2019-2020 学年山东省济宁市嘉祥一中高一（下）期中数学试卷
2020.5
（满分 150 分，考试用时 120 分钟）
★祝考试顺利★
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.设 z=i(2+i)，则在复平面内 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设 是任意向量,则下列结论一定正确的是( )
A． B．
C． D．
3.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所
示的直观图，其中 B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝ ，那
么原△ABC 的面积是( )
A. 2 B. 2
C D.
4.设 l 是直线， ， 是两个不同的平面，下列选项中是真命题的为（ ）
A. 若 ， ，则 B.若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
5．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度
的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近 10 表示满意度越高.现
随机抽取 10 位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，
9，10.则这组数据的80%分位数是（ ）
A．7.5 B．8 C．8.5 D．9
.
z
, ,a b c
0 0a⋅ = ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
0a b a b⋅ = ⇒ ⊥ 2 2( ) ( ) | |a b a b a b+ ⋅ − = −
2
3 2
3 2
α β
//l α l β⊥ α β⊥ //l α //l β //α β
α β⊥ l α⊥ //l β α β⊥ //l α l β⊥6.在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0
分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题
得 5 分的概率为（ ）
A. B. C. D.
7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众
多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个
圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数
据(单位：cm)，那么该壶的容量约为（ ）
A．100 B． C．300 D．400
8.△ABC 所在的平面内有一点 P,满足 +2 + =2 ,则△PBC 与△ABC 的
面积之比是 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9.抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是
1,2,3”为事件 B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 C,“向上的点数是
4,5,6”为事件 D,则下列关于事件 A， B，C，D 判断正确的有（ ）
A．A 与 D 是互斥事件但不是对立事件
B．B 与 D 是互斥事件也是对立事件
C．C 与 D 是互斥事件
D．B 与 C 不是对立事件也不是互斥事件
10．下列说法正确的有( )
A．在△ABC 中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC 中，若 sin 2A＝sin 2B，则△ABC 为等腰三角形
C．△ABC 中，sin A＞sin B 是 A ＞B 的充要条件
15
1
12
1
11
1
4
1
3cm 3200cm 3cm 3cmD．在△ABC 中，若 sin A= ，则 A=
11 若平面向量 ， ， 两两夹角相等， ， 为单位向量， =2，则
=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12．如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 E、F，
且 ，则下列结论中正确的是
A． B．
C．三棱锥 的体积为定值
D．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为 ______ .
14．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为 4，体积为 4，则这个球的表面
积为
15.在▱ ABCD 中，|AB→
|＝4，| AD→
|＝3， N 为 DC 的中点，BM→
＝2MC→
，则AM→
·NM→
＝
________．
16.1996 年嘉祥被国家命名为“中国石雕之乡”。2008 年 6 月，嘉祥石雕登上
了国家文化部公布的“第二批国家级非物质文化遗产名录”，嘉祥石雕文化产
业园被国家文化部命名为“国家级文化产业示范基地”。近年来，嘉祥石雕产
业发展十分迅猛，产品畅销全国各地及美国、日本、东南亚国家和地区。嘉祥
某石雕厂为严把质量关，对制作的每件石雕都请 3 位行家进行质量把关，质量
把关程序如下：（i）若一件石雕 3 位行家都认为质量过关，则该石雕质量为优
秀级；（ii）若仅有 1 位行家认为质量不过关，再由另外 2 位行家进行第二次
质量把关，若第二次质量把关这 2 位行家都认为质量过关，则该石雕质量为良
好级，若第二次质量把关这 2 位行家中有 1 位或 2 位认为质量不过关，则该石
2
1
6
π
a b c a b c
cba ++
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D
1
2EF =
AC BE⊥ //EF ABCD平面
A BEF−
AEF BEF∆ ∆的面积与 的面积相等
i
i
ia
+
−
1
2
a雕需返工重做.已知每一次质量把关中一件石雕被 1 位行家认为质量不过关的
概率均为 ，且每 1 位行家认为石雕质量是否过关相互独立.则一件石雕质量为
优秀级的概率为______ ；一件石雕质量为良好级的概率为______.(第一空 2 分，
第二空 3 分）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10 分)已知 是同一平面内的三个向量， ；
（1）若 ，且 、 共线反向，求 的坐标；
（2）若 ，且（ ） （ ），求 与 的夹角 .
