山东省肥城市2019-2020高一数学下学期期中试题（Word版附答案）

肥城市 2019-2020 学年高一下学期期中考试 数学试题 本试卷共 22 题，满分 150 分，共 4 页．考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．考生作答时，将答案答在答题纸上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作 答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．选择题答案、非选择题答案使用 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体 工整、笔迹清楚． 4．保持答题纸纸面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交 回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.设 是虚数单位，复数 ，那么 A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3.若向量 ，且 ，则 的值为 A. B. C.2 D. 4. 2020 年 2 月 8 日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合 隋文静/韩聪以总分 217.51 分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国 另一对组合彭程/金杨以 213.29 分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结 一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有 9 位评委进行评分，首先这 9 位评委给出某对选手的 原始分数，评定该对选手的成绩时从 9 个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到 7 个有效评分，7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 5.0 i 1 21 2i, 1 3iz z= + = − 1 2z z+ = 2 i− 2 i+ 2 i− − 2 i− + AB BC AD+ − =   AD CD DB DC ( ) ( ), 1 , 3,2x= − = −a b //a b x 1 2 3 2 5 20.8 0.7 第 5 题图 O 40 40.5 41 41.5 42 重量/kg0.1 0.4 频率 组距 A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 5.某工厂抽取 100 件产品测其重量（单位：kg），其中每件产品的重量范围是 .数据的 分组依次为 ， ， ， ，据此绘制出 如图所示的频率分布直方图，则重量 在 内的产品件数为 A.30 B.40 C.60 D.80 6.已知作用在坐标原点的三个力 ，则作用在原点的合力 的坐标为 A. B. C. D. 7.已知 ，关于 的方程 有实根，则 的最小值是 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8.瑞士著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则 被称为欧拉线定理.设点 、 分别是 的外心、垂心，且 为 中点，则 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.在 中，内角 的对边分别为 ，则下列关系式中，一定成立的有 A. B. C. D. 10.下面是关于复数 （ 为虚数单位）的命题，其中真命题为 A． B． [ ]40,42 [ )40,40.5 [ )40.5,41 [ )41,41.5 [ ]41.5,42 [ )40,41 ( ) ( ) ( )1 2 33,4 , 2, 5 , 3,1= = − =F F F 1 2 3 = + +F F FF ( )8,0 ( )8,8 ( )2,0− ( )2,8− a∈C x 2 2 4 2 i 0x ax− + − = | |a O H ABC∆ M BC 3 3AB AC HM MO+ = +    3 3AB AC HM MO+ = −    2 4AB AC HM MO+ = +    2 4AB AC HM MO+ = −    ABC∆ , ,A B C a b c， ， sin sina B b A= cos cosa b C c B= + 2 2 2 2 cosa b c ab C+ − = sin sinb c A a C= + 2 1 iz = − + i | | 2z = 2 2iz =C． 的共轭复数为 D． 的虚部为 11.如图，已知点 为正六边形 中心，下列结论中正确的是 A． 与 是共线向量 B． C． D． 12.在 中，内角 所对的边分别为 . 根据下列条件解三角形，其中有两解的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知 ，则 的坐标为 ▲ ， ▲ . （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 14．数据：18，26，27，28，30，32，34，40 的第 75 百分位数为 ▲ ． 15．某校田径队共有男运动员 45 人，女运动员 36 人，若采用分层随机抽样的方法在该校田 径队中抽取 18 人进行体能测试，则应抽取的女运动员的人数为 ▲ ． 16．如图，在半径为 2 的圆 中， 为圆上的一个定点， 为圆上的一个动点.