2019-2020学年山东省济宁市邹城一中高一数学下学期期中检测试题（解析版）

第 1 页 共 20 页 2019-2020 学年山东省济宁市邹城一中高一数学下学期期中 检测试题 一、单选题 1．若复数 满足： ，则 （ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】根据复数满足的等式化简变形，结合复数除法运算即可化简得 ，根据复数模 的定义及运算即可求解. 【详解】 复数 满足 ， 则 ， 由复数除法运算化简可得 ， 由复数模的定义及运算可得 ， 故选：B. 【点睛】 本题考查了复数模的定义，复数的除法运算，属于基础题. 2．已知 ， ， 为坐标原点， .点 在 轴 上，则 的值为( ) A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设点 ，根据向量相等，列方程，即可求解. 【详解】 设点 ， ， z (1 ) 2z i⋅ + = | |z = 2 3 z z (1 ) 2z i⋅ + = 2 1 iz = + ( ) ( )( ) 2 12 11 1 1 iz ii i i −= = = −+ + − ( )221 1 2z = + − = ( )3, 1A − ( )3,2B O ( )2 ROP OA OBλ λ= + ∈   P x λ 1− 2− ( ),0P a ( ),0P a ( ),0OP a= ( )3, 1OA = − ( )3,2OB =第 2 页 共 20 页 则 则有 解得 故选： 【点睛】 本题考查向量相等的坐标表示，属于基础题. 3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 B′O′＝C′O′ ＝1，A′O′＝ ，那么原△ABC 的面积是(　　) A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】先根据已知求出原△ABC 的高为 AO＝ ，再求原△ABC 的面积. 【详解】 由题图可知原△ABC 的高为 AO＝ ， ∴S△ABC＝ ×BC×OA＝ ×2× ＝ ，故答案为 A 【点睛】 本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握 水平和分析推理能力. 4．已知 的角 A、B、C 所对的边为 a、b、c， ， ， ，则 （ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】由已知结合余弦定理，得到关于 的方程，即可得答案． ( ) ( ) ( ),0 6, 2 3 ,2a λ λ= − + 6 3 0 2 2 a λ λ = +  = − + 1 9a λ =  = B 3 2 3 2 3 2 3 4 3 3 1 2 1 2 3 3 ABC 7c = 1b = 2 3C π= a = 5 3 a第 3 页 共 20 页 【详解】 由余弦定理可得， ， 即 ，整理可得 ， 解可得 ． 故选：B． 【点睛】 本题考查余弦定理的简单应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解 能力，属于基础试题． 5．已知正方体的棱长为 1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正方体性质知，它的外接球的半径为 ，内切球的半径为 ，利用球体积， 表面积公式计算得结果. 【详解】 由正方体性质知，它的外接球的半径为 ，内切球的半径为 ， ， ： ：2 故选：D 【点睛】 本题主要考查了正方体的性质，球的体积，表面积的计算，属于基础题. 6．设 ，其中 ，则以下结论正确的是（ ） A． 对应的点在第一象限 B． 一定不为纯虚数 C． 对应的点在实轴的下方 D． 一定为实数 【答案】C 【解析】根据 ， 可正可负也可为 0，即可判定. 【详解】 2 2 2 cos 2 a b cC ab + −= 21 1 7 2 2 a a + −− = 2 6 0+ − =a a 2a = 18:1 3:1 3 3 :1 3 : 2 3 2 1 2 3 2R = 1 2r = 3 24 3 43 2V R S rπ π π π∴ = = = =球 球， V∴ 球 S球 3= ( ) ( )2 22 5 3 2 2z t t t t i= + − + + + t ∈R z z z z ( )22 2 2 1 1 0t t t+ + = + + > 22 5 3t t+ −第 4 页 共 20 页 ， 不可能为实数，所以 D 错误； 对应的点在实轴的上方，又 与 对应的点关于实轴对称， 对应的点在实轴的 下方，所以 C 正确； ， 对应的点在第二象限，所以 A 错误； ， 可能为纯虚数，所以 B 错误； C 项正确. 故选：C 【点睛】 此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围. 7．若 ，且 ，那么 是( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】【详解】 解析：由题设可得 由题设可得 ， 即该三角形是等边三角形，应选答案 B． 8．