江苏省常州市教学联盟 2019—2020 学年高一下学期期中调研
数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1． ＝
A． B． C． D．
2．底面半径为 1，母线长为 的圆锥的体积为
A． B． C． D．
3．过点(0，1)且与直线 垂直的直线方程是
A． B． C． D．
4．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分别为 CC1，DD1 的中点，则异面直线 AF，DE 所
成角的余弦值为
A． B． C． D．
5．已知 ，若不论 为何值时，直线 l： 总经过一个定点，
则这个定点的坐标是
A．(﹣2，1) B．(﹣1，0) C．( ， ) D．( ， )
6．已知 是两个不同平面，m，n 是两条不同直线，则下列错误的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
7．对任意的锐角 ， ，下列不等关系中正确的是
A． B．
C． D．
8．下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，
能得出 AB∥平面 MNP 的图形的个数有
cos10 sin70 sin10 sin 20° ° − ° °
2
3 3
2
−
2
1 1
2
−
2
2π 3π 2
3
π 3
3
π
2 1 0x y− + =
2 1 0x y+ − = 2 1 0x y+ + = 2 2 0x y− + = 2 1 0x y− − =
4
1
5
1 2 6
5
15
4
a R∈ a (1 2 ) (3 2) 0a x a y a− + + − =
2
7
− 1
7
1
7
2
7
−
βα，
m α⊥ m β⊂ α β⊥ m α⊥ m β⊥ / /α β
m α∥ nα β = / /m n m n∥ m α⊥ n α⊥
α β
sin( ) sin sinα β α β+ > + sin( ) cos cosα β α β+ > +
cos( ) sin sinα β α β+ < + cos( ) cos cosα β α β+ < +A．1 B．2 C．3 D．4
9．在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，A＝ ，b＝1，S △ABC＝ ，则
的值等于
A． B． C． D．
10．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD 沿
对角线 BD 折起，设折起后点 A 的位置为 A′，使二面角 A′—BD—C 为直二面角，给出下
面四个命题：
①A′D⊥BC；
②三棱锥 A′—BCD 的体积为 ；
③CD⊥平面 A′BD；
④平面 A′BC⊥平面 A′DC．其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
11．在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，若 ，则∠B
的大小是
A． B． C． D．
12．在棱长为 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是正方形 BB1C1C
的中心，M 为 C1D1 的中点，过 A1M 的平面 与直线 DE 垂直，
则平面 截正方体 ABCD—A1B1C1D1 所得的截面面积为
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．直线 l1： ，l2： ，若 l1∥l2，则 的值为 ．
14．在平面直角坐标系中，角 与角 均以 x 轴非负半轴为始边，它们的终边关于 y 轴对称，
6
π 3
2
sin A 2sin B sin C
a b c− +
− +
2 39
3
26 33
8 33
2 37
2
6
2cosA 3cosB 5cosC
a b c= =
12
π
6
π
4
π
3
π
2
α
α
32 62
5
22
3
3 1 0ax y+ + = 2 ( 1) 1 0x a y+ + + = a
α β若 ，则 ＝ ．
15．圆锥底面半径为 10，母线长为 40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路
线的长度是 ．
16．已知函数 ，则 ＝
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知 ，x ( ， )．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BD⊥平面 PDC，△PCD 为
正三角形，E 为 PC 的中点．
（1）证明：AP∥平面 EBD；
（2）证明：BE⊥PC．
19．（本小题满分 12 分）
已知△ABC 的三个顶点分别为 A(a，b)，B(4，1)，C(3，6)．
