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题型五 圆的综合题
针对演练
1. 如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝，延长OE到点F，使EF＝2OE.
(1)求证：∠BOE＝∠ACB;
(2)求⊙O的半径；
(3)求证：BF是⊙O的切线．
第1题图
2. 如图，AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，连接AC、 BC，分别与⊙O相交于点D、点E，且，过点D作DF⊥BC于点F，连接BD、DE、AE.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)试判断△DEC的形状，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为5，AC＝12，求sin∠EAB的值．
第2题图
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3. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.
(1)求∠CDE的度数；
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．
第3题图
4. (2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.
(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;
(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．
第4题图
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5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
第5题图
6. (2015省卷24，9分)⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.
(1)如图①，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
(2)如图②，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
(3)如图③，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.
第6题图
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7. (2017原创)如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E为的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G.
(1)求证：AB＝AG；
(2)若DG＝DE，求证：GB2＝GC·GA；
(3)在(2)的条件下，若tanD＝，EG＝，求⊙O的半径．
第7题图
8. (2015达州)在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上一点，且，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E.
(1)判断DB与DA的数量关系，并说明理由；
(2)求证：△BCD≌△AFD；
(3)若∠ACM＝120°，⊙O的半径为5，DC＝6，求DE的长．
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第8题图
9. 如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为点D.
(1)求证：△ACD∽△ABC；
(2)求证：∠PCA＝∠ABC；
(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CG于点F，连接BE，若sinP＝，CF＝5，求BE的长．
第9题图
10. (2016大庆9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH.
(1)求证：MH为⊙O的切线；
(2)若MH＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半径；
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(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
第10题图
11. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G.
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：AG2＝AF·AB；
(3)若⊙O的直径为10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面积．
第11题图
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12. (2016鄂州10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值；
(3)在(2)的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
第12题图
【答案】
1．(1)证明：如解图，连接OA，
第1题解图
∵CE⊥AB，
∴AD＝BD＝2，，
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∴∠ACE＝∠BCE，∠AOE＝∠BOE，
又∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠BOE＝∠ACB；
(2)解：∵cos∠ACB＝，
∴cos∠BOD＝，
在Rt△BOD中，设OD＝x，则OB＝3x，
∵OD2＋BD2＝OB2，
∴x2＋22＝(3x)2，解得x＝，
∴OB＝3x＝，
即⊙O的半径为；
(3)证明：∵FE＝2OE，
∴OF＝3OE＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵∠BOF＝∠DOB，
∴△OBF∽△ODB，
∴∠OBF＝∠ODB＝90°，即OB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线．
2．(1)证明：如解图，连接DO，交AE于点G，则DO＝BO，
第2题解图
∴∠ABD＝∠ODB，
∵，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴DO∥BC，
∴∠ODF＝∠CFD，
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∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：△DEC是等腰三角形，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
又∵BD＝BD，∠ABD＝∠EBD，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，
∴AD＝CD.
∵，
∴AD＝DE，
∴CD＝DE，
∴△DEC是等腰三角形；
(3)解：由(2)可知AD＝AC＝6，
∵，
∴OD⊥AE，∠ABD＝∠DAE，
∴sin∠DAE＝.
在Rt△ADB中，sin∠ABD＝＝，
∴＝，
∴DG＝3.6，
∴OG＝OD－DG＝1.4，
∴在Rt△AGO中，sin∠EAB＝＝＝.
3．(1)解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝90°；………………………………………………(2分)
第3题解图
(2)证明：如解图，连接OD，
∵∠CDE＝90°，F为CE中点，
∴DF＝CE＝CF，
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∴∠FDC＝∠FCD.
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，
∴∠ODF＝∠OCF，
∵EC⊥AC，
∴∠OCF＝90°，
∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；…………………………………………(5分)
(3)解：在△ACD与△ECA中，
∵∠ADC＝∠ACE＝90°，∠EAC＝∠CAD，
∴△ACD∽△AEC，
∴＝
∴AC2＝AD·AE，
又∵AC＝2DE，
∴20DE2＝(AE－DE)·AE
∴AE＝5DE，
∴AD＝4DE，
∵在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，
∴CD＝2DE，
又∵在⊙O中，∠ABD＝∠ACD，
∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2. …………………………(9分)
4．(1)解：直线l与⊙O相切．理由如下：
如解图，连接OE、OB、OC.
第4题解图
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴，
∴∠BOE＝∠COE，
又∵OB＝OC，
∴OE⊥BC，
∵l∥BC，
∴OE⊥l，
又∵OE为⊙O的半径，
∴直线l与⊙O相切；…………………………………………(3分)
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(2)证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE，
∴∠CBE＋∠CBF＝∠BAE＋∠ABF.