如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CE 的中点，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由平面向量基本定理和向量运算求解即可 【详解】 ( )22 2 2 1 1 0t t t+ + = + + > z∴ z∴ z z z 213 ,2 5 3 02t t t− < < + − < z 21 ,2 5 3 02t t t= + − = z ∴ ( )( ) 3a b c b c a bc+ + + − = sin 2sin cosA B C= ABC 2 2 2 2 2 2 1cos ,2 2 3 b c ab c a bc A Abc π+ −+ − = ⇒ = = ⇒ = 2 2 2 2 22 cos 2 02 a b ca b C a b b c b cab + −= ⇒ = ⇒ − = ⇒ = AF = 3 1 4 4AB AD+  1 3 4 4AB AD+  1 2 AB AD+  3 1 4 2AB AD+ 第 5 页 共 20 页 根据题意得： ，又 ， ，所以 . 故选 D. 【点睛】 本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题. 9．设 l 是直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【答案】D 【解析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】 A.若 ， ，则 与 可能平行，也可能相交，所以不正确. B.若 ， ，则 与 可能的位置关系有相交、平行或 ,所以不正确. C.若 ， ，则可能 ，所以不正确. D.若 ， ，由线面平行的性质过 的平面与 相交于 ，则 ，又 . 所以 ，所以有 ，所以正确. 故选：D 【点睛】 本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题. 10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为 ，大圆 柱底面半径为 ，如图 1 放置容器时，液面以上空余部分的高为 ，如图 2 放置容器 时，液面以上空余部分的高为 ，则 （ ） 1 ( )2AF AC AE= +   AC AB AD= +   1 2AE AB=  1 1 3 1( )2 2 4 2AF AB AD AB AB AD= + + = +      α β //l α //l β //α β α β⊥ //l α l β⊥ α β⊥ l α⊥ //l β //l α l β⊥ α β⊥ //l α //l β α β α β⊥ //l α l β l β⊆ α β⊥ l α⊥ l β⊆ //l α l β⊥ l α l′ l l′ l β⊥ l β′ ⊥ α β⊥ 1r 2r 1h 2h 1 2 h h =第 6 页 共 20 页 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】 在图 1 中，液面以上空余部分的体积为 ；在图 2 中，液面以上空余部分的体积为 .因为 ，所以 . 故选：B 【点睛】 本题考查圆柱的体积，属于基础题. 11．一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距 10 海里的灯塔恰好与它在一条直线 上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°方向上,另一灯塔在船的南偏西 75° 方向上,则这艘船的速度是 ( ) A．5 海里/时 B． 海里/时 C．10 海里/时 D． 海里/时 【答案】C 【解析】在 中，计算得到 ， ，在 计算得到 ，得到答案. 【详解】 如图依题意有 , , 2 1 r r 2 1 2 r r       3 2 1 r r       2 1 r r 2 1 1r hπ 2 2 2r hπ 2 2 1 1 2 2r h r hπ π= 2 1 2 2 1 h r h r  =     5 3 10 3 ACD∆ 15CAD CDA °∠ = ∠ = ⇒ 10CD CA= = Rt ABC∆ AB 60BAC °∠ = 75BAD °∠ =第 7 页 共 20 页 ∴ ,从而 , 在 中,求得 , ∴这艘船的速度是 (海里/时) 【点睛】 本题考查了三角函数的应用，属于简单题. 12．对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以选项A 正确；当 与 方向相反时， 不成立，所以选项 B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选 项 C 正确； ，所以选项 D 正确．故选 B． 【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积． 13．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心 ，则 与底面 所成角的余弦值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接 ，设侧棱与底面边长都等于 ，计算 ， ， ， ，再根据点 到底面 的距离等于点 到底面 的距离，求解 与底面 所成角的正弦值，即可. 