铁人中学高一年级
期中考试数学试题
答题时间：120 分钟 满分：150 分
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.直线 与 平行，则 为( )
A.2 B.2 或 C. D.
2.若 = = ,则△ABC 为 ( )
A.等边三角形 B.有一个内角为 30°的直角三角形
C.等腰直角三角形 D.有一个内角为 30°的等腰三角形
3.如果 关于直线 的对称点为 ，则直线 的方程是( )
A． B． C． D．
4.已知 ,且 ,则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
5.若 满足约束条件 则 的最小值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.
6.等比数列 的前 项和为 , 是 与 的等比中项,则 的值为( )
A.1 B. C. D.
7.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一,其墓
碑上刻着他认为最满意的一个数学发现,如图,一个“圆柱容球”的几何图
形,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边,在该图中,球的体
积是圆柱体积的 ,并且球的表面积也是圆柱表面积的 , 若圆柱的表面
7 0ax y+ + = 4 3 0x ay+ − = a
2− 2− 1
2
−
( )1,3A l 1( )5,B − l
3 4 0x y+ + = 3 8 0x y− + = 3 4 0x y+ − = 3 8 0x y− + =
x y z> > 0x y z+ + =
xy yz> xz yz> xy xz> x y z y>
,x y
1 0
3 0
3 3 0
x y
x y
x y
− + ≥
+ − ≤
+ − ≥
3z x y= −
1
2
{ }na n nS 1 2 3 22 ,a a a S= + 1S 3mS m
9
7
6
7
1
2
2
3
2
3积是 现在向圆柱和球的缝隙里注水,则最多可以注入的水的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知数列 是等差数列， 是其前 n 项的和，则下列命题中正确的是( )
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
9.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动
点，则三棱锥 P－ABC 的三视图的面积之和最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
10.若不等式 对一切 恒成立,则实数 取值的集合
( )
A. B. C. D.
11.已知 ，则 的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．9
12.如图为一个正方体 与一个半球 构成的组合体,半球
的底面圆与该正方体的上底面 的四边相切, 与正方形 的
中心重合.将此组合体重新置于一个球 中(球 未画出),使该正方体的下
底面 的顶点均落在球 的表面上,半球 与球 内切,设切点为 ，若
正四棱锥 的表面积为 ,则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13.数列 的通项公式为 ，则使 取最小值的 值为______.
14.在 中，角 所对的边分别为 .若 时，则
6π
π
3
2π
3 π 4π
3
{ }na nS
5 3a a> 8 0a > 5 3a a> 8 0S >
5 3S S> 8 0S > 5 3S S> 8 0a >
( ) ( )22 2 2 4 0a x a x− + − − < x∈R a
{ }2a a ≤ { }2 2a a− < < { }2 2a a− < ≤ { }2a a ≤ −
0, 0,lg 4 lg 2 lg8x yx y> > + = 1 4
2 1x y
++
9
4
46
15
1 1 1 1ABCD A B C D− 1O 1O
1 1 1 1A B C D 1O 1 1 1 1A B C D
O O
ABCD O 1O O P
P ABCD− 4 4 10+ O
121π
6
121π
9 12π 9π
{ }na 23 28na n n= ﹣ na n
ABC∆ , ,A B C , ,a b c tan 7, 2 , 3 2C c a b= = = ABC∆的面积为______.
15.五一期间,要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语,经测量得圆锥的高为 ,母线长为 3,
如图所示,为了美观需要,在底面圆周上找一点 拴系彩绸的一端,沿圆锥的侧面绕一周挂
彩绸,彩绸的另一端仍回到原处 ,则彩绸长度的最小值为______.
16.在锐角 中,角 的对边分别是 ,若 ,则角 的取值范围
是_____.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.（本题 10 分）已知公差不为零的等差数列 中, ,且 成等比数列
（1）求数列 的通项公式（2）设 ,求数列 的前 项和
18.（本题 12 分）已知△ 的顶点 在直线 上,顶点 的坐标分别为
.
（1）求过点 且在 轴上的截距相等的直线方程;
（2）若△ 的面积为 ,求顶点 的坐标.
19.（本题 12 分）某单位决定投资 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用
旧墙不花钱,正面用铁栅,每 长造价 元,两侧墙砌砖,每 长造价 元,
（1）求该仓库面积 的最大值
（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶。顶部每 造价 元，求仓库面积 的最大
值，并求出此时正面铁栅应设计为多长?
