7.2 二元一次方程组的解法
第1课时 用代入消元法解二元一次方程组
教学目标
【知识与技能】
1.用代入法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
3.会用二元一次方程组解决实际问题.
4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意
识和能力.
5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步培养解方程组的能力.
【过程与方法】
通过观察、验证、讨论、交流等学习方式经历代入消元的过程,深刻体会到转化的作用,
发展学生的抽象思维能力,培养学生有条理的表达能力和与人交流的能力.
【情感、态度与价值观】
1.了解二元一次方程组的“消元”思想、初步理解“化未知为已知”和化复杂问题为简
单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信心.
2.培养学生合作交流、自主探索的良好习惯.
3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.
4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.
教学重难点
【重点】用代入消元法解二元一次方程组.
【难点】探索用代入消元法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
教学过程
一、创设情境,引入新课
教师出示下列问题:
问题1:篮球联赛中,每场比赛都要分胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争
取较好的名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少?
问题2:在上述问题中,我们也可以设出两个未知数,列出二元一次方程组,那么怎样求解
二元一次方程组呢?二、尝试活动,探索新知
教师引导:
什么是二元一次方程组的解?(方程组中各个方程的公共解)
学生列式计算后回答:
满足方程①的解有:
……
满足方程②的解有:
……
这两个方程的公共解是
教师追问:
这个问题能用一元一次方程来解决吗?
学生思考并列出式子:
设胜x场,负(22-x)场,
解方程:2x+(22-x)=40 ③
学生观察并思考:
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?
教师提问:1.在一元一次方程的解法中,列方程时所用的等量关系是什么?
2.方程组中方程②所表示的等量关系是什么?
3.方程②与③的等量关系相同,那么它们的区别在哪里?
4.怎样使方程②变为只含有一个未知数呢?
结合学生的回答,教师做出讲解:
由方程①进行移项得y=22-x,由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数,故可以
把方程②中的y用(22-x)来代换,即得2x+(22-x)=40.这样,二元就化为一元了.
解得x=18.
问题解完了吗?怎样求y?
将x=18代入方程y=22-x,得y=4.
能代入原方程组中的方程①、②来求y吗?代入哪个方程更简便?
这样,二元一次方程组的解就是
教师归纳并板书:这种通过代入消去一个未知数,使二元方程转化为一元方程,从而方程组得以求解的方
法叫做代入消元法,简称代入法.
三、例题讲解
【例1】 用代入法解方程组x-y=3,3x-8y=14.
本题较简单,直接由学生板演,师生共同评价.
【答案】 把①代入②,得3(y+3)-8y=14.所以y=-1.把y=-1代入①,得x=2.所以
解后反思,教师引导学生思考下列问题:
(1)选择哪个方程代入另一方程?其目的是什么?
(2)为什么能代入?
(3)只求出一个未知数的值,方程组就解完了吗?
(4)把已求出的未知数的值代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便?
(5)怎样检验你运算的结果是否正确呢?
(与解一元一次方程一样,需检验.其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组
里的每一个方程中,看方程的左、右两边是否相等.检验可以口算,也可以在草稿纸上验算.)
四、课堂小结
你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么?主要步骤有哪些呢?让学生在互
相交流的活动中完成本节课的小结,并能通过总结与归纳,更加清楚地理解代入消元法,体会
代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想.第2课时 用加减消元法解二元一次方程组
教学目标
【知识与技能】
1.掌握用加减消元法解二元一次方程组.
2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.
3.体验数学学习的乐趣,在探索过程中体验成功的喜悦,增强学好数学的信心.
【过程与方法】
1.通过探索二元一次方程组的解法,了解二元一次方程组的“消元”思想,使学生养成良
好的探索习惯.
2.通过对具体实际问题的分析,组织学生自主交流、探索,经历列方程的建模过程,培养
学生应用数学的意识.
【情感、态度与价值观】
1.让学生在了解二元一次方程组的“消元”思想以及初步理解“化未知为已知”和“化
复杂问题为简单问题”的化归思想的过程中,享受学好数学的乐趣,增强学好数学的信心.
2.使学生养成合作交流、自主探索的良好习惯.
3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.
4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.
教学重难点
【重点】如何用加减法解二元一次方程组.
【难点】如何运用加减法进行消元.
教学过程
一、创设情境,引入新课
教师提出问题:
王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨,共花了14元,李老师以同样的价
格买了2千克苹果和3千克梨,共花了12元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁算得快.
教师总结最简便的方法:
抵消掉相同部分,王老师比李老师多买了1千克的梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2
元.
二、例题讲解
【例1】 解方程组:分析 在这个方程组中,直接将两个方程相加或相减,都不能消去未知数x或y,怎么办?
我们可以对其中一个(或两个)方程进行变形,使得这个方程组中x或y的系数相等或互为相反
数,再来求解.
解法一(消去x),将①×2,得8x+2y=28.③
②-③,得y=2.把y=2代入①,得4x+2=14.
x=3.所以
解法二(消去y) 请同学们自己完成.
【例2】 解方程组:4x+2y=-5,5x-3y=-9.
分析 比较方程组中的两个方程,y的系数的绝对值比较小,将①×3,②×2,就可使y的
系数绝对值相等,再用加减法即可消去y.
【答案】 ①×3,得12x+6y=-15.③
②×2,得10x-6y=-18.④
③+④,得22x=-33,x=-.把x=-代入①,得-6+2y=-5,y=.所以
师生共析:
1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两
个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两
边相减,消去这个未知数.
第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最
小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,
该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等
于原系数的最小公倍数),再加减消元.
第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、合并同类项等,通常
要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边、常数项在方程的右边的形式),再作如上加
减消元的考虑.
三、课堂小结
本节课我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减法.通过把方程组中的两
个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.请同学们回忆:加减消元法
解二元一次方程组的基本思想是什么?用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?
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