第二章 微专题17 极值问题（详细解析）

[方法点拨]　(1)三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题，求某 一边的最短值．(2)多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式求 解．(3)摩擦锁止现象． 1．(2018·四川成都第七中学月考)如图 1 所示，用细线相连的质量分别为 2m、m 的小球 A、B 在拉力 F 作用下，处于静止状态，且细线 OA 与竖直方向的夹角保持 θ＝30°不变，则拉力 F 的最小值为(　　) 图 1 A.3 3 2 mg　　　　　 B.2 3＋1 2 mg C. 3＋2 2 mg D.3 2mg 2.如图 2 所示，质量均为 m＝10 kg 的 A、B 两物体放在粗糙的水平木板上，中间用劲度系数 为 k＝5×102 N/m 的弹簧连接，刚开始时 A、B 两物体处于平衡状态，弹簧的压缩量为 Δx＝5 cm. 已知两物体与木板间的动摩擦因数均为 μ＝ 3 2 ，重力加速度 g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等 于滑动摩擦力．现将木板的右端缓慢抬起，木板形成斜面，在木板缓慢抬起过程中，以下说 法正确的是(　　) 图 2 A．A 先开始滑动，A 刚开始滑动时木板的倾角 θ＝30° B．A 先开始滑动，A 刚开始滑动时木板的倾角 θ＝60° C．B 先开始滑动，B 刚开始滑动时木板的倾角 θ＝30°D．B 先开始滑动，B 刚开始滑动时木板的倾角 θ＝60° 3．(2018·山东烟台期中)如图 3 所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹 簧．紧贴弹簧放一质量为 m 的滑块，此时弹簧处于自然长度．已知滑块与水平板的动摩擦因 数为 3 3 (最大静摩擦力与滑动摩擦力视为相等)．现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹 角为 θ，最后直到板竖直，此过程中弹簧弹力的大小 F 随夹角 θ 的变化关系可能是(　　) 图 3 4.(2017·山西太原模拟一)如图 4 所示，质量为 M 的滑块 a，置于水平地面上，质量为 m 的滑 块 b 放在 a 上．二者接触面水平．现将一方向水平向右的力 F 作用在 b 上．让 F 从 0 缓慢增 大，当 F 增大到某一值时，b 相对 a 滑动，同时 a 与地面间摩擦力达到最大．已知 a、b 间的 动摩擦因数为 μ1，a 与地面之间的动摩擦因数为 μ2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则 μ1 与 μ2 之比为(　　) 图 4 A.m M B.M m C. m M＋m D.M＋m m 5.(2017·陕西商洛二模)如图 5 所示，质量均为 m 的木块 A 和 B，用一个劲度系数为 k 的竖直 轻质弹簧连接，最初系统静止，现在用力缓慢拉 A 直到 B 刚好离开地面，则这一过程 A 上升 的高度为(　　)图 5 A.mg k B.2mg k C.3mg k D.4mg k 6.如图 6 所示，质量为 M 的斜劈倾角为 θ，在水平面上保持静止，当将一质量为 m 的木块放 在斜面上时正好匀速下滑．如果用与斜面成 α 角的力 F 拉着木块沿斜面匀速上滑． 图 6 (1)求拉力 F 的大小； (2)若 m＝1 kg，θ＝15°，g＝10 m/s2，求 F 的最小值以及对应的 α 的取值．答案精析 1．D　[因小球 A、B 处于静止状态，系统受到的合外力为零，对系统受力分析，如图所示， 由图中几何关系可得：Fmin＝3mgsin θ＝3 2mg，选项 D 正确．] 2．A　[木板水平时，由胡克定律可知弹簧的弹力 F＝kΔx＝25 N，两物体与木板间的最大静 摩擦力均为 Ffmax＝μmg＝50 3 N，当木板抬高后倾角为 θ 时，对 A：mgsin θ＋F＝FfA，对 B：mgsin θ＋FfB＝F，在木板逐渐抬高的过程中，A 所受的静摩擦力逐渐增大，B 所受的静摩 擦力先沿斜面向下逐渐减小后沿斜面向上逐渐增大，因此 A 所受静摩擦力先达到最大静摩擦 力，A 将先开始滑动，在 A 刚要滑动时，有 mgsin θ＋F＝μmgcos θ，分别将 θ＝30°、θ＝60° 代入可知，A 正确．] 3．C　[当 θ 角较小时，滑块不能下滑压缩弹簧，滑块受重力 G、斜面支持力 FN 和斜面的静 摩擦力 Ff 而平衡，直到 mgsin θ－μmgcos θ＝0，即 θ＝π 6为止，A、B 错误；当 θ＞π 6时，滑块 下滑压缩弹簧，在动态平衡过程中有 F＋μmgcos θ－mgsin θ＝0，F＝mg(sin θ－μcos θ)＝mg 1＋μ2sin(θ－φ)，tan φ＝μ，即 φ＝π 6，由此可知 C 正确，D 错误．] 4．D 5．B　[最初 A、B 处于静止状态，而且弹簧处于压缩状态，根据平衡条件对 A 有 kΔl1＝mg， B 刚好离开地面时弹簧处于拉伸状态，此时地面对 B 支持力为零，根据平衡条件对 B 有 kΔl2 ＝mg，这一过程 A 上升的高度为 Δl1＋Δl2＝2mg k .] 6．见解析 解析　(1)由木块在斜面上匀速向下滑动，可得： mgsin θ＝μmgcos θ① 在拉力 F 作用下匀速向上滑动时，有：Fcos α＝mgsin θ＋Ff② Fsin α＋FN＝mgcos θ③ Ff＝μFN④ ①②③④联立可解得：F＝ mgsin 2θ cos(θ－α)⑤ (2)由⑤式可知：当 α＝θ 时，F 有最小值．即： 当 α＝15°时，F 有最小值．Fmin＝mgsin 2θ 代入题中已知数据，可解得：Fmin＝5 N.