广东省2017中考数学第二部分题型研究题型六几何动态综合题试题20170122391.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 题型六　几何动态综合题 类型一　点动型探究题 针对演练 ‎1. (2016赤峰12分)如图，正方形ABCD的边长为‎3 cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是‎1 cm/秒，Q点的运动速度是‎2 cm/秒，连接AP，并过Q作QE⊥AP垂足为E.‎ ‎(1)求证：△ABP∽△QEA；‎ ‎(2)当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；‎ ‎(3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y.(不要求考虑t的取值范围)‎ ‎(提示：解答(2)(3)时可不分先后)‎ ‎　第1题图 ‎2. (2015省卷25，9分) 如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和 Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝‎4 cm.‎ ‎(1)填空：AD＝________(cm)，DC＝________(cm)；‎ ‎(2)点M、N分别从A点，C点同时以每秒‎1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN.求当M、N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；‎ ‎(3)在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．(参考数据：sin75°＝，sin15°＝)‎ 第2题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 3. (2016梅州10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝‎5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒‎2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.‎ ‎(1)若BM＝BN，求t的值；‎ ‎(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；‎ ‎(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．‎ 第3题图 ‎4. 如图，在▱ABCD中，BC＝‎8 cm，CD＝‎4 cm，∠B＝60°，点M从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为‎2 cm/s，点N从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为‎1 cm/s，过点M作MF⊥CD，垂足为F，延长FM交BA的延长线于点E，连接EN，交AD于点O，设运动时间为t(s)(0＜t＜4)．‎ ‎(1)连接AN，MN，设四边形ANME的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；‎ ‎(2)是否存在某一时刻t，使得四边形ANME的面积是 ▱ABCD面积的？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；‎ ‎(3)连接AC，交EN于点P，当EN⊥AD时，求线段OP的长度．‎ ‎ 第4题图 备用图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝‎6 cm，BC＝‎8 cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒‎2 cm和‎1 cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒(0＜t＜4)．‎ ‎(1)连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；‎ ‎(2)连接EP，设△EPC的面积为y cm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；‎ ‎(3)若△EPQ与△ADC相似，求t的值．‎ ‎6. (2015郴州)如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝‎4 cm，DC＝‎5 cm，AB＝‎8 cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为‎1 cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：‎ ‎(1)当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？