广东省2017中考数学第二部分题型研究题型三规律探索题试题20170122392.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 题型三　规律探索题 类型一 数式规律 ‎ 针对演练 ‎1. (2016新疆)如图，下面每个图形中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为________．‎ 第1题图 ‎2. (2016绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫三角数，它有一定的规律．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝________．‎ ‎3. (2016济宁)按一定规律排列的一列数：，1，1，，，，，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．‎ ‎4. (2016郴州)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字是________．‎ ‎5. (2016百色)观察下列各式的规律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；…；可得到(a－b)(a2016＋a2015b＋…＋ab2015＋b2016)＝________．‎ ‎6. 请观察下列等式的规律：＝(1－)，＝(－)，＝(－)，＝(－)，…，则＋＋＋…＋＝________．‎ ‎7. (2016滨州)观察下列式子：‎ ‎1×3＋1＝22；‎ ‎7×9＋1＝82；‎ ‎25×27＋1＝262；‎ ‎79×81＋1＝802；‎ ‎…‎ 可猜想第2016个式子为______________．‎ ‎8. (2016黄石)观察下列等式：‎ 第1个等式： a1＝＝－1，第2个等式a2＝＝－，‎ 第3个等式：a3＝＝2－，第4个等式：a4＝＝－2，‎ 按上述规律，回答以下问题：‎ ‎(1)请写出第n个等式：an＝__________________； ‎ ‎(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝__________．‎ ‎9. (2011省卷20，9分)如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)表中第8行的最后一个数是________，它是自然数________的平方，第8行共有________个数；‎ ‎(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是________，最后一个数是________，第n行共有________个数；‎ ‎(3)求第n行各数之和．‎ ‎【答案】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1．370　【解析】观察可得，第n个图形的数字为：‎ n ‎2n－1‎ ‎2n ‎2n(2n－1)－n 当2n＝20时，n＝10，∴x＝2n(2n－1)－n＝20×(20－1)－10＝370.‎ ‎2．160000　【解析】由a1＋a2＝4＝22，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，a5＋a6＝15＋21＝36＝62，…，依此类推可得an＋an＋1＝(n＋1)2，∴a399＋a400＝4002＝160000.‎ ‎3．1　【解析】将原来的一列数变形为，，，□，，，，观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填，故答案为1.‎ ‎4．1　【解析】从前几个3的幂来看，它的个位数依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数相同，于是3的整数次幂的个位数是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是32016的个位数与34的个位数相同，即为1.‎ ‎5．a2017－b2017　【解析】由题可知，(a－b)(a＋b)＝a2－b2，(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，…，∴(a－b)(an＋an－1b＋an－2b2＋…＋a2bn－2＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1, ∴当n＝2016时，(a－b)(a2016＋a2015b＋…＋ab2015＋b2016)＝a2017－b2017.‎ ‎6.　【解析】原式＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.‎ ‎7．(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2　【解析】第①个式子转化为：(31－2)×31＋1＝(31－1)2，第②个式子转化为： (32－2)×32＋1＝(32－1)2，第③个式子转化为： (33－2)×33＋1＝(33－1)2，第④个式子转化为： (34－2)×34＋1＝(34－1)2，…，由以上规律可得，第n个式子为： (3n－2)×3n＋1＝(3n－1)2，当n＝2016时，第2016个式子为：(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2.‎ ‎8．(1)＝－；(2)－1　【解析】(1)a1＝＝－1，a2＝＝－，a3＝＝－，…，an＝＝－；(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－1)＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.‎ ‎9．