山东省烟台市2019-2020高一数学下学期期中试题（Word版含答案）

2019-2020 学年度第二学期期中自主练习 高一数学 一、单项选择题 1．设复数 （ 为虚数单位），则在复平面内 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若向量 ， ， 与 共线，则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知正三角形 的边长为 ，那么 的直观图 的面积为（ ） A． B． C． D． 4．在 中， ， ， ，则此三角形（ ） A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 5．已知圆柱的高为 ，它的两个底面的圆周在直径为 的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．在平行四边形 中，点 为对角线 上靠近 点的三等分点，连结 并延长交 于 ， 则 （ ） A． B． C． D． 7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺， 高六尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米 堆底部的弧长为 尺，米堆的高为 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 斛米的体积约为 立方尺，圆周率约为 ，估算堆放的米约为（ ） ( )1 2z i i= − i z ( )1,2a = ( )0,1b = ka b− 2a b+ k 1− 1 2 − 1 2 ABC 2 ABC△ A B C′ ′ ′△ 6 2 3 4 3 6 8 ABC△ 4 3a = 12b = 6A π= 2 2 6 4 5π ( )8 6 3 π+ 10 3π ( )10 4 5 π+ ABCD N AC A BN AD M MN = 1 1 3 6AB AD− +  1 1 4 3AB AD−  1 1 3 6AB AD−  3 1 4 4AB AD−  10 6 1 1.62 3A． 斛 B． 斛 C． 斛 D． 斛 8．如图，为了测量 两点间的距离，选取同一平面上 两点，已知 ， ， ， ， ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 二、多项选项题 9．在复平面内，下列说法正确的是（ ） A．若复数 （ 为虚数单位），则 B．若复数 满足 ，则 C．若复数 ，则 为纯虚数的充要条件是 D．若复数 满足 ，则复数 对应点的集合是以原点 为圆心，以 为半径的圆 10．下列叙述错误的是（ ） A．已知直线 和平面 ，若点 ，点 且 ， ，则 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．若直线 不平行于平面 ，且 ，则 内的所有直线与 都不相交 D．若直线 和 不平行，且 ， ， ，则 至少与 中的一条相交 11．下列结论正确的是（ ） A．在 中，若 ，则 B．在锐角三角形 中，不等式 恒成立 C．在 中，若 ， ，则 为等腰直角三角形 D．在 中，若 ， ，三角形面积 ，则三角形外接圆半径为 12．在 中， 分别是边 中点，下列说法正确的是（ ） A． 17 25 41 58 ,B C ,A D 90ADC∠ = ° 60A∠ = ° 2AB = 2 6BD = 4 3DC = BC 4 3 5 6 5 7 1 1 iz i += − i 30 1z = − z 2z R∈ z R∈ ( ),z a bi a b R= + ∈ z 0a = z 1z = z O 1 l α A l∈ B l∈ A α∈ B α∈ l α⊂ l α l α⊄ α l 1l 2l 1l α⊂ 2l β⊂ lα β = l 1 2,l l ABC△ A B> sin sinA B> ABC 2 2 2 0b c a+ − > ABC△ 4C π= 2 2a c bc− = ABC△ ABC△ 3b = 60A = ° 3 3S = 3 3 ABC△ , ,D E F , ,BC AC AB 0AB AC AD+ − =  B． C．若 ，则 是 在 的投影向量 D．若点 是线段 上的动点，且满足 ，则 的最大值为 三、填空题 13．已知复数 （ 为虚数单位），则 ______. 14．已知向量 夹角为 ， ， ，则 ______. 15．在 中，角 所对的边分别为 .若 ，且 ，则 的值为______. 16．已知一个高为 的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为 的等边三角形，则三棱锥的表面积 为______，若三棱锥内有一个体积为 的球，则 的最大值为______. 四、解答题 17．如图，正方体 中， 分别为 ， 的中点. （1）求证： 四点共面； （2）若 ， ， 与平面 交于点 ，求证： 三点共线. 18．已知复数 （ 为虚数单位， ）为纯虚数， 和 是关于 的方程 的两个根. （1）求 的值； （2）若复数 满足 ，说明在复平面内 对应的点 的集合是什么图形？并求该图形的面积. 19．已知 的内角 的对边分别为 ，且 . 0DA EB FC+ + =   3AB AC AD AB AC AD + =       BD BA BC P AD BP BA BCλ µ= +   λµ 1 8 3 1 iz i −= + i z = ,a b 30° 2a = 2 3b = 2a b+ = ABC△ , ,A B C , ,a b c ( )( ) 3a b c a b c ab+ + + − = 2a bc= sin b a A 3 2 3 V V 1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1 1C D 1 1B C , , ,E F B D AC BD P= 1 1AC EF Q= 1AC EFBD R , ,P Q R ( ) ( )2 2 0 lg 4 4 3 2z a a a a i= − + + − + i a R∈ 0z b x ( )2 3 2 6 0x i x i− + + = ,a b z 1 z a bi≤ ≤ + z Z ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2 2a b c ab+ − =（1）求 ； （2）若 ， ，求 . 20．如图，在三棱锥 中， 是高， ， ， . （1）求三棱锥 的体积； （2）求三棱锥 的表面积. 21．如图，四边形 中， . （1）用 表示 ； （ 2 ） 若 ， 点 在 上 ， ， 点 在 上 ， ， ， 求 . 