（1）求 BC 边所在直线的一般式方程；
（2）已知 BC 边上中线 AD 所在直线方程为 ，且 S△ABC＝7，求点 A 的坐
1sin 3
α = − cos( )α β−
( ) sin (sin 3 cos )4 4 4f x x x x
π π π= − (1) (2) (2000)f f f+ + +
2cos( )4 10x
π− = ∈
2
π 3
4
π
sin x
sin(2 )6x
π+
3 5 0x y c− + =标．
20．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠BCD＝135°，侧面 PAB⊥
底面 ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝6，E，F 分别为 BC，AD 的中点，点 M 在线段 PD
上．
（1）求证：EF⊥平面 PAC；
（2）当 时，求四棱锥 M—ECDF 的体积．
21．（本小题满分 12 分）
某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱 AB 与地面垂直，灯杆 BC 与灯柱 AB
所在的平面与道路走向垂直，路灯 C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面 ABC 的部分截面如图
中阴影部分所示．已知∠ABC＝ ，∠ACD＝ ，路宽 AD＝18 米．设∠BAC＝
( )．
（1）求灯柱 AB 的高 （用 表示）；
（2）此公司应该如何设置 的值才能使制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度
最小？最小值为多少？
22．（本小题满分 12 分）
已知 ， ， 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，S 为△ABC 的面积，
PM 1
MD 2
=
2
3
π
3
π θ
12 6
π πθ≤ ≤
h θ
θ
a b c．
（1）证明：A＝2C；
（2）若 ，且△ABC 为锐角三角形，求 S 的取值范围．
江苏省常州市教学联盟 2019—2020 学年高一下学期期中调研
数学试题
2020．5
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1． ＝
A． B． C． D．
答案：A
考点：两角和与差的正弦公式
解析：
，故选 A．
2．底面半径为 1，母线长为 的圆锥的体积为
A． B． C． D．
答案：D
考点：圆锥的体积
解析：圆锥的高 ，
则圆锥的体积 ，故选 D．
3．过点(0，1)且与直线 垂直的直线方程是
A． B． C． D．
答案：A
考点：两直线的位置关系
解析：设所求直线方程为： ，过点(0，1)，求得 C＝﹣1，
故所求直线方程为 ，故选 A．
sin(B C)+ =
2 2
2S
a c−
2b =
cos10 sin 70 sin10 sin 20° ° − ° °
2
3 3
2
−
2
1 1
2
−
cos10 sin 70 sin10 sin 20 sin 70 cos10 cos 70 sin10° ° − ° ° = ° ° − ° °
3sin(70 10 ) sin60 2
= ° − ° = ° =
2
π2 π3
3
2π
3
3π
2 22 1 3h = − =
21 313 3V
ππ= × × × =
2 1 0x y− + =
2 1 0x y+ − = 2 1 0x y+ + = 2 2 0x y− + = 2 1 0x y− − =
2 0x y C+ + =
2 1 0x y+ − =4．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分别为 CC1，DD1 的中点，则异面直线 AF，DE 所
成角的余弦值为
A． B． C． D．
答案：B
考点：异面直线所成的角
解析：连接 BE，则 BE∥AF，∴∠BED 是异面直线 AF，DE 所成的角或补角，
设正方体的棱长为 2a，则 BE＝DE＝ ，BD＝ ，
∴cos∠BED＝ ，故选 B．
5．已知 ，若不论 为何值时，直线 l： 总经过一个定点，
则这个定点的坐标是
A．(﹣2，1) B．(﹣1，0) C．( ， ) D．( ， )
答案：C
考点：直线过定点问题
解析：直线 l 的方程可变形为： ，
则 ，解得 ，即定点坐标为( ， )．
故选 C．
6．已知 是两个不同平面，m，n 是两条不同直线，则下列错误的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
答案：C
考点：空间点、线、面的位置关系
解析：选项 C 中，若 ，则结论不一定成立，故选 C．
7．对任意的锐角 ， ，下列不等关系中正确的是
A． B．
C． D．
答案：D
4
1
5
1
5
62
4
15
5a 2 2a
2 2 25 5 8 1
