2020届浙江省金华市山河联盟高一数学下学期期中试题及答案

山河联盟 2019 学年第二学期期中考试高一数学试卷 考试时间：120 分钟 总分：150 分 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题 10 小题，每小题 4 分,共 40 分) 1．已知等差数列 的首项为 1，公差为 2，则 a9 的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．18 2．在△ABC 中，已知 a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．1500 3．不等式 x2＋ax＋b＜0 的解集为(-1,2)，则 a＋b＝(　　) A.－3 B.1 C.－1 D.3 4.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2 = 2，a3a4a5 = 29,则 a3＝(　　) A.16 B.8 C.4 D.2 5.已知 0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是(　　) A. 1 a2＞1 a＞ 1 ab B. 1 a2＞ 1 ab＞1 a C.1 a＞ 1 a2＞ 1 ab D.1 a＞ 1 ab＞ 1 a2 6．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA k = sinB 3 = sinC 4 （k为非零 实数），则下列结论错误的是（ ） A. 当k = 5时，ΔABC是直角三角形 B. 当k = 3时，ΔABC是锐角三角形 C. 当k = 2时，ΔABC是钝角三角形 D. 当k = 1时，ΔABC是钝角三角形 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1>0 且a6 a5＝ 9 11，则当 Sn 取最大值时，n 的值 { }na为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 8.已知向量푎 = (3cos휃,3sin휃)，푏 = (0, - 3)，휃 ∈ (휋 2,휋)，则向量푎、푏的夹角为 ( ) A. 3휋 2 - 휃 B. 휃 - 휋 2 C. 휋 2 +휃 D. 휃 9.已知实数 x,y 满足xy ― 2 = x + y,且x > 1,则y(x + 11)的最小值为（ ） A.21 B.24 C.25 D. 27 10.若不等式(|x－2a|－b)×cos(πx－ π 3 )≤0 在 x∈[－ 1 6， 5 6]上恒成立，则 2a＋ b 的最小值为(　　) A.1 B. 5 6 C.2 3 D. 2 二、填空题(本大题 7 小题，多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分，共,36 分) 11.已知平面向量 a＝(2，－3)，b＝(1，x)，若 a∥b，则 x＝________；若 a⊥b，则 x＝________. 12.若x，y满足{x ≤ 2， y ≥ －1， 4x－3y＋1 ≥ 0， 则2y－x的最小值为______.最大值为_______. 13.已知正数 a，b 满足 a＋b＝1，则b a＋1 b的最小值为________，此时 a＝ ________. 14. 在△ABC 中，AB＞AC，BC＝2 3，A＝60°，△ABC 的面积等于 2 3，则 sin B＝________，BC 边上中线 AM 的长为________. 15.若 a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式 an＝________.16. 若关于 x 的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d 有解，则实数 d 的取值范围 ________. 17.已知 G 为△ABC 的重心，过点 G 的直线与边 AB，AC 分别相交于点 P，Q，若AP→ ＝λAB→ ，则△ABC 与△APQ 的面积之比为________.（结果用 λ 表示） 第Ⅱ卷 三、解答题(本大题 5 小题，共 74 分) 18.（本小题满分 14 分）.已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设 bn＝ an n . (1)证明：数列{bn}为等比数列； (2)求{an}的通项公式. 19. （本小题满分 15 分）已知函数푓(푥) = - 4푥2 +13푥 - 3． (1)求不等式푓(푥) > 0的解集； (2)当푥 ∈ (0, + ∞)时，求函数푦 = 푓(푥) 푥 的最大值，以及 y 取得最大值时 x 的 值．20. （本小题满分 15 分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋2b|； (3)若AB→ ＝a＋2b，BC→ ＝b，求△ABC 的面积. 21. （本小题满分 15 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sinAsinB＝2csinC，△ABC 的面积 S＝abc. (1)求角 C； (2)求 a＋b 的取值范围.22.（本小题满分 15 分）已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a2n＝4Sn－2an－ 1(n∈N*).