20.（本题 12 分）在 中,点 在 边上, , , .
（1）求 的值;（2）若 ,求 的长.
21. （ 本 题 12 分 ） 已 知 在 中 , 角 的 对 边 分 别 为 , 且
（1）求 b 的值（2）若 求 的取值范围
22.（本题 12 分）若数列 是公差为 的等差数列,数列 满足 ,
2 2
M
M
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 cosa c B c− = C
{ }na 1 1a = 1 3 9, ,a a a
{ }na 2 na
nb n= + { }nb n nS
ABC C 3 0x y− = ,A B
( ) ( )4,2 , 0,5
A ,x y
ABC 10 C
3200
1m 40 1m 45
S
21m 20 S
ABC∆ D BC
4CAD
π∠ = 7AC = 2cos 10ADB∠ =
sin C∠ 5BD = AB
ABC△ , ,A B C , ,a b c
cos cos 2 3sin
3sin
B C A
b c C
+ =
cos 3sin 2B B+ = a c+
{ }na 2 { }nb 1 21, 2b b= =且 .
（1）求数列 的通项公式;
（2）设数列 满足 ,数列 的前 项和为 ,若不等式
对一切 恒成立,求实数 的取值范围.
1n n n na b b nb ++ =
{ } { },n na b
{ }nc
1
1n
n
n
ac b +
+= { }nc n nT ( ) 11 2
n
n n
nTλ −− < +
*n N∈ λ一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.答案：B
2.C.因为 = = ,所以由正弦定理得 = = ,所以 tan B=tan C=1,
又 B∈(0,π),C∈(0,π),所以 B=C= ,A= ,所以△ABC 为等腰直角三角形.
3.答案：A
4.答案：C
5.答案：B 解析：由线性约束条件画出可行域(如下图所示).
当直线 经过点 时,目标函数 取得最小值 .
6.答案：B 解析：设数列 的公比为 ,则由 ,得 ,易知 ,所
以 解得 或 ,当 时, ,这与 与 与 的等比中项矛盾
当 时 , 由 与 与 的 等 比 中 项 , 得 , 即
,所以 ,故选 B.
7.答案：B 设球的半径为 ,则由题意可得球的表面积为 ,所以 ,所以圆柱的
底面半径为 1,高为 2,所以最多可以注入的水的体积为 .
8.答案：C
9.答案：C
10.答案：C
11.答案：B
解析：∵ ， ，即 ，
则
当且仅当 且 即 时取等号，
3 0x y z− − = (0,1)A 3z x y= − min 3 0 1 1z = × − = −
{ }na q 1 2 32a a a= + 2
1 1 12a a q a q= + 1 0a ≠
22 1 0q q+ − = 1q = − 1
2q = 1q = − 2 0S = 2S 1S 3mS
1
2q = 1 1 2 1 3 1
3 7, ,2 4S a S a mS a m= = = 2S 1S 3mS 2
2 1 3S S mS= ⋅
2 2
1 1
9 7
4 4a m a= ⋅ 9
7m =
r 2 24π 6π3r = × 1r =
2 34 2ππ 1 2 π 13 3
× × − × =
0, 0,lg4 lg2 lg8x yx y> > + = 4 2 8x y⋅ = 2 3x y+ =
( ) ( )4 2 11 4 1 1 4 1 5 4 9= 2 1 52 1 4 2 1 4 2 1 4 4
xyx yx y x y x y
+ ++ + + + =
+ + =+ + +
( )4 2 1
2 1
xy
x y
+=+ 2 1 4x y+ + = 1 8,6 3x y= =则 的最小值是 .
12.答案：B
解 析 ： 如 图 ， 设 球 ， 半 球 的 半 径 分 别 为 , 由 题 意 知 正 方 体
的棱长为 ，四棱锥 为正四棱锥.设该正方体的底面
的中心为 ，连接 ，则四棱锥 的高 ，其各侧面
的高为 .由题意得 ，得 .易
知 球 的 球 心 在 线 段 上 ， 连 接 ， 则 在 中 ， 于 是 由 勾 股 定 理 ， 得
，
解得 ,所以球 的表面积 ，故选 B.
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13.5 14.
15. 16.
13.设 为数列的最小项，则 ，代入数据可得 ，
解之可得 ，故 n 唯一可取的值为 5
14.解析：因为 ，且 ，解得 ， ，
而 ， ，所以 ， ，
故
因为 ， ，故 ，故 .
