习惯形成性格,性格决定命运.———约Ű凯恩斯
３．游戏公平吗
１．通过画树状图或列表求事件发生的概率．
２．根据游戏规则判断游戏的公平,并利用它对一些游戏活动的不公平性作出修改．
夯实基础,才能有所突破ƺƺ
１．有一杯
２
升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从水中
取
０．１
升的水,则小杯中含有这个细菌的概率为( )．
A．０．０１ B．０．０２
C．０．０５ D．０．１
２．一只蚂蚁在如图所示的 树 枝 上 寻 觅 食 物,假 定 蚂 蚁 在 每
个岔路口都会随 机 地 选 择 一 条 路 径,则 它 获 得 食 物 的 概
率是( )．
(第
２
题)
A．１
２ B．１
３
C．１
４ D．１
６
３．在一只不透明的袋中放入除颜色外其余都一样的
６
只球,
其中红球
３
只,白球
２
只,黑球
１
只．现任意摸
１
球,则摸
到红球的 概 率 是
,摸 到 红 球 或 白 球 的 概 率 是
,摸到黄球的概率是
．
４．在四张卡片上分别写有
１,２,３,４
这四个数字,则由这四个
数字组成的四位数是
５
的倍数的概率是
．
５．在图中的转盘游戏中,转动一次转盘,转到的数字是质数
的概率 是
,转 动 两 次 转 盘,将 所 转 到 的 两 数 相
乘,它们的积是
０
的概率是
．
(第
５
题)６．阿明与阿芳设计了两个 掷 骰 子 的 游 戏,每 个 游 戏 每 次 都
是掷两枚骰子．
游戏
１:和是
６
或
７,阿明得
１
分;和是其他数字,阿芳得
１
分．
游戏
２:和能够被
３
整除,阿明得
１
分;和不能被
３
整除,
阿芳得
１
分．
这两个游戏公平吗? 说说你的理由．若不公平,你能将它
们改为公平的吗?
７．甲、乙两人从同一幅扑克牌中拿出
８
张牌玩抽牌游戏,甲
手中的四张牌分别是
２,２,３,４,乙手中的四张牌分别是
３,
４,５,５,两人分别从 对 方 牌 中 任 意 抽 取 一 张(彼 此 看 不 到
对方的牌),然后 将 牌 面 上 的 数 字 相 加,若 和 为 奇 数 则 甲
赢,否则乙赢．
(１)请用列表或树状图求出甲赢的概率;
(２)这个游戏公平吗? 若公平,请说明理由;若不公平,请
在不改变规则 的 情 况 下,从 甲、乙 手 中 各 选 择 一 张 牌
进行交换,使 游 戏 公 平．(写 出 一 种 方 案 即 可,不 必 说
明理由)
８．小刚很擅长球类运动．课外活动时,足球队、篮球队都力邀他
到自己的阵营,小刚左右为难,最后决定通过掷硬币来确定．
游戏规则如下:连续抛掷硬币三次,如果三次正面朝上或三
次反面朝上,那么由小刚任意挑选两球队;如果两次正面朝
上一次正面朝下,那么小刚加入足球阵营;如果两次反面朝
上一次反面朝下,那么小刚加入篮球阵营．
(１)用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果;
(２)小刚任意挑选两球队的概率有多大?
(３)这个游戏规则对两个球队是否公平? 为什么?君子独处,守正不挠.———班
固
课内与课外的桥梁是这样架设的.
９．哥哥与弟弟玩一个游戏:三张大小、质地都相同的卡片上
分别标有数字
１,２,３,将标有数字的一面朝下,哥哥从中
任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后弟弟从中任意
抽取一张,计算 抽 得 的 两 个 数 字 之 和,如 果 和 为 奇 数,那
么弟弟胜;如 果 和 为 偶 数,那 么 哥 哥 胜．该 游 戏 对 双 方
．(填“公平”或“不公平”)
１０．有四张卡片正面分别写有
１,２,３,４．现把四张卡片正面
朝下,从中任取两张．若这两张卡片上数字之和为奇数,
则小刚得
１
分;否则小明得
１
分．你认为这个游戏对双方
公平吗? 若不公平,则应如何修改规则才能使游戏对双
方公平?