解：(1)64，8，15；‎ ‎【解法提示】仔细观察第一行最后一个数是1＝12，且共有1个数；第二行最后一个数是4＝22，且共有3个数，第三行最后一个数是9＝32，且共有5个数，以此类推，可知第n行最后一个数可以表示为n2，且共有(2n－1)个数，所以第8行最后一个数是82＝64，共有2×8－1＝15个数；‎ ‎(2)n2－2n＋2，n2，2n－1；‎ ‎【解法提示】由(1)中的分析得知第n行的第一个数是(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，最后一个数是n2，第n行共有(2n－1)个数；‎ (3) 第n行各数之和为：×(2n－1)＝(n2－n＋1)(2n－1)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 类型二　图形规律 针对演练 一、 图形累加规律探索 ‎1. (2016荆州)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案．若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为(　　)‎ 第1题图 A. 671 B. 672 C. 673 D. 674‎ ‎2. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为 (　　)‎ 第2题图 A. 21 B. 24 C. 27 D. 30‎ ‎3. (2016重庆B卷)观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第3题图 A. 43 B. 45 C. 51 D. 53‎ ‎4. (2015曲靖)用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”，依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒________根．‎ 第4题图 ‎5. (2015深圳)观察下列图形，它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第五个图有________个太阳．‎ 第5题图 ‎6. (2016安顺)观察下列砌钢管的横截面图：‎ 第6题图 则第n个图的钢管数是__________(用含n的式子表示)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】‎ ‎1．B　【解析】对于每个图中的白色纸片的个数，依次是4，7＝4＋3，10＝4＋3×2，…，那么，第n个图中的白色纸片的个数为4＋3×(n－1)＝3n＋1，令3n＋1＝2017，解得n＝672.‎ ‎2．B　【解析】第①个图形有6个小圆圈，第②个图形有6＋3＝9个小圆圈，第③个图形有6＋3×2＝12个小圆圈，…，按照这个规律，第个图形有6＋3(n－1)＝3n＋3个小圆圈，故第⑦个图形一共有3×7＋3＝24个小圆圈．‎ ‎3．C　【解析】图形①中星星的颗数为：2＝1＋(2×1－1)，图形②中星星的颗数为：6＝(1＋2)＋(2×2－1)，图形③中星星的颗数为：11＝(1＋2＋3)＋(2×3－1)，图形④中星星的颗数为：17＝(1＋2＋3＋4)＋(2×4－1)，…，图形中星星的颗数为：(1＋2＋…＋n)＋(2n－1)＝＋2n－1，所以图形⑧中星星的颗数为：＋2×8－1＝51.‎ ‎4．29　【解析】‎ 图形序号 火柴棒数量 图形序号与火柴棒数量的关系 ‎1‎ ‎5根 ‎3×1＋2＝5‎ ‎2‎ ‎8根 ‎3×2＋2＝8‎ ‎3‎ ‎11根 ‎3×3＋2＝11‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ n ‎(3n＋2)根 ‎3×n＋2＝3n＋2‎ ‎∴第9个“H”所需的火柴棒的数量为3×9＋2＝29根．‎ ‎5．21　【解析】∵所有图形中，第一行太阳的个数分别为1，2，3，4，…，n，∴第五个图形第一行太阳的个数为5，∵所有图形中，第二行太阳的个数分别为1，2，4，8，…，2n－1，∴第五个图形第二行太阳的个数为24＝16个太阳，∴第五个图形共有5＋16＝21个太阳．‎ ‎6.n2＋n　【解析】‎ n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ n 钢管数 ‎3‎ ‎9‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎…‎ ‎…‎ 规律 ‎…‎ 由表可知，第n个图的钢管数是＝n2＋n.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、 图形成倍递变规律探索 ‎1. (2016六盘水)如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，若∠A＝70°，则∠An的度数为(　　)‎ A. B. C. D. 第1题图 ‎　　　　　‎ 第2题图 ‎2. (2016内江)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是(　　)‎ A. ()2015 B. ()2016 C. ()2016 D. ()2015‎ ‎3. (2016南平)如图，已知直线l：y＝2x，分别过x轴上的点A1(1，0)、A2(2，0)、…、An(n，0)，作垂直于x轴的直线交l于点B1、B2、…、Bn，将△OA1B1、四边形A1A2B2B1、…、四边形An－1AnBnBn－1的面积依次记为S1、S2、…、Sn，则Sn＝(　　)‎ A. n2 B. 2n＋1 C. 2n D. 2n－1‎ 第3题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第4题图 ‎4. (2016威海)如图，点A1的坐标为(1，0)，A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为________．‎ ‎5. (2016钦州)如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3，F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．‎ 第5题图 ‎【答案】‎ ‎1．