18.(12 分)在锐角 中， 分别是角 所对的边，且 .
（1）求角 的大小；
（2）如果 a+b=6， ,求 的值。
19.(12 分)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为 a，b 的 2 个黑球和编号为 c，
d，e 的 3 个红球．
(1)若从中一次性（任意）摸出 2 个球，求恰有一个黑球和一个红球的概率；
(2)若从中任取一个球给小朋友甲，然后再从中任取一个球给小朋友乙，求甲、
乙两位小朋友拿到的球中恰好有一个黑球的概率．
(3)若从中连续取两次，每次取一球后放回，求取出的两个球恰好有一个黑球的
概率．
20. (12 分)网络直播是一种新兴的网络社交方式，网络直播平台也成为了一种
崭新的社交媒体。很多人选择在快手、抖音等网络直播平台上分享自己的生活
点滴.2020 年的寒假，注定不凡.因为新冠病毒疫
情的影响，开学延迟了。老师们停课不停教，在
网络上直播授课；同学们停课不停学，在家上网课.
某网络社交平台为了了解网络直播在大众中的熟
知度，对 15-65 岁的人群随机抽样调查，调查的问
题是“你直播过吗？”其中，回答“直播过”的
共有 个人.把这 个人按照年龄分成 5 组：第 1 组
，第 2 组 ，第 3 组 ，第 4
组 ，第 5 组 ，然后绘制成如图所示
的频率分布直方图.其中，第一组的频数为 20.
（1）求 和 的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；
1
3
, ,a b c
)1,2(=a
2 5c = a c c
5
2b = 2a b+ ⊥ 2a b− a b θ
ABC∆ , ,a b c , ,A B C 3 2 sina c A=
C
4CA CB =
c
n n
[ )15,25 [ )25,35 [ )35,45
[ )45,55 [ )55,65
n x（2）从第 1，3，4 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，求第 1，3，4 组抽取的人
数；
（3）在（2）抽取的 6 人中再随机抽取 2 人，求所抽取的 2 人来自同一个组的
概率.
21．(12 分)如图，四棱锥 的底面是边长为 2
的正方形， 垂直于底面 ， ，.
（1）求证 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的大小；
（3）设棱 的中点为 ，求异面直线 与 所
成角的大小
（如需要做辅助线，在上传的答题卡中作出.）
22.(12 分)如图，已知 AF 面 ABCD，四边形
ABEF 为 矩 形 ， 四 边 形 ABCD 为 直 角 梯 形 ，
（1）求证：AF//面 BCE；
（2）求证：AC 面 BCE；
（3）求三棱锥 F-BCE 的体积．
（如需要做辅助线，在上传的答题卡中作出.）
S ABCD−
SD ABCD 2=SD
BC SC⊥
SBC ABCD
SA M DM SB
⊥
090=∠DAB
2,1,// ==== ABCDAFADCDAB
⊥2019-2020 学年嘉祥一中高一（下）期中数学参考答案
1【答案】D
【解析】 ，
所以 对应点（-1，-2）位于第四象限．故选 D
2 答案：D
答案解析：∵ ,∴A 中结论错误；
向量的数量积不满足结合律,∴B 中结论错误；
当 时, 与 的夹角为 90°或, 、 至少一给为零向量∴C 中结论错误；
D 中结论正确.
3【答案】B
【解析】
由题图可知原△ABC 的高为 AO＝ 2 ，
∴S△ABC＝ ×BC×OA＝ ×2× 2 ＝ 2 ，故答案为 B
4【答案】A
【解析】
A.若 ， ，由线面平行的性质过 的平面与 相交于 ，则 ，又 .所以
，所以有 ，所以正确.
B.若 ， ，则 与 可能平行，也可能相交，所以不正确.
C.若 ， ，则可能 ，所以不正确.
D.若 ， ，则 与 可能的位置关系有相交、平行或 ,所以不正确.