１１．已知在一个不透明的口袋中有
４
个形状、大小、材质完全
相同的球,其中
１
个红色球,３
个黄色球．
(１)从口袋中随 机 取 出 一 个 球(不 放 回),接 着 再 取 出 一
个球,请用树 状 图 或 列 表 的 方 法 求 取 出 的 两 个 都 是
黄色球的概率;
(２)小明往该 口 袋 中 又 放 入 红 色 球 和 黄 色 球 若 干 个,一
段时间后 他 记 不 清 具 体 放 入 红 色 球 和 黄 色 球 的 个
数,只记得一种球的个数比另一种球 的 个 数 多
１,且
从口袋中取出一个 黄 色 球 的 概 率 为 ２
３ ,请 问 小 明 又
放入该口袋中红色球和黄色球各多少个?
对未知的探索,你准行!
１２．有一个可自由转动的转盘,被分成了
４
个相同的扇形,分
别标有数
１,２,３,４(如图所示),另有一个不透明的口袋
装有分别标有数
０,１,３
的三个小球(除数不同外,其余都
相同),小亮转 动 一 次 转 盘,停 止 后 指 针 指 向 某 一 扇 形,
扇形内的数是 小 亮 的 幸 运 数．小 红 任 意 摸 出 一 个 小 球,
小球上的数是小红的吉祥数,然后计算这两个数的积．
(第
１２
题)
(１)请你用画树状图或列表的方法,求这两个数的积为
０的概率;
(２)小亮 与 小 红 做 游 戏,规 则 是:若 这 两 个 数 的 积 为 奇
数,小亮赢;否则,小红赢．你认为该游戏公平吗? 为
什么? 如果不公平,那么请你修改该游戏规则,使游
戏公平．
１３．如图,有两个可以自由转动的均匀转盘 A、B,转盘 A 被
均匀地分成
４
等份,每份分别标上
１,２,３,４
这四个数字;
转盘B 被均匀分成
６
等份,每份分别标上
１,２,３,４,５,６这六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏,其规则
如下:
(第
１３
题)
(１)同时自由转动转盘 A 和B;
(２)转盘停止后,指针各指向一个数字(如果指针恰好指
在分格线上,那么重转一次,直到指针指向某一数字
为止),用所指 的 两 个 数 作 乘 积,如 果 得 到 的 积 是 偶
数,那么甲胜;如 果 得 到 的 积 是 奇 数,那 么 乙 胜．(如
转盘 A 指针指向
３,转盘B 指针指向
５,３×５＝１５,按
规则乙胜)
你认为这样的规则是否公平,请说明理由;如果不公平,
那么请你设计一个公平的规则,并说明理由．要解释人性,必须看他整个的历史.———爱默森
１４．如图所示,小吴 和 小 黄 在 玩 转 盘 游 戏,准 备 了 两 个 可 以
自由转动的转 盘 甲、乙,每 个 转 盘 被 分 成 面 积 相 等 的 几
个扇形区域,并在每个扇形区域内标上数字,游戏规则:
同时转动两个 转 盘,当 转 盘 停 止 转 动 后,指 针 所 指 扇 形
区域内的数字之和为
４,５
或
６
时,则小吴胜;否则 小 黄
胜．(如果指针恰好指在分割线上,那么重转一次,直到
指针指向某一扇形区域为止)
(第
１４
题)
(１)这个游戏规则对双方公平吗? 说说你的理由;
(２)请你设计一个对双方都公平的游戏规则．
解剖真题,体验情境.