若点 、 、 不共线， 且 对 恒成立， 则 ▲ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 在① ，② ，③ ， 的面积是 三 个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答. z 1 i+ z 1− O ABCDEF OA FE OA CB DO= =   ( ) ( ) 0OA OE EF FA− ⋅ − =    ( ) ( )OA AF BC OA AF BC⋅ = ⋅      ABC∆ , ,A B C , ,a b c 10, 45 , 70b A C= = ° = ° 45, 48, 60b c B= = = ° 14, 16, 45a b A= = = ° 7, 5, 80a b A= = = ° ( ) ( )1,2 , 2,1= = −a b +a b ( ) ( )+ ⋅ − =a b a b C A B A B C B t BCA AC− ≥   ( )0,t ∈ +∞ AB AC⋅ =  157,sin 5b B= = 7, 1b AB AC= ⋅ = −  1c = ABC∆ 6 2 A B C DE F O 第 11 题图 A B C 2 第 16 题图已知 中，角 的对边分别是 .若 ， ，求 的 值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（12 分） 为了了解某校初三年级 500 名学生的体质情况，随机抽查了 10 名学生，测试 仰卧 起坐的成绩（次数），测试成绩如下： 30 35 42 33 34 36 34 37 29 40 （1）这 10 名学生的平均成绩 是多少？标准差 是多少？ （2）次数位于 与 之间有多少名同学？所占的百分比是多少？ （参考数据： ） 19.（12 分） 在复平面内，复数 对应的点分别为 . （1）计算： ，并求 的模； （2）求向量 在向量 上的投影向量，其中 为复平面的原点. 20.（12 分） 已知平面上三个向量 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 . （1）求证： ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 21.（12 分） 已知复数 ， 是 的共轭复数. （1）证明： ； （2）分别求 和 的值； （3）求 的值. ABC∆ , ,A B C , ,a b c 7cos 7A = − a 1min x s x s− x s+ 23.8 14.6≈ 1 2 3, ,z z z ( ) ( ) ( )4,0 , 5, 3 , 3,3 3A B C 2 3 z z 2 3 z z BC OA O , ,a b c 2 3 π ( )− ⊥a b c | 1k + + >| a b c k ( )1 3 i i2 2 ω = − + 是虚数单位 ω ω 2ω ω= 3ω 2 1ω ω+ + ( ) ( )2 22 22 2ω ω ω ω+ + +22.（12 分） 已知 内接于以 为圆心，1 为半径的圆，且 . （1）求数量积 ， ， ； （2）求 的面积. ABC∆ O 3 4 5OA OB OC+ + = 0   OA OB⋅  OB OC⋅  OC OA⋅  ABC∆高一数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B A B A B D 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 全部选对的得 5 分，部分选对的 得 3 分，有选错的得 0 分. 题号 9 10 11 12 答案 ABC ABD ABCD BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 14.33 15. 8 16.4 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 17.（10 分） 解：方案一：选条件①：∵ ， ∴ .……………………………………………4 分 在 中，根据正弦定理 ， ………………………………………………6 分 得 . ………………………………………………………10 分 方案二：选条件②：∵ ， ∴ ， ………………………………………………………2 分 即 ， ∴ . ………………………………………………………4 分 在 中，根据余弦定理 ， 得 ， …………………………………………9 分 ( )1,3− 0 7cos 7A = − 0 A π< < 2 2 7 42sin 1 cos 1 7 7A A  = − = − − =    ABC∆ sin sin a b A B = 427sin 7 10sin 15 5 b Aa B × = = = 1AB AC⋅ = −  | | | | cos 1AB AC A⋅ = −  77 17c  × × − = −    1c = ABC∆ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( )22 2 77 1 2 7 1 107a  = + − × × × − =   ∴ . ………………………………………………………10 分 方案三：选条件③：∵ ， ∴ . ……………………………………3 分 又 的面积 ， ∴ . ………………………………………………………6 分 在 中，根据余弦定理 ， 得 ， …………………………………………9 分 ∴ . ………………………………………………………10 分 18.（12 分） 解：（1）10 名学生的平均成绩为： . …………………………3 分 方差： ， ………………………5 分 即标准差 . ………………………………………………………6 分 （2） ， ， ………………………………………………………8 分 所以次数位于 与 之间的有 6 位同学， ………………………………………10 分 所占的百分比是 . ………………………………………………………12 分 19.