52 5 5
a a a
a a
+ − =
⋅
a R∈ a (1 2 ) (3 2) 0a x a y a− + + − =
2
7
− 1
7
1
7
2
7
−
(2 3 1) 2x y a x y− + = +
2 3 1 0
2 0
x y
x y
− + =
+ =
2
7
1
7
x
y
= −
=
2
7
− 1
7
βα，
m α⊥ m β⊂ βα ⊥ m α⊥ m β⊥ βα//
m α∥ nα β = nm // m n∥ m α⊥ α⊥n
m α⊄
α β
sin( ) sin sinα β α β+ > + sin( ) cos cosα β α β+ > +
cos( ) sin sinα β α β+ < + cos( ) cos cosα β α β+ < +考点：两角和与差的三角函数公式
解析：∵ ， ， ， ， (0，1)，
∴ ， ，故 A，B 错，
∵ ， ， ， ， (0，1)，
∴ ，故 D 正确，
至于 C，取 可判断 C 错误，
综上所述，选 D．
8．下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，
能得出 AB∥平面 MNP 的图形的个数有
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
考点：线面平行的判定
解析：图（1）可知平面 ABC∥平面 MNP，故 AB∥平面 MNP，图（1）符合题意；
图（4），AB∥PN，故 AB∥平面 MNP，图（4）符合题意；
至于图（2）和图（3），无法得出 AB∥平面 MNP，
综上所述，本题选 B．
9．在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，A＝ ，b＝1，S △ABC＝ ，则
的值等于
A． B． C． D．
答案：D
考点：正余弦定理
解析： ，
∴ ，
sin( ) sin cos cos sinα β α β α β+ = + sin α cosα sin β cosβ∈
sin( ) sin sinα β α β+ < + sin( ) cos cosα β α β+ < +
cos( ) cos cos sin sinα β α β α β+ = − sin α cosα sin β cosβ∈
cos( ) cos cos cos cosα β α β α β+ < < +
15α β= = °
6
π 3
2
sin A 2sin B sin C
a b c− +
− +
2 39
3
26 33
8 33
2 37
1 2 2 3sin 4 312 sin
2
SS bc A c b A
= ⇒ = = =
2 2 2 32 cosA 1 48 2 1 4 3 37 372a b c bc a= + − = + − × × × = ⇒ = ∴ ，故选 D．
10．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD 沿
对角线 BD 折起，设折起后点 A 的位置为 A′，使二面角 A′—BD—C 为直二面角，给出下
面四个命题：①A′D⊥BC；②三棱锥 A′—BCD 的体积为 ；③CD⊥平面 A′BD；④平
面 A′BC⊥平面 A′DC．其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
考点：空间中的垂直关系，三棱锥的体积
解析：取 BD 中点 E，连 A′E，
由二面角 A′—BD—C 为直二面角，可得 A′E⊥平面 BCD，则 A′E⊥CD，
∴VA′—BCD＝ ，②正确，
∵CD⊥BD，A′E⊥CD，且 A′E BD＝E，
∴CD⊥平面 A′BD，故③正确，
∵A′B＝1，又求得 A′C＝ ，BC＝2，
∴A′B2＋A′C2＝1＋3＝22＝BC2，∴A′B⊥A′C，
由 CD⊥平面 A′BD，得 CD⊥A′B，又 A′C CD＝C
∴A′B⊥平面 A′DC，∵A′B 平面 A′BC
∴平面 A′BC⊥平面 A′DC，④正确，
至于①无法得证，故选 C．
11．在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，若 ，则∠B
的大小是
A． B． C． D．
答案：D
考点：正弦定理，两角和与差的正切公式
解析：∵ ，
∴ ，即 ，
2 37 2 371sin A 2sin B sin C sin
2
a b c a
A
− + = = =− +
2
6
1 2 213 2 6
× × =
3
⊂
2cosA 3cosB 5cosC
a b c= =
12
π
6
π
4
π
3
π
2cosA 3cosB 5cosC
a b c= =
sin sin sin
2cos 3cos 5cos
A B C
A B C
= = 1 1 1tan tan tan2 3 5A B C= =令 ， ， ，显然 ，
∵ ，∴ ，解得 ，
∴ ，B＝ ，故选 D．