22．如图，在平面四边形 中， ， ， . （1）若 ， ，求 的长； （2）若 ， ，求 . C cos sina B b A c+ = 3c = a S ABC− SC 3SC = AC BC⊥ 2AC BC= = S ABC− S ABC− ABCD 2AD BC=  ,AB AD  DC 90A∠ = ° E AB 2AE EB=  P DE 2DP PE=  1EB BC= =  cos CDP∠ ABCD AD CD⊥ AB AC⊥ 2 3AB = 30ABC∠ = ° 3CD AD= BD 2AC = 30ADB∠ = ° sin CAD∠2019-2020 学年度第二学期期中自主练习 高一数学参考答案 一、单选题 ABDB DCCA 二、多选题 9．AD 10．BC 11．ABC 12．BCD 三、填空题 13． 14． 15． 16． ； 四、解答题 17．（1）证明：连接 ，在正方体 中， 分别为 ， 的中点， ∴ 是 的中位线，∴ ， 又因为 ，∴ ∴四边形 为平行四边形，即 四点共面. （2）在正方体 中， ， ， ∴ 是平面 与平面 的交线， 又因为 交平面 于点 ， ∴ 是平面 与平面 的一个公共点. 因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上， ∴ 三点共线. 18．解：（1）因为 为纯虚数， 所以 ，即 ，解得 ， 5 2 13 2 3 3 9 3 4 3 27 π 1 1B D 1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1 1C D 1 1B C EF 1 1 1B C D△ 1 1EF B D 1 1B D BD EF BD BDEF , , ,B D E F 1 1 1 1ABCD A B C D− AC BD P= 1 1AC EF Q= PQ 1 1AAC C BDEF 1AC BDEF R R 1 1AAC C BDEF , ,P Q R ( ) ( )2 2 0 lg 4 4 3 2z a a a a i= − + + − + ( )2 2 lg 4 4 0 3 2 0 a a a a  − + = − + ≠ 2 2 4 4 1 3 2 0 a a a a  − + = − + ≠ 3a =此时 ，由韦达定理得 ， . （2）复数 满足 ，即 ， 不等式 的解集是圆 的外部（包括边界）所有点组成的集合， 不等式 的解集是圆 的内部（包括边界）所有点组成的集合， 所以所求点 的集合是以原点为圆心，以 和 为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界. . 19．解：（1）因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ； （2）因为 ， 由正弦定理可得， 故 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 由正弦定理可得， . 20．解：（1）因为 是高， ， ， ， 所以 ； （2）因为 是高， ， ， ， 所以 ， ， 是等腰三角形， ， ， 所以 ， 0 2z i= 0 0 3 2 6 z b i z b i + = +  = 3b = z 1 z a bi≤ ≤ + 1 3 2z≤ ≤ 1z ≥ 1z = 3 2z ≤ 3 2z = Z 1 3 2 ( )2 23 2 1 17S π π = − =  圆环 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 2 1cos 2 2 2 a b c abC ab ab + −= = = ( )0,C π∈ 3C π= cos sina B b A c+ = ( )sin cos sin sin sin sinA B B A C A B+ = = + sin cos sin sin sin cos sin cosA B B A A B B A+ = + sin cosA A= ( )0,A π∈ 4A π= 23sin 2 2sin 3 2 c Aa C × = = = SC 3SC = AC BC⊥ 2AC BC= = 1 1 1 1 2 2 3 23 3 2 6S ABC ABCV S SC AC BC SC− = ⋅ = × ⋅ ⋅ = × × × =△ SC 3SC = AC BC⊥ 2AC BC= = 1 1 2 3 32 2SAC SBCS S AC SC= = ⋅ = × × =△ △ 1 1 2 2 22 2ABCS AC BC= ⋅ = × × =△ SAB△ 2 23 2 13SA SB= = + = 2 2AB = 1 2 2 11 222SABS = × × =△所以三棱锥 的表面积为 . 21．解：（1）因为 ， 所以 ； （2）由已知： ， ， 得： ， 在 中， ， ，∴ ， . 在 中， ， ，∴ ， ∴ 又∵ ，∴ ， . 在 中， ， ， ，∴ ∴ ∵ ，∴ 22．解：（1）在 中， . 在 中， ，所以 ，所以 . 在 中， ，所以 ； （2）设 ，因为 ， 所以 ， ， 在 中，由正弦定理得 ， 化简得 ，代入 ，得 ， 又 为锐角，所以 ，即 . S ABC− 8 22+ 2AD BC=  1 1 2 2DC DA AB BC AD AB AD AD AB= + + = − + + = − +         2AD BC=  2AE EB=  1EB BC= =  2AD = 2AE = ADE△ 90A∠ = ° 2AE AD= = 45AED ADE∠ = ∠ = ° 2 2DE = BCE△ 90B∠ = ° 1BE BC= = 45BCE BEC∠ = ∠ = ° 2CE = 90CEP∠ = ° 2DP PE=  4 2 3DP = 2 2 3PE = CEP△ 90CEP∠ = ° 2CE = 2 2 3PE = 26 3CP = 2 2 2 133cos 1326 3 CPE∠ = = CPE CPD π∠ + ∠ = 2 13cos 13CPD∠ = − Rt ABC△ tan 2AC AB ABC= ⋅ ∠ = Rt ACD△ tan 3CDCAD AD ∠ = = 60CAD∠ = ° cos 1AD AC CAD= ∠ = Rt BCD△ 2 2 2 19BD BC CD= + = 19BD = CAD θ∠ = 30 90 180ABD θ∠ + °+ °+ = ° 60ABD θ∠ = °− 2cosAD θ= ABD△ ( ) 2cos 2 3 sin 60 sin30 θ θ =°− ° 3cos sin2 θ θ= 2 2sin cos 1θ θ+ = 2 4sin 7 θ = θ 2sin 77 θ = 2sin 77CAD∠ =