‎ ‎(2)设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；‎ ‎(3)当△PQB为等腰三角形时，求t的值．‎ 第6题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】‎ ‎1．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，QE⊥AP，‎ ‎∴∠QEA＝∠B＝90°.‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠QAE＝∠APB，‎ ‎∴△ABP∽△QEA；…………………………………………(3分)‎ ‎(2)解： 由题意得：BP＝t cm，AQ＝2t cm，‎ 要使△ABP≌△QEA，则AQ＝AP＝2t cm，‎ 在Rt△ABP中，由勾股定理得：32＋t2＝(2t)2，‎ 解得t＝±(负值舍去)，‎ 即当t＝时，△ABP≌△QEA；…………………………(7分)‎ ‎(3)解：在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP＝，‎ ‎∵△ABP∽△QEA，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴QE＝，AE＝，‎ ‎∴y＝QE·AE＝··＝.……………(12分)‎ ‎2．解：(1)2，2；‎ ‎【解法提示】在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AC＝＝＝‎4 cm，‎ 在Rt△ACD中，AD＝AC·cos30°＝4×＝‎2 cm，‎ DC＝AC·sin30°＝4×＝‎2 cm.‎ ‎(2)如解图，过点N作NE⊥AD于点E，作NF⊥DC交DC延长线于点F，则NE＝DF.‎ ‎∵∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，‎ ‎∴∠NCF＝75°，∠FNC＝15°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在Rt△NFC中， 第2题解图 ‎∵sin∠FNC＝ ，‎ ‎∴sin15°＝ ，‎ 又∵NC＝x cm，‎ ‎∴FC＝NC·sin15°＝ x cm，‎ ‎∴NE＝DF＝DC＋FC＝(2＋x)cm，‎ ‎∴点N到AD的距离为(2＋x)cm；‎ ‎(3)如解图，在Rt△NFC中，‎ ‎∵sin75°＝，‎ ‎∴NF＝NC·sin75°＝ x cm，‎ ‎∵P为DC中点，DC＝‎2 cm，‎ ‎∴DP＝CP＝ cm，‎ ‎∴PF＝DF－DP＝2＋x－＝(x＋) cm，‎ ‎∵S△PMN＝S四边形DFNM－S△DPM－S△PFN，‎ 即S△PMN＝(NF＋MD)·NE－MD·DP－PF·NF，‎ ‎∴y＝×(x＋2－x)×(2＋x)－×(2－x)×－×(x＋)×x，‎ 即y＝x2＋x＋2，‎ ‎∵＜0，‎ ‎∴当x＝－＝ 秒时，y取得最大值为 ‎＝ cm2.‎ ‎3．解：(1)根据题意BM＝2t cm，BC＝5×tan60°＝‎5 cm，BN＝BC－t＝(5－t)cm，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴当BM＝BN时，2t＝5－t，‎ 解得t＝10－15；…………………………………………(2分)‎ ‎(2)分两种情况讨论：①当∠BMN＝∠ACB＝90°时，如解图①，‎ ‎△NBM∽△ABC，cosB＝cos30°＝，‎ ‎∴＝，‎ 解得t＝；(4分)‎ 第3题解图 ‎②当∠MNB＝∠ACB＝90°时，如解图②，△MBN∽△ABC，cosB＝cos30°＝，‎ ‎∴＝，‎ 解得t＝，‎ 故若△MBN与△ABC相似，则t的值为秒或秒；……(6分)‎ ‎ (3)如解图③，过点M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，‎ ‎∴△BMD∽△BAC，‎ ‎∴＝，‎ 又∵BA＝＝10， 第3题解图③‎ ‎∴＝，解得MD＝t.‎ 设四边形ACNM的面积为y，则 y＝S△ABC－S△BMN＝AC×BC－ BN·MD ‎＝×5×5－ (5－t)·t ‎＝t2－t＋ ‎＝(t－)2＋，…………………………………………(8分)‎ ‎∴当t＝秒时，四边形ACNM的面积最小，最小值为cm2.…………………………………………………………………(10分)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．解：(1)如解图①，过点A作AG⊥BC，垂足为点G.‎ 第4题解图①‎ ‎∵∠AGB＝90°，∠B＝60°，‎ ‎∴AG＝AB＝‎2 cm.‎ 由题可知，MD＝2t cm，则AM＝(8－2t) cm，‎ ‎∵AB∥CD，MF⊥CD，‎ ‎∴ME⊥AB，‎ ‎∴∠MEA＝∠MFD＝90°，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠EAM＝∠B＝60°，‎ ‎∴AE＝AM＝(4－t) cm, ME＝(4－t) cm，‎ ‎∴y＝S△ANM＋S△AEM ‎＝×(8－2t)×2＋×(4－t)××(4－t)‎ ‎＝t2－6t＋16(0＜t＜4)；‎ ‎(2)存在．