15.答案：把圆锥沿过点 的母线剪开,并铺平得扇形 ,如图所示,这样把空间问题转
3 7
2
1 4
2 1x y
++
9
4
O 1O ,R r
1 1 1 1ABCD A B C D− 2r P ABCD−
ABCD G ,AC PG P ABCD− 3PG r=
2 2(3 ) 10r r r+ = 2 1(2 ) 4 2 10 4 4 102r r r+ × × × = + 1r =
O 1O G OC Rt OGC△
1 1 2 2 22 2, 3 ,CGOC R OG ACR = = ×= = =−
11
6R = O 2 121π4π 9S R= =
3 3 π π
6 4
，
na 1
1
n n
n n
a a
a a
−
+
≤
≤
( ) ( )
( ) ( )
22
22
3 28 3 1 28 1
3 28 3 1 28 1
n n n n
n n n n
≤ − −
≤ + +
﹣ ﹣
﹣ ﹣
25 31
6 6n≤ ≤
sintan 7cos
CC C
= = 2 2sin cos 1C C+ = 14sin 4C = 2cos 4C =
2c a=
sin sin
a c
A C
= 1 14sin sin2 8A C= = 5 2cos 8A =
( ) ( )[ 3 7sin sin π sin 8]B A C A C= − + = + =
sin sin
a b
A B
= 3 2b = 2a = 1 1 14 3 7sin 2 3 22 2 4 2ABCS ab C= = × × × =
M 1MOM化为平面问题,易知动点 所经过的最短距离即为线段 ,的长度,由已知条件得底面圆
半 径 , 扇 形 圆 心 角 , 所 以
,即彩绸最少要 .
16.解析：由余弦定理得, 可化为 ,即 .根据
是 锐 角 三 角 形 , 得 , 根 据 余 弦 定 理 , 得 即
解得 ,由余弦定理得
所以 ,因为 ,所以 ,
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. 答 案 ： （ 1 ） . 设 数 列 公 差 为 ,∵ 成 等 比 数 列
∴ (舍)或 ,∴
（2）.
,
18. 答 案 ： （ 1 ） . 当 所 求 直 线 过 原 点 时 , 直 线 的 斜 率 为 ,∴ 直 线 方 程 为 即
;
M 1MN
( )223 2 2 1r = − = 1
2 2
3 3
rMOM
π π∠ = =
1
1 2 sin 2
MOMMM OM
∠= 3 3= 3 3
2 cosa c B c− =
2 2 2
2 2
a c ba c cac
+ −− ⋅ = 2 2b c ac= +
ABC△
cos 0
cos 0
cos 0
A
B
C
>
>
>
2 2 2
2 2 2
2 2 2
0
0
0
b c a
a c b
b a c
+ − >
+ − >
+ − >
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
0
0
0
c ac c a
a c c ac
c ac a c
+ + − >
+ − + >
+ + − >
1 2a
c
< <
2 2 2 2
cos 2 2 2
a b c a ac a cC ab ab b
+ − + += = = =
2 2
2 2
1 ( ) 1 ( )
2 2
a c a c
b c ac
+ += =+
1 1 12 2
a c a
c c
+ = +
2 3cos2 2C< < π0 2C< < π π
6 4C< <
{ }na d 1 3 9, ,a a a 2
3 1 9=a a a∴
( ) ( )21 2d 1 1 8d∴ + = × + 0d = 1d = na n=
2 + 2na n
nb n n= = +
1 2 3S + +n nb b b b= +⋅⋅⋅+ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3= 2 +1 + 2 +2 + 2 +3 2 +nn+⋅⋅⋅+
1 2(2 2 ... 2 ) (1 2 3 ... )n n= + + + + + + + +
( )2 1 2 ( 1)+1 2 2
n n n− += −
+1 ( 1)2 2+ 2
n n n += − 1 ( 1)2 2+ 2
n
n
n nS + += −
1
2
1
2y x=
2 0x y− =当截距不为 时,易得直线的斜率为-1,∴直线方程为 ,即 .
∴所求直线方程为 或 .
（ 2 ） . 由 顶 点 在 直 线 上 , 可 设 , 可 求 得 直 线 的 方 程 为
,则顶点 到直线 的距离
且 ,∴ ,即 ,
∴ 或 , 故顶点 的坐标为 或 .