C　【解析】在∵△ABA1中，AB＝A1B，∴∠A＝∠BA1A，∵A1A2＝A1B1，∴∠B1A2A1＝∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 BA1A，同理，∠B2A3A2＝∠B1A2A1＝∠BA1A，∴∠An＝∠BA1A＝.‎ ‎2．D　【解析】易得△B2C2E2∽△C1D1E1，∴＝＝＝＝tan30°，∴B2C2＝C1D1·tan30°＝，∴C2D2＝，同理，B3C3＝C2D2·tan30°＝()2，由此猜想BnCn＝()n－1，∴当n＝2016时，B2016C2016＝()2015，故选D.‎ ‎3．D　【解析】由题意可知，△OA1B1∽△OA2B2∽△OA3B3∽…∽△OAnBn且相似比为1∶2∶3∶…∶n，∴其面积比为1∶4∶9∶…∶n2，∴S1∶S2∶S3∶…∶Sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，∵A1(1，0)，过点A1作垂直于x轴的直线交l：y＝2x于点B1，∴OA1＝1，A1B1＝2，∴S△OA1B1＝1，∴Sn＝2n－1.‎ ‎4．－31007　【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，)，∵A2A3⊥A1A2 ，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°， ∴A3(－3，0)，同理，A4(0，－3)，A5(9，0)，A6(0，9)，A7(－27，0)，A8(0，－27)，…，即，A2(0，)，A4(0，－3)，A6(0，9)，A8(0，－27)，列表如下：‎ A2‎ ×(－3)0‎ ‎…‎ ‎(2－2)÷2＝0‎ A4‎ ×(－3)1‎ ‎…‎ ‎(4－2)÷2＝1‎ A6‎ ×(－3)2‎ ‎…‎ ‎(6－2)÷2＝2‎ A8‎ ×(－3)3‎ ‎…‎ ‎(8－2)÷2＝3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ An ×(－3)(－1)‎ ‎…‎ ‎(n－2)÷2＝－1‎ ‎∴An＝×，∵2016÷2－1＝1007，∴A2016的纵坐标是 ‎-31007.‎ ‎5．3n－1　【解析】由题意可知，∠MON＝60°，设点Bn到ON的距离为hn，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×＝，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×＝3，同理可求，OB3＝18，则h3＝18×＝9，…，依此可得，OBn＝2×3n－1，则hn＝2×3n－1×＝3n－1，∴点Bn到ON的距离为3n－1.‎ 一、 图形循环规律探索 ‎1. (2016河南)如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(　　)‎ A. (1，－1) B. (－1，－1) C. (，0) D. (0，－)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第1题图 ‎　　　　　‎ 第2题图 ‎2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2016个梅花图案中，共有________个“”图案．‎ ‎3. 如图，正五边形五个顶点标有数字1、2、3、4、5，一只青蛙在五个顶点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点；若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳后落在标有数字1的顶点上，…，则第2017次跳后所停的顶点对应的数字为__________．‎ 第3题图 ‎4. (2016三明)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P60的坐标是________．‎ 第4题图 第5题图 ‎5. (2016聊城)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．‎ ‎【答案】‎ ‎1．B　【解析】∵菱形OABC的顶点坐标为O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点D就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．‎ ‎2．504　【解析】观察图形可知，“”图案方向依次向下、向左、向上、向右，每四个为一个循环周期．∵2016÷4＝504，∴前2016个梅花图案中，有504个“”图案．‎ ‎3．2　【解析】由5起跳，5是奇数，沿顺时针下一次能跳2个点，落在2上．由2起跳，2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上，1是奇数，沿顺时针跳两个点，落在3上．由3起跳，是奇数，沿顺时针跳两个点，落在5上.2－1－3－5－2，周期为4，∵又由2017＝4×504＋1，∴经过2017次跳后它停在的点所对应的数为2.‎ ‎4．(20，0)　【解析】将点P的横纵坐标分开来看，Pn的横坐标始终在变化且逐渐增大，而Pn的纵坐标变化呈周期变化，即1，1，0，－1，－1，0，所以每6个点P的纵坐标为一个循环，显然60÷6＝10，恰好能够整除，所以点P60的纵坐标为0，即在x轴上，显然P6，P12，P18，…，这些点的横坐标为：2，4，6，…，所以点P6k的纵坐标为2k，∴点P60的横坐标为20，∴点P60的坐标为(20，0)．‎ ‎5．(21008，0)　【解析】∵点B的位置依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴，…，每8次一循环，2016÷8＝252，∴点B2016落在x轴正半轴，故B2016的纵坐标是0；OBn是正方形的对角线，OB1＝，OB2＝2＝()2，OB3＝2＝()3，…，∴OB2016＝()2016＝21008，∴点B2016的坐标为(21008，0)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费