12．在棱长为 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是正方形 BB1C1C 的中心，M 为 C1D1 的中
点，过 A1M 的平面 与直线 DE 垂直，则平面 截正方体 ABCD—A1B1C1D1 所得的截面
面积为
A． B． C． D．
答案：B
考点：立体几何综合
解析：取 AB 的中点 N，可知平面 A1MCN 就是平面 截正方体 ABCD—A1B1C1D1 所得的截
面，由平面 A1MCN 是菱形，且该菱形对角线 A1C＝ ，MN＝ ，
则 S＝ ，故选 B．
二、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．直线 l1： ，l2： ，若 l1∥l2，则 的值为 ．
答案：﹣3
考点：两直线平行
解析：∵l1∥l2，
∴ ，且 ，
∴a＝﹣3．
14．在平面直角坐标系中，角 与角 均以 x 轴非负半轴为始边，它们的终边关于 y 轴对称，
若 ，则 ＝ ．
答案：
考点：两角和与差的余弦公式
解析：当角 为第三象限角时，则角 为第四象限角
tan 2A k= tan 3B k= tan 5C k= 0k >
tan tantan tan( ) tan tan 1
A CB A C A C
+= − + = − 2
73 110
kk k
= − 3
3k =
tan 3 3B k= =
3
π
2
α α
32 62 5
22
3
α
2 3 2 2
1 2 3 2 2 2 62
× × =
3 1 0ax y+ + = 2 ( 1) 1 0x a y+ + + = a
( 1) 6 0a a+ − = 2 0a − ≠
α β
1sin 3
α = − cos( )α β−
7
9
−
α β∴ ， ， ，
则 ；
当角 为第四象限角时，则角 为第三象限角
∴ ， ， ，
则 ．
综上， 的值为 ．
15．圆锥底面半径为 10，母线长为 40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路
线的长度是 ．
答案：
考点：扇形的弧长公式的运用，圆锥底面周长＝侧面展开图的弧长
解析：该圆锥的侧面展开图的圆心角＝ ，
∴最短路程＝ ．
16．已知函数 ，则 ＝
．
答案：1000
考点：三角恒等变换，三角函数的性质
解析：
，
则函数 的周期为 4，求得 ，
∴ ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
1sin 3
β = − 2 2cos 3
α = − 2 2cos 3
β =
2 2 2 2 1 1 7cos( ) cos cos sin sin ( ) ( )3 3 3 3 9
α β α β α β− = + = − × + − × − = −
α β
1sin 3
β = − 2 2cos 3
α = 2 2cos 3
β = −
2 2 2 2 1 1 7cos( ) cos cos sin sin ( ) ( ) ( )3 3 3 3 9
α β α β α β− = + = × − + − × − = −
cos( )α β− 7
9
−
40 2
2 10
40 2
π π=
40 2
( ) sin (sin 3 cos )4 4 4f x x x x
π π π= − (1) (2) (2000)f f f+ + +
2( ) sin (sin 3 cos ) sin 3sin cos4 4 4 4 4 4f x x x x x x x
π π π π π π= − = −
1 cos 32 sin2 2 2
x
x
π
π−
= −
1 sin( )2 2 6x
π π= − +
( )f x (1) (2) (3) (4) 2f f f f+ + + =
(1) (2) (2000) 500 2 1000f f f+ + + = × =17．（本小题满分 10 分）
已知 ，x ( ， )．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
解：（1）解法一：因为 ， 所以 ，
于是
…………1 分
…………3 分
． …………5 分
解法二：由 ， 得 ， …………2 分
． …………5 分
（2）因为 ．故 ．………… 6 分
， ． ………… 8 分
所以 ． …………10 分
18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BD⊥平面 PDC，△PCD 为
正三角形，E 为 PC 的中点．
（1）证明：AP∥平面 EBD；
（2）证明：BE⊥PC．
（1）证明：在平行四边形 中，连接 交 与点 ，连接
2cos( )4 10x
π− = ∈
2
π 3
4
π
sin x
sin(2 )6x
π+
3( , )2 4x
π π∈ ( , )4 4 2x
π π π− ∈
2 7 2sin( ) 1 cos ( )4 4 10x x
π π− = − − =