（12 分） 解：（1）由题意可知： ， ………………………………………2 分 ∴ ， ………………4 分 10a = 7cos 7A = − 0 A π< < 2 2 7 42sin 1 cos 1 7 7A A  = − = − − =    ABC∆ 1 6sin2 2S bc A= = 7b = ABC∆ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( )22 2 77 1 2 7 1 107a  = + − × × × − =    10a = ( )1 30 35 42 33 34 36 34 37 29 40 3510x = + + + + + + + + + = ( )2 1 25 0 49 4 1 1 1 4 36 25 14.610s = + + + + + + + + + = 14.6 3.8s = ≈ 35 3.8 31.2x s− = − = 35 3.8 38.8x s+ = + = x s− x s+ 6 60%10 = 2 35 3i, 3 3 3iz z= + = + ( )( ) ( )( )2 3 5 3i 3 3 3i5 3i 24 12 3i 2 3 i36 3 33 3 3i 3 3 3i 3 3 3i z z + −+ −= = = = − + + −. ……………………………………………………………5 分 （2）由题意可知： . ……………………………………7 分 设向量 和 的夹角为 ， 是与 方向相同的单位向量， 则 ， ………11 分 即向量 在向量 上的投影向量是 . …………………………………………12 分 20.（12 分） 解：（1）∵ ，且三个向量之间的夹角均为 ， ∴ ， ……………………3 分 ∴ . ………………………………………………………………………………4 分 （2）∵ ， ∴ ，即 ， ……………………………………………7 分 ∴ . …………………………………………9 分 又由条件可得： ， ， …………………………10 分 ∴ ，解得 或 . …………………………………………12 分 21.（12 分） 解：（1）∵ 是 的共轭复数， ∴ . ………………………………………………………………………1 分 又 ， …………2 分 ∴ . …………………………………………………………………………………3 分 （2）∵ ， ……………………………………………………………4 分 22 2 3 2 3 7| | 3 3 3 z z   = + − =        ( ) ( )4,0 , 2,2 3OA BC= = −  BC OA α e OA 1| |cos | | 2 2 4 2| | | | | | BC OA BC OA OABC BC OA BC OA OA α ⋅ ⋅= = = − = − = − ⋅          e e e e BC OA 1 2 OA−  | | | | | | 1= = =ba c 2 3 π ( ) 2 2cos cos 03 3 π π− ⋅ ⋅= = − ⋅ =− ⋅ ⋅a b c a c b c | a | | c | | b | | c | ( )− ⊥a b c | 1k + + >| a b c 2| 1k + + >| a b c ( )2 1k + + >a b c 2 2 2 2 2 2 2 1k k k+ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ >a b c a b a c b c | | | | | | 1= = =ba c 1 2 ⋅ = ⋅ = ⋅ = −a b a c b c 2 2 0k k− > 0k < 2k > ω ω 1 3 i2 2 ω = − − 2 2 2 1 3 1 1 3 3 1 3i 2 i i i2 2 4 2 2 2 2 2 ω       = − + = + × − × + = − −                  2ω ω= 3 2ω ω ω= ⋅∴由（1）可得： . ……6 分 ∴ . ………………………8 分 （3）∵ ， ……………10 分 ∴由（1）（2）得： ， ∴ . ………………………………………………………12 分 22.（12 分） 解：（1）由已知得： ， ………………………………………………1 分 ∴ ， 即 . …………………………………………………2 分 又 ， ∴ ，… …………………………………………………………………3 分 ∴ ； ………………………………………………………………………………4 分 同理： ， . ……………………………………………………6 分 （2）∵ ， ……………………………………………………7 分 ∴ . ……8 分 ∵ ， …………………………………………………………………………9 分 ∴ . ………………………………………10 分 同理可得： ， . …………………………………………………11 分 ∴ . ……………………………………………………………12 分 22 3 1 3 1 3 1 3i i i 12 2 2 2 2 2 ω ω ω      ⋅ = − + − − = − − =               = 2 1 3 1 3i i 1 02 2 21 1 2 ω ωω ω  + + = +  − + + − − + =          + = ( ) ( )2 22 2 2 3 4 2 3 42 2 4 4 4 4ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω+ + + + + + + += 2 3 4 2 3 4 24 4 4 4 5 5 8 3ω ω ω ω ω ω ω ω+ + + + + = + + = ( ) ( )2 22 22 2 3ω ω ω ω+ + + = 5 3 4OC OA OB= − −   ( ) ( )2 2 5 3 4OC OA OB= − −   2 2 2 25 9 16 24OC OA OB OA OB= + + ⋅     2 2 2 1OA OB OC= = =   25 25 24OA OB= + ⋅  0OA OB⋅ =  4 5OB OC⋅ = −  3 5OC OA⋅ = −  1 | | | | sin2ABCS AB AC A∆ = ⋅  ( )2 2 2 2 2 21 1| | | | sin | | | | 1 cos2 2ABCS AB AC A AB AC A∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −    ( )22 2 2 2 2 2 21 1| | | | | | | | cos | | | |2 2AB AC AB AC A AB AC AB AC= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅        AB OB OA= −   2 22| | 2 1 1 0 2AB OA OB OA OB= + − ⋅ = + − =     2 16| | 5AC = 4 5AB AC⋅ =  1 16 16 622 5 25 5ABCS∆ = × − =