19.答案：（1）.设铁栅长为 米,一侧砖墙长为 米,仓库面积 ,
（2）依题设,得 ,
由基本不等式得 ,
则 ,即 ,故 ,从而 ,
所以 的最大允许值是 平方米.取得此最大值的条件是 且 ,解得
,即铁栅的长是 米.
20.答案：1.因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以
.
2.在 中,由 ,得 ,
.
0 2 ( 4)y x− = − − 6 0x y+ − =
2 0x y− = 6 0x y+ − =
C 3 0x y− = ( )0 0,3C x x AB
3 4 20 0x y+ − = C AB 0 0
02 2
3 4 3 20 3 4
3 4
x xd x
+ × −= = −
+
( )224 2 5 5AB = + − = 1 102ABCS AB d∆ = ⋅ = 03 4 4x − =
0 0x = 0
8
3x = C ( )0,0 8,83
( )0x x > ( )0y y > S xy=
40 2 45 3200x y+ × = ， 64004 9 320 2 4 9 =12 = 9x y x y xy xy+ = ≥ ⋅ ≤，S
40 2 45 20 3200x y xy+ × + =
3200 2 40 90 20 120 20 120 20x y xy xy xy S S≥ ⋅ + = + = +
6 160 0S S+ − ≤ ( )( )10 16 0S S− + ≤ 0 10S< ≤ 0 100S< ≤
S 100 40 90x y= 100xy =
15x = 15
2cos 10ADB∠ =
2
2 7 2sin 1 10 10ADB
∠ = − − =
4CAD
π∠ = sin 4C ADB
π∠ = ∠ − sin sin( )4C ADB
π∠ = ∠ −
sin cos cos sin4 4ADB ADB
π π= ∠ ⋅ − ∠ ⋅ 7 2 2 2 2 3
10 2 10 2 5
= × − × =
ACD∆
sin sin
AD AC
C ADC
= ∠
37sin 5 3 2sin 7 2
10
AC CAD ADC
×⋅= = =∠
2 2 2 22 cos 18 25 2 3 2 5 37 3710AB AD DB AD DB ADB AB= + − ⋅ ∠ = + − × × × = =，21. 答 案 ： （ 1 ） 由 可 得
，解得
（ 2 ） 由 可 得 又 ∵
又 ∵ 且
又 ∵
22.答案：（1）.∵数列 满足 ,且 .
∴ 时, ,解得 .又数列 是公差为 的等差数列,
∴ . ∴ ,化为 ,
∴数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.∴ .
（2）. 由数列 满足 ,数列 的前 项和为
,
两式作差,得
不等式 化为
时, ,取 ,∴ .
cos cos 2 3sin
3sin
B C A
b c C
+ = cos cos 2 3 sin
3sin
c B b c A
bc C
+ =
sin cos sin cos 2 3 sin
sin 3sin
C B B C A
b C C
+∴ =
sin( ) 2 3sin
sin sin
B C A
b C C
+∴ = sin 2 3 sin
sin sin
A A
b C C
∴ = 3
2b =
cos 3sin 2B B+ = πsin( ) 16 B+ = (0, π)B ∈ π
3B∴ =
3
2 1sin sin sin 3
2
a b c
A B C
= = = = sina A∴ = sin ,c C= 2 π3A C+ =
sin sin sina c A C A∴ + = + = + 2 πsin( π ) 3sin( )3 6A A− = + 20 π3A< <
π π 5( , π)6 6 6A∴ + ∈ π 1sin( ) ( ,1)6 2A + ∈ 3 , 32a c
∴ + ∈
{ }nb 1 21, 2b b= = 1n n n na b b nb ++ =
1n = 1 1 2a + = 1 1a = { }na 2
( )1 2 1 2 1na n n= + − = − 12 n nnb nb += 12 n nb b +=
{ }nb 1 2 12n
nb −=
{ }nc 1
1
1 2
2 2
n
n n n
n
a n nc b −
+
+= = = { }nc n
2 1
2 31 2 2 2n n
nT −= + + + +
2 1
1 1 2 1
2 2 2 2 2n n n
n nT −
−= + + + +
2 1
111 1 1 1 221 212 2 2 2 2 2 21 2
n
n n n n n
n n nT −
− += + + + + + = − = −
− 1
24 2n n
nT −
+= −
( ) 11 2
n
n n
nTλ −− < + 1
2( 1) 4 2
n
n
λ −− < −
( )*2n k k N= ∈ 1
24 2n
λ −< − 2n = 3λ −
λ ( )2,3−
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