数列{푏푛}满足푏푛 = 1 푎푛·푎푛 +1 ，푇푛为数列{푏푛}的前 n 项和． (1)求数列{푎푛}的通项公式； (2)求数列{푏푛}的前 n 项和푇푛; (3)若对任意的푛 ∈ 푁*，不等式휆푇푛 < 푛 + 8 ⋅ ( - 1)푛恒成立，求实数휆的取值 范围； 山河联盟 2019 学年第二学期期中考试高一数学参考答案 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C A D B A D B 二、填空题: 本大题共 7 个小题，共 36 分． 11.　 - 3 2, 　2 3 12. -4 4 13． 3, 　1 2 14.　1 2　, 7 15． n2＋n＋2 2 16． d ≥ - 1 17．　3λ－1 λ2 三、解答题: 本大题共 5 个小题，共 74 分． 18．(本小题满分 14 分) （1）由条件可得an＋1 n＋1＝2an n ，即 bn＋1＝2bn，又 b1＝1， 所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列. (2)由（1）可得 bn＝2n－1，an n ＝2n－1 所以 an＝n·2n－1. 19. 本小题满分 15 分) 解：(1)由题意得 - 4푥2 +13푥 - 3 > 0， 因为方程 - 2푥2 +7푥 - 3 = 0有两个不等实根푥1 = 1 4，푥2 = 3， 又二次函数푓(푥) = - 4푥2 +13푥 - 3的图象开口向下， 所以不等式푓(푥) > 0的解集为{푥|1 4 < 푥 < 3}；(2)由题意知，푦 = 푓(푥) 푥 = -4푥2 + 13푥 - 3 푥 = - 4푥 - 3 푥 +13， 因为푥 > 0，所以푦 = - 4푥 - 3 푥 +13 = 13 - (4푥 + 3 푥) ≤ 13 - 4 3， 当且仅当4푥 = 3 푥，即푥 = 3 2 时，等号成立． 综上所述，当且仅当푥 = 3 2 时，y 取得最大值为13 - 4 3． 20．(本小题满分 15 分) 解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3， ∴64－4a·b－27＝61， ∴a·b＝－6.∴cos θ＝ a·b |a||b|＝ －6 4 × 3＝－1 2. 又 0≤θ≤π，∴θ＝2π 3 . (2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2 ＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a＋2b|＝2 7 (3)BA与BC的夹角 B cosB = -2 7 ∴sinB = 3 7 |AB→ |＝2 ퟕ，|BC→ |＝3， ∴S△ABC＝1 2|AB→ ||BC→ |sinB＝1 2×2 ퟕ×3× 3 7 ＝3 3.21． （本小题满分 15 分） 解　(1)由 S＝abc＝1 2absin C 可知 2c＝sin C，∴sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝ sin2C.由正弦定理得 a2＋b2＋ab＝c2.由余弦定理得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝－1 2， ∴C∈(0，π)，∴C＝2π 3 . (2) 法一：由(1)知 2c＝sin C，c= 3 4 ∴2a＝sinA，2b＝sin B. △ABC 的 a＋b＝1 2(sinA＋sinB) ＝1 2[sin A＋sin(π 3 －A)] ＝1 2(sin A＋ 3 2 cos A－ 1 2sin A) ＝1 2(1 2sin A＋ 3 2 cos A) ＝1 2sin(A＋ π 3 ) ∵A∈(0， π 3 )，∴A＋π 3 ∈(π 3 ， 2π 3 )，∴sin(A＋ π 3 )∈( 3 2 ，1]，∴1 2sin(A＋ π 3 ) ∈( 3 4 ，1 2] ∴a＋b 的取值范围为. ( 3 4 ，1 2] 法二：c2 = a2 + b2 +ab c2 = (a + b)2 - ab ≥ (a + b)2 - (a + b)2 4 3 16 ≥ 3 4(a + b)2 ∴a＋b ≤ 1 2∵a＋b > 푐 = 3 4 ∴a＋b 的取值范围为. ( 3 4 ，1 2] 22（本小题满分 15 分） 解：(1)　当 n＝1 时，a1＝1； 当 n≥2 时，因为 an＞0，a2n＝4Sn－2an－1， 所以 a 2n－1＝4Sn－1－2an－1－1， 两式相减得 a2n－a 2n－1＝4an－2an＋2an－1＝2(an＋an－1)， 所以 an－an－1＝2，所以数列{an}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以 an＝ 2n－1. (2)由题意和(1)得：푏푛 = 1 푎푛·푎푛 +1 = 1 (2푛 - 1)·(2푛 + 1) = 1 2( 1 2푛 - 1 - 1 2푛 + 1)， 所以数列{푏푛}前 n 项和푇푛 = 1 2(1 - 1 3 + 1 3 - 1 5 + ⋯ + 1 2푛 - 1 - 1 2푛 + 1) = 푛 2푛 + 1． (3)①当 n 为偶数时，要使不等式휆푇푛 < 푛 + 8 ⋅ ( - 1)푛恒成立， 即需不等式휆 < 2푛 + 8 푛 +17恒成立． ∵ 2푛 + 8 푛 ≥ 8，等号在푛 = 2时取得． ∴ 此时휆需满足휆 < 25． ②当 n 为奇数时，要使不等式휆푇푛 < 푛 + 8 ⋅ ( - 1)푛恒成立， 即需不等式휆 < 2푛 - 8 푛 - 15恒成立． ∵ 2푛 - 8 푛是随 n 的增大而增大， ∴ 푛 = 1时，2푛 - 8 푛取得最小值 - 6． ∴ 此时휆需满足휆 < - 21． 综合①、②可得휆的取值范围是휆 < ― 21．