sin sin[( ) ] sin( )cos cos( )sin4 4 4 4 4 4x x x x
π π π π π π= − + = − + −
7 2 2 2 2 4
10 2 10 2 5
= × + × =
2cos( ) 104x
π− = 2(sin cos2
102 )=x x+
2 2
1sin cos 5
sin cos 1
x x
x x
+ =∴
+ =
3( , )2 4x
π π∈
4sin 5
3cos - 5
x
x
=∴
=
3( , )2 4x
π π∈ 2 24 3cos 1 sin 1 ( )5 5x x= − − = − − = −
24sin2 2sin cos 25x x x= = − 2 7cos2 2cos 1 25x x= − = −
7 24 3sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin6 6 6 50x x x
π π π ++ = + = −
ABCD AC BD O EO在 中， 分别为 中点， ………… 2 分
………………………………5 分
（2）证明：
在正三角形 中， 为 中点， …………7 分
…………11 分
又因为 中，所以 …………12 分
19．（本小题满分 12 分）
已知△ABC 的三个顶点分别为 A(a，b)，B(4，1)，C(3，6)．
（1）求 BC 边所在直线的一般式方程；
（2）已知 BC 边上中线 AD 所在直线方程为 ，且 S△ABC＝7，求点 A 的坐
标．
解：（1） ，代入点斜式方程， ，直线 的一般方程为
…………3 分
（2） ， 中点坐标为 ，代入方程 ，得 …………5 分
所以 方程为 ，点 满足方程，所以
，设点 到直线 距离为 ， ，
所以
…………7 分
同时利用点到直线的距离公式得 ，
，所以 ， …………9 分
PAC∆ EO, PCAC, EOPA //∴
EBDPA
EBDEO
EBDPA
EOPA
平面
平面
平面 //
//
⇒
⊂
⊄
PCBD
PDCPC
PDCBD ⊥⇒
⊂
⊥
平面
平面
PCD∆ E PC PCDE ⊥∴
BDEPC
DEBDEBD
DDEBD
BDPC
DEPC
平面
平面
⊥⇒
⊂
=
⊥
⊥
,
BDEBE 平面⊂ PCBE ⊥
3 5 0x y c− + =
543
16 −=−
−=BCk )4(51 −−=− xy BC
0215 =−+ yx
B C )2
7,2
7(D 3 5 0x y c− + = 7=c
AD 3 5 7 0x y− + = A 0753 =+− ba
26=BC A BC d
1 1= 26 72 2ABCS BCd d∆ = =
26
14=d
26
14
26
215 =−+= bad
14215 =−+ ba 1421514215 −=−+=−+ baba 或所以
所以 ，所以点 坐标为 或 ………12 分
20．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠BCD＝135°，侧面 PAB⊥
底面 ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝6，E，F 分别为 BC，AD 的中点，点 M 在线段 PD
上．
（1）求证：EF⊥平面 PAC；
（2）当 时，求四棱锥 M—ECDF 的体积．
（1）证明：在平行四边形 中， 分别为 的中点，所以
在平行四边形 中， ，所以
在 中， , ，所以 , ,
………2 分
， ，
………6 分
………8 分
−=−+
=+−
=−+
=+−
14215
0753
14215
0753
ba
ba
ba
ba 或者
=
=
=
=
2
1
5
6
b
a
b
a 或者 A )5,6( )2,1(
PM 1
MD 2
=
ABCD FE, ADBC, ABEF //
ABCD 0135=∠BCD 045=∠ABC
ABC∆ ACAB = 045=∠ABC ACAB ⊥ ABEF //
ACEF ⊥∴
ABCDPA
PABPA
ABABCDPAB
ABCDPAB
ABPA
平面
平面
平面平面
平面平面 ⊥⇒
⊂
=
⊥
⊥
ABCDEF 平面⊂
EFPA ⊥∴
PACEF
PACPAAC
APAAC
PAEF
ACEF
平面
平面
⊥⇒
⊂
=
⊥
⊥
,
（3）解： ， ，
由（1）知， ，所以点 ………10 分
， ，
所以四棱锥 的体积为 ………12 分
21．（本小题满分 12 分）
某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱 AB 与地面垂直，灯杆 BC 与灯柱 AB
所在的平面与道路走向垂直，路灯 C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面 ABC 的部分截面如图
中阴影部分所示．已知∠ABC＝ ，∠ACD＝ ，路宽 AD＝18 米．设∠BAC＝
( )．