１５．(２０１２Ű四川乐山)一个盒中装着大小、外形一模一样的x
颗白色弹珠 和y 颗 黑 色 弹 珠,从 盒 中 随 机 取 出 一 颗 弹
珠,取得白色弹珠的概率是 １
３
．如果再往盒中放进
１２
颗
同样的白色弹珠,取得白色弹珠的概率是 ２
３ ,则 原 来 盒
中有白色弹珠
颗．
１６．(２０１２Ű四川自贡)盒子里有
３
张分别写有整式x＋１,x＋
２,３
的卡片,现从中随机抽取两张,把卡片的整式分别作
为分子和分母,则能组成分式的概率是
．
１７．(２０１２Ű山东德州)若一个三位数的十位数字 比 个 位 数 字
和百位数字都大,则称这个数为“伞数”．现从
１,２,３,４
这
四个数字中任取
３
个数,组成无重复数字的三位数．
(１)请画出树状图并写出所有可能得到的三位数;
(２)甲、乙二人 玩 一 个 游 戏,游 戏 规 则 是:若 组 成 的 三 位
数是“伞数”,则 甲 胜;否 则 乙 胜．你 认 为 这 个 游 戏 公
平吗? 试说明理由．
１８．(２０１２Ű贵州六盘水)假期,六盘水市教育局组织部分教师
分别到 A、B、C、D 四个地方进行新课程培训,教育局按
定额购买了前往四地 的 车 票．如 图(１)是 未 制 作 完 成 的
车票种类和数量的条形统计图,请根据统计图回答下列
问题:
(１)
(２)
(第
１８
题)
(１)若去C 地的车票占全部车票的
３０％,则去 C 地的车
票数量是
张,补全统计图．
(２)若教育局采用 随 机 抽 取 的 方 式 分 发 车 票,每 人 一 张
(所有 车 票 的 形 状、大 小、质 地 完 全 相 同 且 充 分 洗
匀),那么余老师抽到去B 地的概率是多少?
(３)若有一张去 A 地的车票,张老师和李老师都想要,决
定采取旋转转 盘 的 方 式 来 确 定．其 中 甲 转 盘 被 分 成
四等份且标有数字
１,２,３,４,乙转盘分成三等份且标
有数字
７,８,９,如图(２)所示．具体规定是同时转动两
个转盘,当指针指向的两个数字之和是偶数时,票给
李老师,否则票给张老师(指针指在线上重转)．试用
“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是
否公平．３
３．游戏公平吗
１．C ２．B
３．１
２ ５
６ ０ ４．０ ５．２
５ １９
１００
６．游戏
１:和是
６
或
７
的概率为１１
３６,和是其他
数字的概率为２５
３６,游戏不公平．
游戏
２:和能被
３
整除的概率是 １
３ ,和不能
被
３
整除的概率为 ２
３ ,游戏不公平．
游戏修改略．
７．(１)列表:
乙
甲
３ ４ ５ ５
２ (２,３)(２,４)(２,５)(２,５)
２ (２,３)(２,４)(２,５)(２,５)
３ (３,３)(３,４)(３,５)(３,５)
４ (４,３)(４,４)(４,５)(４,５)
树状图:
(第
７
题)一共有
１６
种结果,并且每种 结 果 出 现 的 可
能性相同,其中和是奇数的有
１０
种情况,因
此 P(甲赢)＝１０
１６＝ ５
８
．
(２)此 游 戏 不 公 平．因 为 P(甲 赢)＝ ５
８ ＞
１
２ ,所以甲获胜的概率大．
８．(１)根据题意画树状图:
(第
８
题)
(２)由树状图可知,共有
８
种等可能的结果:正正正,正正反,正反正,正反反,反正正,反
正反,反反正,反反反．
其中三次正面朝上的或三次反面向 上 的 共
２
种．所以 P(小 刚 任 意 挑 选 球 队)＝ ２
８ ＝
１
４
．
(３)这个游戏规则对两个球队公平．
两次正面朝上一次正面朝下有
３
种,两次反面朝上一次反面朝下有
３
种,所以 P(小刚去足球队)＝P(小刚去篮球队)
＝ ３
８