由四边形ANME的面积是▱ABCD面积的可得：‎ t2－6t＋16＝×8×2，‎ 整理得：t2－12t＋11＝0，‎ 解得t＝1或t＝11(舍去)，‎ 所以当t＝1s时，四边形ANME的面积是▱ABCD面积的；‎ ‎(3)如解图②，‎ 第4题解图②‎ 由(1)可知AE＝(4－t) cm，‎ ‎∴BE＝AB＋AE＝(8－t) cm.‎ ‎∵∠B＝60°，EN⊥BC，AG⊥BC，‎ ‎∴BN＝BE＝(4－t) cm，BG＝AB＝‎2 cm.‎ 又∵BN＝t，‎ ‎∴4－t＝t，解得t＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BN＝ cm，‎ ‎∴GN＝BN－BG＝ cm，‎ ‎∴AO＝ cm，NC＝BC-BN= cm.‎ 设PO＝x cm，则PN＝(2－x) cm.‎ ‎∵AO∥NC，‎ ‎∴△AOP∽△CNP，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得x＝，‎ ‎∴当EN⊥AD时，线段OP的长度为 cm.‎ ‎5．(1)证明：若运动时间t＝秒，‎ 则BE＝2×＝ cm，DF＝ cm，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD＝BC＝‎8 cm，AB＝DC＝‎6 cm，∠D＝∠BCD＝90°，‎ ‎∵FQ⊥BC，‎ ‎∴∠FQC＝∠D＝∠QCD＝90°，‎ ‎∴四边形CDFQ是矩形，‎ ‎∴CQ＝DF＝ cm，CD＝QF＝‎6 cm，‎ ‎∴EQ＝BC－BE－CQ＝8－－＝‎6 cm，‎ ‎∴EQ＝QF＝‎6 cm，‎ ‎∴△EQF是等腰直角三角形； ‎ ‎(2)解：∵∠FQC＝90°，∠B＝90°，‎ ‎∴∠FQC＝∠B，‎ ‎∴PQ∥AB，‎ ‎∴△CPQ∽△CAB，‎ ‎∴＝ ，即＝，‎ ‎∴PQ＝ t cm，‎ ‎∵BE=2t,‎ ‎∴EC=BC-BE=8-2t,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵S△EPC＝EC·PQ，‎ ‎∴y＝(8－2t)·t＝－t2＋3t＝－(t－2)2＋3(0＜t＜4).‎ ‎∵－＜0，‎ ‎∴当t＝2秒时，y有最大值，y的最大值为‎3 cm2；‎ ‎(3)解：分两种情况讨论：‎ ‎ (ⅰ)如解图①，点E在Q的左侧，‎ ‎①当△EPQ∽△ACD时， 第5题解图①‎ 可得＝，即＝，‎ 解得t＝2；‎ ‎②当△EPQ∽△CAD时， ‎ 可得＝，即＝，‎ 解得t＝； ‎ ‎(ⅱ)如解图②，点E在Q的右侧，‎ ‎∵0＜t＜4，‎ ‎∴点E不能与点C重合，‎ ‎∴只存在△EPQ∽△CAD，‎ 可得＝，即＝，‎ 解得t＝， 第5题解图②‎ 故若△EPQ与△ADC相似，则t的值为2秒或秒或秒．‎ ‎6．解：(1)如解图，过点C作CE⊥AB于点E，‎ ‎∵DC∥AB，DA⊥AB，CE⊥AB，‎ ‎∴四边形AECD是矩形，‎ ‎∴AE＝DC＝5，CE＝AD＝4， 第6题解图 ‎∴BE＝AB－AE＝8－5＝3，‎ ‎∴由勾股定理得：BC＝＝＝5，‎ ‎∴BC＜AB，‎ ‎∵当点P运动到点C时，P、Q同时停止运动，‎ ‎∴t＝＝5 s，‎ 即t＝5 s时，P、Q两点同时停止运动；‎ ‎(2)由题意知，AQ＝BP＝t，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴QB＝8－t.‎ 如解图，过点P作PF⊥QB于点F，则△BPF∽△BCE，‎ ‎∴＝ ，即＝，‎ ‎∴PF＝，‎ ‎∴S＝QB·PF＝×(8－t)×＝－＋ ‎＝－(t－4)2＋(0＜t≤5)．‎ ‎∵－＜0，‎ ‎∴当t＝4 s时，S有最大值，最大值为；‎ ‎(3)∵cosB＝＝，‎ ‎∴BF＝PB·cosB＝t·cosB＝，‎ ‎∴QF＝AB－AQ－BF＝8－，‎ ‎∴QP＝＝ ＝4 .‎ 当△PQB为等腰三角形时，分以下三种情况：‎ ‎①当PQ＝PB时，即4＝t，‎ 解得：＝，＝8，‎ ‎∵t2＝8＞5，不合题意，‎ ‎∴t＝；‎ ‎②当PQ＝BQ时，即4＝8－t，‎ 解得：＝0(舍去)，＝；‎ ‎③当QB＝BP时，即8－t＝t，‎ 解得t＝4；‎ 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，则t的值为 s或 s或4 s.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 类型二　线动型探究题 针对演练 ‎1. 如图，已知矩形ABCD，AB＝，BC＝3，在BC上取两点E，F(E在F左边)，以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H.‎ ‎(1)求△PEF的边长；‎ ‎(2)若△PEF的边EF在射线BC上移动，(点E的移动范围在B、C之间，不与B、C两点重合)，设BE＝x，PH＝y.