对外经贸大学附属中学高一年级下数学期中试卷 2020.5
（考试时间 120 分钟，满分 150 分）
一、选择题（每小题 5 分共 50 分）
1．复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．甲校有 3600 名学生，乙校有 5400 名学生，丙校有 1800 名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划
采用分层抽样法，抽取一个容量为 90 人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）
A．30 人，30 人，30 人 B．30 人，45 人，15 人
C．20 人，30 人，40 人 D．30 人，50 人，10 人
3．已知平面向量 ， ，若 与 共线，则 （ ）
A．5 B． C． D．
4．若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量 ， 满足： ， ,则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
甲 乙
1 2i−
1 2i− 1 2i+ (1, 2)− 5
(1,2)a = ( 2, )b k= − a b | |a b+ =
5 2 2 5 5
3cos 4 5
π α − = sin2α =
7
25
1
5
1
5
− 7
25
−
a b | | | | 2a b= = ( 2 ) ( ) 2a b a b+ ⋅ − = − a b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
πA．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
7．要得到函数 的图象，只需将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
8．如图，已知正方形 的边长为 1，点 是 边上的动点，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．答案不确定
9．若 ， 是两个非零的平面向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知平面向量 , 的夹角为 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题（每小题 5 分共 30 分）
11．若复数 为纯虚数，则实数 __________．
3sin2 cos2y x x= + 2sin2y x=
6
π
6
π
12
π
12
π
ABCD E AB DE CB⋅
1−
a b | || |a b= ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − =
a b 120° 1a b⋅ = − | |a b−
6 3 2
( )(1 )a i i+ + a =12．已知平面向量 ， ，若 与 垂直，则实数 __________．
13．在△ 中，若 ， ， ，则 的大小为__________．
14．在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称，若 ，则
__________．
15．若平面向量 ， ，且 ，则 的值是__________．
16．在△ 中，角 , , 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ,下列判断：
①若 ，则角 有两个解；
②若 ，则 边上的高位 ；
③ 不可能是 9．
其中判断正确的序号是__________.
三、解答题（共 70 分）
17．本题（10 分）某中学随机选取了 40 名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分
布直方图．观察图中数据，完成下列问题．
（1）求 的值及样本中男生身高在［185,195］（单位： ）的人数；
(1, 3)a = − (4, 2)b = − a bλ + a λ =
ABC 3a = 3b =
3A
π∠ = C∠
xOy α β Ox y 1sin 3
α =
cos( )α β− =
(cos ,sin )a θ θ= (1, 1)b = − a b⊥ sin2θ
ABC A B C a b c 60B °= 4b =
3c = C
12BC BA⋅ = AC 3 3
a c+
a cm（2）通过频率分布直方图估计该校全体男生身高的中位数；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高．
18．本题（15 分）已知函数 ．
（1）求函数 的单调减区间；
（2）求函数 的对称中心坐标．
19．本题（15 分）函数 的部分图像所示．
（1）求 的最小正周期及解析式；
（2）设 ，求函数 在区间 上的最小值．
20．本题（15 分）在△ 中，角 , , 的对边分别是 , , ，已知 ， ，
.
（1）求 的值；
（2）若角 为锐角，求 的值及△ 的面积．
21 ． 本 题 （ 15 分 ） 如 图 ， 在 △ 中 ， ， , , 点 在 线 段 上 ， 且
．
( ) sin (cos 3sin )f x x x x= −
( )f x
( )f x
( ) sin( ) 0, 0,| | 2f x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > >
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