大桥高级中学 2020 届高三第二学期学情调研（二）
高三数学试题
命题人: 审核人: 2020.4.24
一、填空题(本大题 14 题,每小题 5 分,共 70 分)
1．已知集合 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则 A∪B＝ ．
2．设复数 z 满足（2﹣i）z＝1+i（i 为虚数单位），则复数 z＝ ．
3．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们
在同一个食堂用餐的概率为 .
4．在某频率分布直方图中，从左往右有 10 个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余 9
个小矩形的面积和的 ，且第一组数据的频数为 25，则样本容量为 ．
5．如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为 ．
6．棱长均为 2 的正四棱锥的体积为 ．
7．将函数 f（x）＝sin（ωx﹣ ）（ω＞0）的图象向左平移 个单位后，所得图象关
于直线 x＝π对称，则ω的最小值为 ．
8．已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数．当 x≥0 时，f（x）＝ ，则不等式 f（lnx）
＜l 的解集为 ．9．已知公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a2＝6，若 a1，a3，a7 成等比数列，
则 S8 的值为 ．
10．若椭圆 + ＝1 的焦点在 x 轴上，过点（1， ）作圆 x2+y2＝1 的切线，切点分别
为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．
11．已知函数 f（x）＝mlnx 图象与函数 g（x）＝2 图象在交点处切线方程相同，则 m
的值为
12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1：y＝mx 与曲线 f（x）＝2x3+x 从左到右依次
交 A、B、C 三点，若直线 l2：y＝kx+2 上存在 P 满足| |＝1，则实数 k 的取值范
围是 ．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2+y2＝1，圆 C：（x﹣4）2+y2＝4，动点 P 在直
线 x+ y﹣2＝0 上的两点 E，F 之间，过点 P 分别作圆 O，C 的切线，切点为 A，B，若
满足 PB≥2PA，则线段 EF 的长度为 ．
14．若△ABC 中，AB＝ ，BC＝8，∠B＝45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足
（ ） ，则 AD 长度的最小值为 ．
二、解答题
15．如图，在△ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 所对的边，CD⊥AB 于 D，且 ．
（1）求证：sinC＝2sin（A﹣B）；
（2）若 ，求 tanC 的值．16．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 M，N 分别为线段 BB1，A1C 的中点，MN⊥AA1，且
MA1＝MC．求证：
（1）平面 A1MC⊥平面 A1ACC1．
（2）MN∥平面 ABC．
17．已知点 O 为坐标原点，椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，
离心率为 ，点 I，J 分别是椭圆 C 的右顶点、上顶点，且△IOJ 的边 IJ 上的中线长
为 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 H（﹣2，0）的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若 AF1⊥BF1，求直线 AB 的方程．
18．（16 分）某校有一块圆心 O，为半径为 200 米，圆心角为 的扇形绿地 OPQ，半径
OP，OQ 的中点分别为 M，N，A 为弧 PQ 上的一点，设∠AOQ＝α，如图所示，拟准备两
套方案对该绿地再利用．．
（1）方案一：将四边形绿地 OMAN 建成观赏鱼池，其面积记为 S1，试将 S1 表示为关于
α的函数关系式；并求α为何值时，S1 取得最大？
（2）方案二：将弧 AQ 和线段 AN，NQ 围成区域建成活动场地，其面积记为 S2，试将 S2
表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，S2 取得最大？19．（16 分）已知正项数列{an}，其前 n 项和为 Sn，满足 2Sn＝an2+an，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式 an；
（2）如果对任意正整数 n，不等式 ﹣ ＞ 都成立，求证：实数 c 的最
大值为 1．
20．（16 分）已知函数 f（x）＝ （其中 a，b∈R）．
（1）当 a＝1 时，若函数 y＝f（x）在[0，+∞）上单调递减，求 b 的取值范围；
（2）当 b＝1，a≠0 时，
①求函数 y＝f（x）的极值；
②设函数 y＝f（x）图象上任意一点处的切线为 l，求 l 在 x 轴上的截距的取值范围．
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