【详解】 如图所示，设三棱柱 的侧棱与底面边长都等于 . 15CAD CDA °∠ = ∠ = 10CD CA= = Rt ABC∆ 5AB = 5 100.5 = ,a b a b a b⋅ ≤   ||a b a b− ≤ −   2 2( ) | |a b a b+ = +   2 2( )( )a b a b a b+ − = −     cos ,a b a b a b a b⋅ = 〈 〉 ≤       a b a b a b− ≤ −   ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −     1 1 1ABC A B C− 1A ABC ABC∆ O 1AC ABC 2 3 7 3 6 3 5 3 1, , ,OA OB OC AC a 3 3AO a OC= = 1 6 3AO a= 1AC a= 1 3AC a= 1C ABC 1A ABC 1AC ABC 1 1 1ABC A B C− a第 8 页 共 20 页 连接 ，则 . 在 中， ，得 . 在 中， ，即 ， 则 为等边三角形，所以 . 在菱形 中，得 . 又因为点 到底面 的距离等于点 到底面 的距离 所以 与底面 所成角的正弦值为 . 即 与底面 所成角的余弦值为 . 故选：B 【点睛】 本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题. 14．若 为 所在平面内任意一点，且满足 ，则 一定为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】由向量的线性运算可知 ，所以 ，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得 ， 进而可得 ，即可得出答案. 【详解】 1, , ,OA OB OC AC 3 3AO a OC= = 1Rt AOA∆ 2 2 2 1 1A A AO OA= + 1 6 3AO a= 1Rt AOC∆ 2 2 2 2 1 1AC AO OC a= + = 1AC a= 1A AC∆ 1 60A AC∠ =  1 1ACC A 1 1 1120 , 3AAC AC a∠ = = 1C ABC 1A ABC 1 6 3AO a= 1AC ABC 6 23 33 a a = 1AC ABC 7 3 O ABC ( )2 0BC OB OC OA⋅ + − =    ABC 2OB OC OA AB AC+ − = +     ( ) 0BC AB AC⋅ + =   BC AD⊥  AB AC=第 9 页 共 20 页 由题意， ， 所以 ， 取 的中点 ，连结 ，并延长 到 ，使得 ，连结 ， ， 则四边形 为平行四边形，所以 . 所以 ，即 ， 故 ， 是等腰三角形. 故选：C. 【点睛】 本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基 础题. 二、多选题 15．在下列向量组中，不能把向量 表示出来的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】ACD 【解析】根据向量的坐标运算，如果选项中的两个向量是共线向量，则不能把向量 表示出来. 【详解】 ( ) ( )2OB OC OA OB OA OC OA AB AC+ − = − + − = +         ( ) 0BC AB AC⋅ + =   BC D AD AD E AD DE= BE EC ABEC AB AC AE+ =   0BC AE⋅ =  BC AD⊥  AB AC= ABC (3,2)a = 1 (0,0)e = 2 (1,2)e = 1 ( 1,2)e = − 2 (5, 2)e = − 1 (3,5)e = 2 (6,10)e = 1 (2, 3)e = − 2 ( 2,3)e = − (3,2)a =第 10 页 共 20 页 对 A，零向量与任何向量都是共线向量，故 ， 不能做为一组基底， 故 A 不能； 对 B， ，∴ ， 不共线，故 B 能． 对 C，∵ ，∴ ， 不能做为一组基底，故 C 不能． 对 D， ，∴ ， 不能做为一组基底，故 D 不 能． 故选：ACD． 【点睛】 本题主要考查向量共线的坐标运算、平面向量基本定理的应用，解题的关键是判断向量 是否共线，属于基础题． 16．下列说法正确的是（ ） A．在 中， B．在 中，若 ，则 C．在 中，若 ，则 ；若 ，则 D．在 中， 【答案】ACD 【解析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项，即可得答案． 【详解】 对于 A，由正弦定理 ，可得： ，故 A 正确； 对于 B，由 ，可得 ，或 ，即 ，或 ， ，或 ，故 B 错误； 对于 C，在 中，由正弦定理可得 ，因此 是 的充要条件，故 C 正确； 对于 D，由正弦定理 ， 可得右边 左边，故 D 正确． 故选：ACD． 