（1）求灯柱 AB 的高 （用 表示）；
（2）此公司应该如何设置 的值才能使制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度
最小？最小值为多少？
21．解：（1） 与地面垂直， ，
在 中， ，…………1 分
由正弦定理得 ，得 ，
……3 分
在 中， ，
由正弦定理得 ， ．
………5 分
………6 分
（2） 中，
由正弦定理得 ，得 ，
2
1=
MD
PM
3
2距离的到面的距离为点到面点 ABCDPABCDM∴
ABCDPA 平面⊥ 4的距离为到面ABCDM
18=ECDFS四边形 244183
1 =××=∴ −ECDFMV
ECDFM − 24
2
3
π
3
π θ
12 6
π πθ≤ ≤
h θ
θ
AB θ=∠BAC -2CAD
π θ∴∠ =
ACD∆
6CDA
πθ∠ = +
sin sin
AD AC
ACD CDA
=∠ ∠
sin 12 3sin( )sin 6
AD CDAAC ACD
πθ∠= = +∠
ABC∆
3ACB
π θ∠ = −
sin sin
AB AC
ACB ABC
=∠ ∠
sin 24sin( )sin( )sin 6 3
AC ACBh ABC
π πθ θ∠∴ = = + −∠
12sin(2 )3 12 6h
π π πθ θ ∴ = + ∈ ， ，
ABC∆
sin sin
BC AC
BAC ABC
=∠ ∠
sin 24sin( )sinsin 6
AC BACBC ABC
πθ θ∠= = +∠
………8 分
………10 分
， ，
当 时， 取得最小值 ．
故该公司应设置
，
才能使制造路灯灯柱 与灯杆 所用材料的总长度最小，最小值
为 米．
………12 分
22．（本小题满分 12 分）
已知 ， ， 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，S 为△ABC 的面积，
．
（1）证明：A＝2C；
（2）若 ，且△ABC 为锐角三角形，求 S 的取值范围．
（1）证明：由 ，得 ，
， ， ， ………2 分
由余弦定理得 ， ，
， ，
，
， ，
， ………4 分
或
， ， ． ………5 分
（2）解： ， ，
．
12sin(2 ) 24sin( )sin3 6AB BC
π πθ θ θ∴ + = + + +
12(sin2 cos cos2 sin ) 24(sin cos cos sin )sin3 3 6 6
π π π πθ θ θ θ θ= + + +
1-cos26sin2 6 3cos2 12 3 6sin2 =12sin2 +6 32
θθ θ θ θ= + + +
12 6
π πθ ∴ 26 3
π πθ
∴
12
πθ = AB BC+ 6 6 3+
12
πθ = AB BC
(6 6 3)+
a b c sin(B C)+ =
2 2
2S
a c−
2b =
2 2
2sin( ) SB C a c
+ = − 2 2
2sin SA a c
π = −（ - ）
∴
2 2
sinsin bc AA a c
= − sin 0A ≠ 2 2a c bc∴ − =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 cosa c b bc A∴ − = −
2 2 cosb bc A bc∴ − = 2 cosb c A c∴ − =
2 sin 2 2 sin cos 2 sinR B R C A R C∴ − =
sin( ) 2sin cos sinA C C A C∴ + − = sin cos cos sin sinA C A C C∴ − =
sin( ) sinA C C∴ − =
= 2A C C kπ∴ − + + = +2A C C k k Zπ π− ∈，
A (0, )C π∈ 2A C∴ =
2A C= 3B Cπ∴ = −
sin sin3B C∴ =由正弦定理得 且 ，
， ………6 分
………7 分
为锐角三角形且 ，
，
为锐角三角形， ，
………10 分
， ，此时 为增函数，
，
即 的取值范围是 ． ………12 分
sin sin
a b
A B
= 2b =
∴ 2sin 2
sin3
Ca C
=
1 1 2sin 2 2sin 2 sinsin 2 sin2 2 sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin
C C CS ab C CC C C C C C
∴ = = =+ +
ABC∆ =2A C cos 0,cos2 0C C∴ ≠ ≠
2
2tan 2 tan 4tan 4
3tan 2 tan 3 tan tantan
C C CS C C C CC
∴ = = =+ − −
ABC∆ ∴
0 2
0 2
0 2
A
B
C
π
π
π
<
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