ABE∆ ( )2 α=∠AEB EBAΔ ABEsin AE ins AB ∠=α 2 3 214 =αsin 7 2117 72 2 =−== ααα sincos,sin DECH ⊥ ECHRt∆= 百米……… 12 分 απαπαπ sincoscossinsinHECsinCECH 3 223 223 22 −=     −=∠= 5 7 7