5【答案】C
由题意，这10 个人的幸福指数已经从小到大排列，
因为80% ×10= 8 ，
所以这10 个人的80% 分位数是从小到大排列后第 8 个人与第 9 个人的幸福指数的平均数，
即8.5.故选：C
6【答案】C
2i(2 i) 2i i 1 2iz = + = + = − +
1 2z i= − −
0 0a⋅ =
0a b⋅ = a b a b
2
1
2
1
2 2 2
//l α l β⊥ l α l′ l l′ l β⊥
l β′ ⊥ α β⊥
//l α //l β α β
α β⊥ l α⊥ l β⊆
α β⊥ //l α l β l β⊆【 解 析 】 小 明 做 一 道 多 选 题 得 5 分 为 事 件 A ， 多 选 题 的 样 本 空 间 共 有
AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD 共 11 个样本点，P(A)=1/11
7. 【答案】B
【 解 析 】 设 大 圆 锥 的 高 为 ， 所 以 ， 解 得 ， 故
．
8【解析】选 C.因为 +2 + =2 ,所以 +2 + =2 -2 ,
所以 =-3 =3 ,即 P 是 AC 边的一个四等分点,且 PC= AC,由三
角形的面积公式知, = = .
9【答案】ABD
10 答案：A，C
答案解析：
由正弦定理易知 A，C 正确．对于 B，由 sin 2A＝sin 2B，可得 A＝B，或 2A＋2B＝π，即 A
＝B，或 A＋B＝π
2，∴a＝b，或 a2＋b2＝c2，故 B 错误. D 中 A 为
11．AD【解析】夹角为 0 时为 4；夹角为 时为 1
12．ABC
【解析】
可证 ，故 A 正确；由 ∥平面 ABCD，可知
，B 也正确；连结 BD 交 AC 于 O，则 AO 为三棱锥 的高，
，三棱锥 的体积为 为定值，C 正确；D
错误。选 ABC。
13【解析】 ，
h 4 6
10
h
h
− = 10h =
2 21 1 1965 10 3 6 2003 3 3V π π π= × × − × × = ≈ 3cm
4
3
4
3
6
5
6
ππ 或
0120
1 1AC D DBB AC BE⊥ ⊥平面 ，从而
/ /EF ABCD平面 A BEF−
A BEF−
2
)2()2(
)1)(1(
)1)(2
1
2 iaa
ii
iia
i
ia +−−=−+
−−=+
− （
.2,02 =∴=−∴ aa14【答案】
【 解 析 】 由 题 可 得 正 四 棱 柱 的 底 面 边 长 为 ：
．4S=4,S=1,a=1 而它的外接球的直径为它的体对角线长：
2R= ，则球的表面积为：
15 解析：法一：AM→
·NM→
＝(AB→
＋BM→
)·(NC→
＋CM→
)＝(AB→
＋2
3AD→
)·(1
2AB→
－1
3AD→
)＝1
2
AB→
2－2
9AD→
2＝6.
法二(特例图形)：若▱ABCD 为矩形，建立如图所示坐标系，
则 N(2，3)，M(4，2)．
所以AM→
＝(4，2)，NM→
＝(2，－1)，
所以AM→
·NM→
＝(4，2)·(2，－1)＝6.
答案：24
16.一件石雕质量为 A 级的概率为 （2 分）
一件石雕质量为 B 级的概率为 .（3 分）
17.解：(Ⅰ)由 可设
又 、 共线反向，则
= . ………………5 分
(Ⅱ) 与 垂直,
π18
4 16, 4, 2S S a⋅ = = =
23 ππ 184 2 == RS
31 8(1 )3 27
− =
81
16
3
1-133
1-13
1 22 =⋅⋅⋅ ）（）（
ac // ( ),,2 λλλ == ac
，，， 220452 22 ±==+∴= λλλc
a c 20 −=< λλ ，
c ( )2,4 −−
ba 2+ ba −2即 而 ，
………………8 分
因为
………………10 分
18【详解】（1）因为
所以由正弦定理得 , ………………2 分
因为 ，
所以 , ………………4 分
因为 是锐角，所以 . ………………6 分
12 分
19 解：(1)从 5 个小球中一次性取 2 个，所有可能的结果为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，
{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共 10 个样本点，
设恰有一个黑球和一个红球为事件 A,则 A 有{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，
e}，共 6 个样本点
………………4 分
(2)从 5 个小球中任取 2 个，一个给甲，一个给乙的所有可能的结果为(括号内第一个给甲，
第二个给乙)(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，
b)，(c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)，共 20
个样本点.