‎ ‎①求y与x的函数关系式；‎ ‎②连接BG，设△BEG面积为S，求S与x的函数关系式，判断x为何值时S最大，并求最大值S.‎ 第1题图 ‎2. 已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝‎12 cm，BD＝‎16 cm，点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为‎1 cm/s；过点P作直线PF∥AD，PF交CD于点F，过点F作EF⊥BD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P的运动时间为t(s)(0＜t＜10)．‎ ‎(1)填空：AB＝________cm；‎ ‎(2)当t为何值时，PE∥BD；‎ ‎(3)设四边形APFE的面积为y(cm2)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎①求y与t之间的函数关系式；‎ ‎②若用S表示图形的面积，则是否存在某一时刻t，使得S四边形APFE＝S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ 第2题图 ‎3. (2014省卷25，9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝‎10 cm，AD＝‎8 cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒‎3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒‎2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于点E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．‎ ‎(1)当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；‎ ‎(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；‎ ‎(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎4. (2016镇江改编)如图①，在菱形ABCD中，AB＝6，tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t(秒)．将线段 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 CE绕点C顺时针旋转一个角 α(α＝∠BCD)，得到对应线段CF.‎ ‎(1)求证：BE＝DF；‎ ‎(2)如图②，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q.当t为何值时，△EPQ是直角三角形？‎ ‎(3)如图③，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．‎ 第4题图 ‎【答案】‎ ‎1．解：(1)如解图①，过点P作PQ⊥BC于点Q，‎ ‎∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴PQ＝AB＝，‎ ‎∵△PEF是等边三角形，‎ ‎∴∠PFQ＝60°，‎ 在Rt△PQF中，sin∠PFQ＝，‎ ‎∴PF＝÷＝2， 第1题解图①‎ ‎∴△PEF的边长为2；‎ ‎(2)①在Rt△ABC中，AB＝，BC＝3，‎ 由勾股定理得，AC＝2，‎ ‎∴∠ACB＝30°，‎ 又∵△PEF是等边三角形，‎ ‎∴∠PFE＝60°，‎ ‎∴∠FHC＝30°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴FH＝FC，‎ ‎∵HF＝2－PH＝2－y，‎ ‎∴FC＝2－y，‎ 又∵BE＋EF＋FC＝BC，‎ ‎∴x＋2＋2－y＝3，‎ 即y＝x＋1(0＜x＜3)；‎ ‎②如解图②，过点G作GM⊥BC于点M，‎ ‎∵△PEF为等边三角形，‎ ‎∴∠PEF＝60°，‎ ‎∵Rt△ABC中，AB＝，BC＝3， 第1题解图②‎ ‎∴∠ACB＝30°，‎ ‎∴∠EGC＝180°－30°－60°＝90°，‎ ‎∵BE＝x，‎ ‎∴EC＝3－x，‎ ‎∴EG＝，‎ ‎∵∠GEM＝60°，sin∠GEM＝，‎ ‎∴GM＝EG·sin60°＝×＝，‎ ‎∴S＝x× ‎＝－x2＋x＝－(x－)2＋，‎ ‎∵－＜0，‎ ‎∴当x＝时，S最大＝.‎ ‎2．解：(1)10；‎ ‎【解法提示】如解图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝‎12 cm，BD＝‎16 cm，‎ ‎∴ BO＝DO＝‎8 cm，AO＝CO＝‎6 cm，‎ ‎∴ AB＝＝‎10 cm.