．
９．不公平
１０．不公平,小刚获胜的概率为 ４
６ ＝ ２
３ ,而小
明获胜的概率为 ２
６ ＝ １
３
．
修改规则略．
１１．(１)两次取球的树状图为
(第
１１
题)则取球两次共有
１２
次均等机会,其中
２
次
都取黄色球的机会为
６
次,所以 P(两个都
是黄球)＝ ６
１２＝ １
２
．
(２)放入袋中两种球的个数为一种球的个
数比另一种 球 的 个 数 多
１,则 放 入 袋 中 的
红色球的个数只有两种可能．
①
若小明又放入红色球 m 个,则放入黄色球为 m＋１
个,故袋中球的总数为
５＋２m,
于是有４＋m
５＋２m＝ ２
３ ,则 m＝２,
②
若小明又放 入 红 色 球 m＋１
个,则 放 入
黄色球为 m 个,则 ３＋m
５＋２m＝ ２
３ ,则 m＝－１
(舍去),所以小明又放入了
２
个红色球和
３个黄色球．
１２．(１)画树状图如下:
(第
１２
题)由图知,所有等可 能 的 结 果 有
１２
种,其 中
积为
０
的有
４
种,
所以积为
０
的概率为 P＝ ４
１２＝ １
３
．
(２)不公平．
因为由图知,积为奇数的有
４
种,积为偶数
的有
８
种．所以积为奇数的概率为 P１＝ ４
１２
＝ １
３ ,积为偶数的概率为 P２＝ ８
１２＝ ２
３
．
因为 １
３ ≠ ２
３ ,所以,该游戏不公平．
游戏规则可 修 改 为 若 这 两 个 数 的 积 为
０,则小亮赢;积为奇数,则小红赢．
１３．不公平,理由略．
１４．列表或画树状图如下:
甲
乙 １ ２ ３ ４ ５
１
(１,１)和为
２
(２,１)和为
３
(３,１)和为
４
(４,１)和为
５
(５,１)和为
６
２
(１,２)和为
３
(２,２)和为
４
(３,２)和为
５
(４,２)和为
６
(５,２)和为
７
３
(１,３)和为
４
(２,３)和为
５
(３,３)和为
６
(４,３)和为
７
(５,３)和为
８
４
(１,４)和为
５
(２,４)和为
６
(３,４)和为
７
(４,４)和为
８
(５,４)和为
９
(第
１４
题)
(１)数字之 和 一 共 有
２０
种 情 况,和 为
４,５或
６
的共有
１１
种情况,
∵ P(小吴胜)＝１１
２０＞P(小黄胜)＝ ９
２０,
∴
这个游戏不公平．
(２)新的游戏规则:和为奇数小吴 胜,和 为
偶数小黄胜．
理由:数字和一共有
２０
种情况,和为偶数、奇数的各
１０
种情况,
∴ P(小吴胜)＝P(小黄胜)＝ １
２
．
１５．４ １６． ２
３
１７．(１)通过画树状图得到的三位数有
２４
个,分别 为
１２３,１２４,１３２,１３４,１４２,１４３,２１３,
２１４,２３１,２３４,２４１,２４３,３１２,３１４,３２１,３２４,
３４１,３４２,４１２,,４１３,４２１,４２３,４３１,４３２．
(２)这个游戏不公平．
∵
组成 的 三 位 数 中 是 “伞 数”的 有
１３２,
１４２,１４３,２３１,２４１,２４３,３４１,３４２,共 有
８个,
∴
甲胜的概率为 ８
２４＝ １
３ ,乙胜的概率为
１６
２４＝ ２
３
．
∴
这个游戏不公平．
１８．(１)根据题意,得总的车票数是(２０＋４０＋
１０)÷(１－３０％)＝１００,则 去 C 地 的 车 票
数量是
１００－７０＝３０．
图略．
(２)余老师抽到去B 地的概率是４０
１００＝ ２
５ ;
(３)根据题意列表如下:
１ ２ ３ ４
７ ８ ９ １０ １１
８ ９ １０ １１ １２
９ １０ １１ １２ １３
因为两个数 字 之 和 是 偶 数 时 的 概 率 是 ６
１２
＝ １
２ ,所以票给李老师的概率是 １
２ ,
所以这个规定对双方公平．
微信/支付宝扫码支付