【点睛】 1 (0,0)e = 2 (1,2)e = ( 1) ( 2) 5 2− × − ≠ × 1 ( 1,2)e = − 2 (5, 2)e = − 3 10 5 6× = × 1 (3,5)e = 2 (6,10)e = 2 3 ( 2) ( 3)× = − × − 1 (2 3)e = − 2 ( 2,3)e = − ABC : : sin :sin :sina b c A B C= ABC sin 2 sin 2A B= A B= ABC sin sinA B> A B> A B> sin sinA B> ABC sin sin sin += + a b c A B C 2sin sin sin a b c RA B C = = = : : 2 sin : 2 sin : 2 sin sin :sin :sina b c R A R B R C A B C= = sin 2 sin 2A B= A B= 2 2A B π+ = A B= 2A B π+ = a b∴ = 2 2 2+ =a b c ABC∆ sin sinA B a b A B> ⇔ > ⇔ > A B> sin sinA B> 2sin sin sin a b c RA B C = = = 2 sin 2 sin 2sin sin sin sin b c R B R C RB C B C + += = = =+ +第 11 页 共 20 页 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思 想，属于基础题． 17．在 中， ， ， ，则角 B 的值可以是（ ） A．105º B．15º C．45º D．135º 【答案】AB 【解析】由已知结合正弦定理可求 ，再结合三角形的内角和定理，即可得答案． 【详解】 ， ， ， 由正弦定理可得， 即 ，∴ ， ， ，则 或 ， 则角 或 ． 故选：AB． 【点睛】 本题考查正弦定理在求解三角形中的应用、三角形解的个数的判断，考查函数与方程思 想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力． 18．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A．若 ，则 ； B．已知 ， ，若 ，则 ； C．非零向量 和 ，满足 ，则 与 的夹角为 30º； D． 【答案】BCD 【解析】通过举反例知 A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知 B 正确，由向量加 减法的意义知，C 正确，通过化简计算得 D 正确． 【详解】 对 A，当 时，可得到 不成立； 对 B， 时，有 ， ，故 B 正确． 对 C，当 时， 、 、 这三个向量平移后构成一个等边三角形， ABC 5 2a = 10c = 30A = ° C 5 2a = 10c = 30A = ° sin sin a c A C = 5 2 10 1 sin 2 C = 2sin 2C = a c a b θ | |a b−  2| |a b−  | | 4a = | | 3b = 2 2(2 3 ) (2 ) 4 | | 3| | 4 37 4 61a b a b a b a b a b− ⋅ + = − − ⋅ = − ⋅ =         ∴ | | | | cos , 6a b a b a b⋅ = ⋅ < >= −    第 16 页 共 20 页 ∴ ，∴ ， ∴向量 与 的夹角 . （2） ， . 【点睛】 本题考查数量积表示两个向量的夹角、向量的模，考查函数与方程思想、转化与化归思 想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 24．已知复数 （ 为虚数单位）. （1）若 ，求复数 的共轭复数； （2）若 是关于 的方程 一个虚根，求实数 的值. 【答案】（1） ；（2）2． 【解析】分析：（1）因为 ，所以 ，求出 ，即可得到 的共 轭复数； （2）将 代入方程 ，根据复数相等可求求实数 的值. 详解：（1）因为 ，所以 ， 所以复数 的共轭复数为 . （2）因为 是关于 的方程 的一个虚根， 所以 ，即 . 又因为 是实数，所以 . 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计 算能力，属于基础题． 25．在锐角 中， 分别是角 所对的边，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ，且 的面积为 ，求 的值. 【答案】（1） ；(2) . 1cos , 2a b< >= − , 120a b< >=  a b 120θ = ° 2 2 2| | | | | | 2 16 9 12 37a b a b a b− = + − ⋅ = + + =     | | 37a b∴ − = 1 2z i= − i 0 02z z z z⋅ = + 0z z x 2 5 0x mx− + = m 2 i− 0 02z z z z⋅ = + 0 2 1 zz z = − 0z 0z 1 2z i= − 2 5 0x mx− + = m 0 02z z z z⋅ = + ( ) 0 2 1 22 21 2 izz iz i −= = = +− − 0z 2 i− z x 2 5 0x mx− + = ( ) ( )21 2 1 2 5 0i m i− − − + = ( ) ( )2 2 4 0m m i− + − = m 2m = ABC∆ , ,a b c , ,A B C 3 2 sina c A= C 7c = ABC∆ 3 3 2 +a b 60 5第 17 页 共 20 页 【解析】（1）由 ，利用正弦定理可得 ，结合 是锐角可得 结果；(2)由 ，可得 ，再利用余弦定理可得结果. 