‎ ‎(2)∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，‎ 又∵PF∥AD，‎ ‎∴四边形APFD为平行四边形，‎ ‎∴DF＝AP＝t cm，‎ 又∵EF⊥BD于点Q，且∠ADB＝∠CDB，‎ ‎∴∠DEF＝∠DFE，‎ ‎∴DE＝DF＝t cm，‎ ‎∴AE＝(10－t) cm，‎ 当PE∥BD时，△APE∽△ABD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴t＝5，‎ ‎∴当t＝5 s时，PE∥BD；‎ ‎(3)①∵∠FDQ＝∠CDO，∠FQD＝∠COD＝90°，‎ ‎∴△DFQ∽△DCO，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴QF＝ cm，‎ ‎∴EF＝2QF＝ cm，‎ 同理，QD＝ cm，‎ 如解图，过点C作CG⊥AB于点G，‎ ‎∵S菱形ABCD＝AB·CG＝AC·BD，‎ 即10CG＝×12×16， 第2题解图 ‎∴CG＝ cm，‎ ‎∴S▱APFD＝DF·CG＝t cm2，‎ ‎∴S△EFD＝EF·QD＝××＝t‎2 cm2，‎ ‎∴y＝t－t2.‎ ‎②存在．‎ 当S四边形APFE＝S菱形ABCD时，则 t－t2＝×12×16×，‎ 整理得，t2－20t＋64＝0，‎ 解得t1＝4，t2＝16＞10(舍去)，‎ ‎∴当t＝4s时，S四边形APFE＝S菱形ABCD.‎ ‎3．(1)证明：如解图①，连接DE，DF，‎ 当t＝2时，DH＝AH＝4，则H为AD的中点，‎ ‎∵EF⊥AD，‎ ‎∴EF为AD的垂直平分线，‎ ‎∴AE＝DE，AF＝DF.‎ ‎∵AB＝AC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠B＝∠C，‎ 又∵AD⊥BC，‎ ‎∴EF∥BC，‎ ‎∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，‎ ‎∴∠AEF＝∠AFE，‎ ‎∴AE＝AF，‎ ‎∴AE＝AF＝DE＝DF，‎ ‎∴四边形AEDF为菱形；‎ 第3题解图 ‎ (2)解：如解图②，连接PE，PF，由(1)知EF∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△ABC，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得EF＝10－t，‎ ‎∴S△PEF＝EF·DH＝(10－t)·2t＝－t2＋10t ‎＝－(t－2)2＋10(0＜t≤)，‎ ‎∴当t＝2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为‎10 cm2，‎ 此时BP＝3t＝‎6 cm；‎ ‎(3)解：存在．‎ ‎(ⅰ)若点E为直角顶点，如解图③，连接PE，PF，‎ 此时PE∥AD，PE＝DH＝2t，BP＝3t.‎ ‎∵PE∥AD，‎ ‎∴△BEP∽△BAD，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 此比例式不成立，故此种情形不存在；‎ 第3题解图 ‎ (ⅱ)若点F为直角顶点，如解图④，连接PE，PF，‎ 此时PF∥AD，PF＝DH＝2t，BP＝3t，CP＝10－3t.‎ ‎∵PF∥AD，‎ ‎∴△CFP∽△CAD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴＝，即＝，‎ 解得t＝；‎ ‎(ⅲ)若点P为直角顶点，如解图⑤，连接PE，PF，过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM＝FN＝DH＝2t，EM∥FN∥AD.‎ ‎∵EM∥AD，‎ ‎∴△BEM∽△BAD，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得BM＝t，‎ ‎∴PM＝BP－BM＝3t－t＝t.‎ 在Rt△EMP中，由勾股定理得，‎ ‎＝(2t)2＋(t)2＝t2.‎ ‎∵FN∥AD，‎ ‎∴△CFN∽△CAD，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得CN＝t，‎ ‎∴PN＝BC－BP－CN＝10－3t－t＝10－t.‎ 在Rt△FNP中，由勾股定理得，‎ ‎＝(2t)2＋(10－t)2＝t2－85t＋100.‎ 又∵EF＝MN＝BC－BM－CN＝10－t，‎ 在Rt△PEF中，由勾股定理得，，‎ 即(10－t)2＝t2＋(t2－85t＋100)，‎ 化简得183t2－280t＝0，‎ 解得t＝或t＝0(舍去)，‎ ‎∴t＝.‎ 综上所述，当t＝秒或t＝秒时，△PEF为直角三角形．(9分)‎ ‎4．(1)证明：∵∠ECF＝∠BCD＝α，‎ ‎∴∠ECF－∠ECD＝∠BCD－∠ECD，‎ 即∠DCF＝∠BCE.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴DC＝BC，‎ 在△DCF与△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DCF≌△BCE(SAS)，‎ ‎∴BE＝DF；‎ ‎(2)解：∵CE＝CF，‎ ‎∴∠CEQ