又∵∠EBF＝∠CBE＋∠CBF，∠EFB＝∠BAE＋∠ABF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴BE＝EF；……………………………………………………(6分)
(3)解：∵BE＝EF，DE＝4，DF＝3，
∴BE＝EF＝DE＋DF＝7，
∵，
∴∠DBE＝∠BAE，
∵∠DEB＝∠BEA，
∴△BED∽△AEB，
∴＝，即＝，
解得AE＝，…………………………………………………(9分)
∴AF＝AE－EF＝－7＝.………………………………(10分)
5．(1)证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝CE；
(2)解：四边形BFCD是菱形．理由如下：
∵AD是⊙O的直径，AB＝AC，
∴AD⊥BC，BE＝CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中，
，
∴△BED≌△CEF(ASA)，
∴BD＝CF，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
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∴四边形BFCD是菱形；
(3)解：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，BE＝CE，
∴∠ECD＝∠CAE，
∵∠AEC＝∠DEC＝90°，
∴Rt△CDE∽Rt△ACE，
∴＝，
∴CE2＝DE·AE，
设DE＝x，则AE＝AD－DE＝10－x，
∵BC＝8，
∴CE＝BC＝4，
∴42＝x(10－x)，解得x＝2或x＝8(舍去)，
在Rt△CED中，
CD＝＝＝2.
6．(1)解：∵点P为的中点，PG为⊙O的直径，
∴BP＝PC，PG⊥BC，CD＝BD，
∴∠ODB＝90°，
∵D为OP的中点，
∴OD＝OP＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝60°；………………………………………………(3分)
(2)证明：由(1)知，CD＝BD，
在△PDB和△KDC中，
，
∴△PDB≌△KDC(SAS)，
∴BP＝CK，∠BPO＝∠CKD，
∵∠AOG＝∠BOP，
∴AG＝BP，
∴AG＝CK，
∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠BPO，
又∵∠G＝∠OBP，
∴∠G＝∠BPO＝∠CKD，
∴AG∥CK，
∴四边形AGKC是平行四边形；……………………………(6分)
(3)证明：∵CE＝PE，CD＝BD，
∴DE∥PB，即DH∥PB，
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∵∠G＝∠BPO，
∴PB∥AG，∴DH∥AG，
∴∠OAG＝∠OHD，∠G＝∠ODH.
∵OA＝OG，∴∠OAG＝∠G，
∴∠ODH＝∠OHD，∴OD＝OH，
在△OBD和△OPH中，
，
∴△OBD≌△OPH(SAS)，
∴∠OHP＝∠ODB＝90°，
∴PH⊥AB. ……………………………………………………(9分)
7．(1)证明：如解图，连接OB，
第7题解图
∵AB为⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABG＋∠OBG＝90°，
∵点E为的中点，
∴OE⊥CD，
∴∠OEG＋∠FGE＝90°，
又∵OB＝OE，
∴∠OBG＝∠OEG，
∴∠ABG＝∠FGE，
∵∠BGA＝∠FGE，
∴∠ABG＝∠BGA，
∴AB＝AG；
(2)证明：如解图，连接BC，
∵DG＝DE，
∴∠DGE＝∠DEG，
由(1)得∠ABG＝∠BGA，
又∵∠BGA＝∠DGE，
∴∠A＝∠GDE，
∵∠GBC＝∠GDE，
∴∠GBC＝∠A，
∵∠BGC＝∠AGB，
∴△GBC∽△GAB，
∴＝，
∴GB2＝GC·GA；
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(3)解：如解图，连接OD，
∵在Rt△DEF中，tan∠EDF＝＝，
∴设EF＝3x，则DF＝4x，由勾股定理得DE＝5x，
∵DG＝DE，
∴DG＝5x，
∴GF＝DG－DF＝x.
在Rt△EFG中，由勾股定理得GF2＋EF2＝EG2，
即x2＋(3x)2＝()2，解得x＝1，
设⊙O半径为r，在Rt△ODF中，OD＝r，OF＝r－3，DF＝4，
由勾股定理得OF2＋FD2＝OD2，即(r－3)2＋42＝r2，
解得r＝，
∴⊙O的半径为.
8．(1)解：DB＝DA.
理由如下：∵CD平分∠ACM，
∴∠MCD＝∠ACD，
∵∠ACD和∠ABD都是所对的圆周角，
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠MCD＝∠ABD，
又∵∠MCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴DB＝DA；
(2)证明：如解图，连接AF，
第8题解图
∵AD＝BD，
∴，
∵，
∴，
∴AF＝BC，DF＝DC，
在△BCD和△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD(SSS)；
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(3)解：∵∠ACM＝120°，
∴∠MCD＝∠ACD＝60°，
∴∠ABD＝∠BAD＝∠BDA＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
如解图，连接DO并延长与AB交于点G，则∠ADO＝30°，
过点O作OH⊥AD于点H，则AD＝2DH＝2OD·cos30°＝5，
∵∠ADF＋∠DAF＝∠AFE＝∠ACD＝60°，∠ADE＋∠E＝∠BAD＝60°，
∴∠DAF＝∠E，
∵∠ADF＝∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴＝，
∴DE＝，
∵DF＝DC＝6，DA＝5，
∴DE＝.
9．(1)证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CG⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC；
(2)证明：如解图，连接OC.