【详解】 （1）因为 所以由正弦定理得 ,因为 ， 所以 , 因为 是锐角， 所以 . (2)由于 ， ， 又由于 ， ， 所以 . 【点睛】 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、 简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中 含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两 个定理都有可能用到． 26．如图，四棱锥 的底面是边长为 1 的正方形， 垂直于底面 ， . 3 2 sina c A= 3sin 2C = C 1 sin2 ab C = 3 3 2 6ab = 3 2 sina c A= 3sin 2sin sinA C A= sin A 0≠ 3sin 2C = C 60C =  1 sin2 ab C = 3 3 2 6ab∴ = 2 2 2 2 cos60c a b ab= + −  ( ) ( )2 27 3 18a b ab a b= + − = + − ( )2 25a b+ = 5a b+ = S ABCD− SD ABCD 1SD =第 18 页 共 20 页 （1）求平面 与平面 所成二面角的大小； （2）设棱 的中点为 ，求异面直线 与 所成角的大小. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）根据题意可证明 ，所以 即为平面 与平面 所 成二面角的平面角，结合线段关系即可求得 的大小； （2）根据题意，可证明 和 ，从而由线面垂直的判定定理证明 平面 ，即可得 ，所以异面直线 与 所成角为 . 【详解】 （1）由题意可知底面 是边长为 1 的正方形， 则 ， 又因为 垂直于底面 ， 平面 ， 则 ， 由于 ， 则 平面 ， 而 平面 ， 所以 ， 则 即为平面 与平面 所成二面角的平面角， 由 可知， 在 中， ； （2）由 ，且 ， 为棱 的中点， 所以由等腰三角形性质可知 , 又因为 ，且 ， 所以 平面 ， SBC ABCD SA M DM SB 45 90 BC SC⊥ SCD∠ SBC ABCD SCD∠ DM SA⊥ BA DM⊥ DM ⊥ SAB DM SB⊥ DM SB 90 ABCD BC CD⊥ SD ABCD BC ⊂ ABCD SD BC⊥ SC CD C∩ = BC ⊥ SDC SC ⊂ SDC BC SC⊥ SCD∠ SBC ABCD 1SD DC= = Rt SCD 45SCD∠ =  1SD AD= = SD AD⊥ M SA DM SA⊥ BA AD⊥ SD BA⊥ BA ⊥ SDA第 19 页 共 20 页 而 平面 ， 所以 ，而 且 ， 所以 平面 ， 而 平面 ， 所以 ， 则异面直线 与 垂直，所以异面直线 与 的夹角为 . 【点睛】 本题考查了平面与平面形成的二面角求法，异面直线的夹角求法，由线面垂直判断线线 垂直的方法，直线与平面垂直的判定，属于基础题. 27．如图，四棱锥 中， 平面 分别为线段 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解 【解析】（1）设 交点为 ，连接 ，则可根据 是 中位线求证 ，进而得证； （2）由线段关系可证 ，又由 平面 可得 ，进而可得 ，再结合四边形 是菱形可得 ，即可求证； 【详解】 （1） DM ⊂ SDA BA DM⊥ DM SA⊥ BA SA A∩ = DM ⊥ SAB SB ⊂ SAB DM SB⊥ DM SB DM SB 90 P ABCD− AP ⊥ 1, // , , ,2PCD AD BC AB BC AD E F= = ,AD PC / /AP BEF BEF ⊥ PAC ,AC BE O OF OF APC∆ OF AP BE CD∥ AP ⊥ PCD AP CD⊥ BE AC⊥ ABCE BE AC⊥第 20 页 共 20 页 设 交点为 ，连接 ，又 ， 又 ，所以四边形 是菱形，则 是 中点， 又 为 中点， 是 中位线， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）由（1）可知四边形 是菱形， ，又 平面 可得 ， 为 中点可得 ，又 ， 四边形 为平行四边形， ， ， ， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 【点睛】 本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题 ,AC BE O OF 1 ,2AB BC AD= = BC AE∴ = / /AD BC ABCE O AC F PC ∴ OF APC∆ OF AP∴  AP ⊄ BEF OF ⊂ BEF ∴ / /AP BEF ABCE BE AC∴ ⊥  AP ⊥ PCD AP CD⊥ E AD BC ED= / /AD BC ∴ BCDE CD BE AP BE∴ ⊥ AC AP A= BE∴ ⊥ PAC BE ⊂ BEF ∴ BEF ⊥ PAC