设甲、乙两位小朋友拿到的球中恰好有一个黑球为事件 B 则 B 有(a，c)，(a，d)，(a，e)，
(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)，共 12 个样本点.
( ) ( ) ,022 =−⋅+∴ baba ,0232
22 =−⋅+ bbaa
5
2b = 2 21 2 5a = + =
,2
5
3
22
22
−=
−
=⋅∴ ab
ba
,1
2
55
2
5
cos −=
×
−
=⋅=∴
ba
baθ [ ]0,θ π∈
.πθ =∴
3 2 sina c A=
3sin 2sin sinA C A=
sin A 0≠
3sin 2C =
C 60C =
5
3
10
6)( ==∴ AP ………………8 分
(3)从 5 个小球中连续取俩次，每次取一球后放回，所有可能的结果为(a，a)，(a，b)，(a，
c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，(c，
d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，d)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)，(e，
e)，共 25 个样本点.
设取出的两个球恰好有一个黑球为事件 C 则 C 有(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，
(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)，共 12 个样本点.
………………12 分
20.解：（1）由题意可知， ，………………1 分
由 ，
解得 ， ………………3 分
由频率分布直方图可估计这组数据的众数为 30；………………4 分
（2）第 1，3，4 组频率之比为 0.020：0.030：0.010=2：3：1
则从第 1 组抽取的人数为 ,
从第 3 组抽取的人数为 ，
从第 4 组抽取的人数为 ； ………………7 分
（2）设第 1 组抽取的 2 人为 ，第 3 组抽取的 3 人为 ，第 4 组抽取的 1 人为
， 则 从 这 6 人 中 随 机 抽 取 2 人 有 如 下 种 情 形 ：
， ，共有 15 个样本点.………………9 分
其中符合“抽取的 2 人来自同一个组”的基本事件有
共 4 个样本点， ………………11 分
所以抽取的 2 人来自同一个组的概率 .………………12 分
21．
5
3
20
12)( ==∴ BP
25
12)( =∴ CP
20 1000.020 10n = =×
( )10 0.020 0.036 0.010 0.004 1x+ + + + =
0.030x =
26 26
× =
36 36
× =
16 16
× =
1 2,A A 1 2 3, ,B B B
C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 1 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A A A B A B A B A C A B A B A B A C B B B B，
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3, , , , , , ,B C B B B C B C
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 2 3, , , , , , ,A A B B B B B B
4
15P =（I）∵底面 是正方形， ∴ ，
∵ 底面 ， 底面 ，∴ ，又 ， ∴ 平面
，∵ 平面 ，∴ . ………………4 分
（II）由（I）知 ，又 ,∴ 为所求二面角的平面角，………6 分
在 中，∵SD=DC=1，∴ .………………8 分
（III）取 中点 ，连结 ，
在 ，由中位线定理得 ，
或其补角是异面直线 与 所成角，………………10 分
∵
所以 中，有 ， .………………12 分
22. 解：
证明： 四边形 ABEF 为矩形， ，………………1 分
平面 BCE， 平面 BCE，………………2 分
ABCD BC CD⊥
SD ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD SD BC⊥ DC SD D= BC ⊥
SDC SC ⊂ SDC BC SC⊥
BC SC⊥ CD BC⊥ SCD∠
Rt DSC∆ 45SCD∠ = °
AB P ,MP DP
ABSD MP SB
DMP∴∠ DM SB
5,2,32
1 ==== DPDMSBMP
DMP∆ 2 2 2DP MP DM= + 90DMP∴∠ = °面 BCE．………………3 分
证明： 面 ABCD，四边形 ABEF 为矩形，
平面 ABCD， 平面 ABCD，
， ………………4 分
四边形 ABCD 为直角梯形， ， ， ， ，
，
， 在 中，
，
， ， ………………6 分
， ， 面 BCE， 面 BCE，………………7 分
面 BCE． ………………8 分
（3） ……………12 分
3
1
2212
1
3
1
3
1
=
⋅⋅⋅⋅=⋅== ∆−− ACSVV BCEBCEABCEF
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