第9题解图
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠PCA＋∠OCA＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＋∠OAC＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠PCA＝∠ABC；
(3)解：∵AE∥PC，
∴∠PCA＝∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴，
∴∠ABC＝∠ACF，
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∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠CAF＝∠ABC，
∴∠ACF＝∠CAF，
∴FA＝FC，
∵CF＝5，
∴AF＝5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD＝∠P，
∵sinP＝，
∴sin∠FAD＝，
∴FD＝3，AD＝4，CD＝8，
在Rt△COD中，设CO＝r，则有r2＝(r－4)2＋82，
∴r＝10，
∴AB＝2r＝20，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴sin∠EAB＝，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝12.
10．(1)证明：如解图①，连接OM、CM，
第10题解图①
∵BC为⊙O的直径，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
∵H是AC的中点，
∴HC＝HM＝AC，
∴∠HMC＝∠HCM，
∵OM＝OC，
∴∠OMC＝∠OCM，
∴∠OMH＝∠OCH，
∵∠ACB＝90°＝∠OCH，
∴∠OMH＝90°，即OM⊥MH，
又∵OM为⊙O的半径，
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∴MH为⊙O的切线；…………………………………………(3分)
(2)解：∵MH＝，
∴AC＝2MH＝3，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，
∴BC＝4，
故⊙O的半径为2；……………………………………………(5分)
(3)解：如解图②，过点D作DP⊥AC于点P，连接ON，
第10题解图②
则DP＝BC＝4，BD＝PC，
设DB＝DN＝x，则AP＝3－x，
∵AN＝AC＝3，
∴AD＝x＋3.
在Rt△ADP中，由勾股定理得，
(x＋3)2－(3－x)2＝42，
解得x＝，
∴DN＝BD＝，AD＝，
∵QN⊥BC，AC⊥BC，BD⊥BC，
∴AC∥NQ∥DB，
∴＝，即＝，
∴BE＝，
∴OE＝OB－BE＝，
∴EN＝＝，
∴NQ＝2EN＝.……………………………………………(9分)
11．(1)解：直线PA与⊙O相切．理由如下：
∵AD为⊙O的直径， CG⊥AD ，
∴AD垂直且平分CG，
∴AC＝AG，
∴∠ACG＝∠AGC，
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∵∠AGC＝∠B，∠PAC＝∠B，
∴∠PAC＝∠ACG，
∴PA∥CG，
∵CG⊥AD，
∴PA⊥AD，
又∵AD为⊙O的直径
∴直线PA是⊙O的切线；
【一题多解】如解图①，连接DC，
第11题解图①
则∠B＝∠ADC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC＋∠DAC＝90°.
又∵∠PAC＝∠B，
∴∠ADC＝∠PAC，
∴∠PAC＋∠DAC＝90°，即DA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
(2)证明：由垂径定理得，
∴∠ACG＝∠B，
∵∠CAB＝∠FAC，
∴△ABC∽△ACF，
∴＝，
∴AC2＝AF·AB，
又∵AC＝AG，
∴AG2＝AF·AB；
【一题多解】此题还可以通过连接BG，证明△GAB∽△FAG，从而证得AG2＝AF·AB.
(3)解：由(2)得AG2＝AF·AB，
∵AG＝AC＝2，AB＝4，
∴(2)2＝4AF，
∴AF＝，
如解图②，连接BD，则∠ABD＝90°，
第11题解图②
由勾股定理得BD＝＝＝2，
∵∠AEF＝∠ABD＝90°，∠EAF＝∠BAD，
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∴△AEF∽△ABD，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝2，EF＝1，
在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2＝AC2－AE2，
∴CE＝ ＝4，
∵CE＝EG，
∴EG＝4，
∴FG＝EG－EF＝ 4－1＝3，
∴.
12．(1)证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F，
第12题解图
∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，垂足为点F，
∴OF＝OC，即OF为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；…………………………………………(3分)
(2)解：如解图，过点D作DP⊥AC交AC延长线于点P，
∵∠ACB＝90°，DP⊥AC，
∴CO∥DP，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠CDP，
∵tan∠CDO＝，
∴tan∠OCD＝.
连接DQ，设DQ＝a，则CD＝2a，CQ＝a，
∴CO＝OD＝OE＝，
在Rt△CPD中，设CP＝b，则DP＝2b，CD＝b，
∴b＝a，则PC＝a ，PD＝a，
∵CO∥DP，∴△ACO∽△APD，
∴＝＝，即＝＝，
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解得AC＝a，AO＝a，
∴AE＝AO－OE＝a－＝a，
∴＝＝；……………………………………………(7分)
(3)解：由(2)知＝，
设AE＝c，则AC＝2c，
在Rt△ACO中，(2c)2＋32＝(c＋3)2，
解得c＝2，
∴AF＝AC＝2c＝4，
在△BFO和△BCA中，
，∴△BFO∽△BCA，
∴＝＝，
设BF＝x，BO＝y，
∴＝＝ ，解得：x＝，y＝，
∴AB＝AF＋BF＝4＋＝. ……………………………(10分)
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