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21.3 实际问题与一元二次方程
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共 12 小题）
1．某企业 2018 年初获利润 300 万元，到 2020 年初计划利润达到 507 万元．设这两年的年
利润平均增长率为 x．应列方程是（ ）
A．300（1+x）=507 B．300（1+x）2=507
C．300（1+x）+300（1+x）2=507 D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507
2．某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市 2017 年“竹文化”旅
游收入约为 2 亿元．预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、
2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
3．如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然
后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，求剪去的
小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×
6﹣4x2=32
4．某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的
年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
5．宾馆有 50 间房供游客居住，当毎间房毎天定价为 180 元时，宾馆会住满；当毎间房毎天
的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支
出 20 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为 10890 元？设房价定为 x 元．则
有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣ ）=10890 B．（x﹣20）（50﹣ ）=10890
C．x（50﹣ ）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣ ）﹣50×20=108902
6．某汽车生产商新推出一款新型电动低能耗汽车，由于该型号汽车经济适用性强，销量快
速增长，1 月份该型号汽车的销量为 2000 辆，3 月份该型号汽车的销量达 4500 辆．设该型
号汽车销量的月平均增长率为 x，则根据题意可列方程为（ ）
A．2000（1+x）2=4500 B．2000（1+2x）=4500
C．2000（1﹣x）2=4500 D．2000x2=4500
7．云南省某市 2018 年现有森林和人工绿化面积为 20 万亩，为了响应十九大的“绿水青山
就是金山银山”，现计划在两年后将本市的绿化面积提高到 24.2 万亩，设每年平均增长率
为 x，则列方程为（ ）
A．20（1+x）×2=24.2 B．20（1+x）2=24.2×2
C．20+20（1+x）+20（1+x）2=24.2 D．20（1+x）2=24.2
8．如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下
的部分种上草坪．要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽． 如果设小路宽为 x，根据题意，
所列方程正确的是（ ）
A．（20﹣x）（32﹣x）=540 B．（20﹣x）（32﹣x）=100 C．（20+x）（32﹣x）=540
D．（20+x）（32﹣x）=100
9．如图，某小区规划在一个长 16m，宽 9m 的矩形场地 ABCD 上，修建同样宽的小路，使其
中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为 112m2，设小路
宽为 xm，那么 x 满足的方程是（ ）
A．2x2﹣25x+16=0 B．x2﹣25x+32=0 C．x2﹣17x+16=0 D．x2﹣17x﹣16=0
10．某厂一月份生产产品 50 台，计划二、三月份共生产产品 120 台，设二、三月份平均每
月增长率为 x，根据题意，可列出方程为（ ）
A．50（1+x）2=60 B．50（1+x）2=1203
C．50+50（1+x）+50（1+x）2=120 D．50（1+x）+50（1+x）2=120
11．近年来某市不断加大对城市绿化的经济收入，使全市绿地面积不断增加，从 2015 年底
到 2017 年底的城市绿化面积变化如图所示，则这两年绿地面积的年平均增长率是（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
12．用总长 10m 的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上
部是两个全等的正方形，窗框的总面积为 3.52m2（材料的厚度忽略不计）．若设小正方形
的边长为 xm，下列方程符合题意的是（ ）
A．2x（10﹣7x）=3.52 B．
C． D．2x2+2x（10﹣9x）=3.52
二．填空题（共 6 小题）
13．为应对金融危机，某工厂从 2008 年到 2010 年把某种产品的成本下降了 19%，则平均每
年下降的百分数为 ．
14．某商品的原价为 120 元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是 m，那么该商品
现在的价格是 元（结果用含 m 的代数式表示）．
15．某药品原价每盒 25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，
现在售价每盒 16 元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
16．某商品原售价为 100 元，经连续两次涨价后售价为 121 元，设平均每次涨价的百分率为4
x，则依题意所列的方程是 ．
17．某县 2015 年农民人均年收入为 10000 元，计划到 2017 年，农民人均年收入达到 12 100
元．设人均年收入的平均增长率为 x，则可列方程 ．
18．如图，某小区有一块长为 36m，宽为 24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形
绿地，它们的面积之和为 600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道
的宽度为 m．
三．解答题（共 8 小题）
19．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技
设备，每台设备成本价为 30 万元，经过市场调研发现，每台售价为 40 万元时，年销售量为
600 台；每台售价为 45 万元时，年销售量为 550 台．假定该设备的年销售量 y（单位：台）
和销售单价 x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 70 万元，如果该公司想获得 10000 万元的
年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
20．在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建
设．该县政府计划：2018 年前 5 个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计 50 个，且沼气池
的个数不低于垃圾集中处理点个数的 4 倍．
（1）按计划，2018 年前 5 个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到 2018 年 5 月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金 78 万元，且修建的沼
气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前 5 个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的
平均费用之比为 1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后 7 个月，
在前 5 个月花费资金的基础上增加投入 10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经
测算：从今年 6 月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在 2018 年前 5 个月的
基础上分别增加 a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在 2018 年前 5 个月的5
基础上分别增加 5a%，8a%，求 a 的值．
21．某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工
厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下
称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完
工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算．第一年有 40 家
工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求 n 的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年
来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个相
同的数值 a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因
甲方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5．求第一年用甲方案治
理降低的 Q 值及 a 的值．
22．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．
（1）原计划今年 1 至 5 月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米，其中道路硬化的
里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍，那么，原计划今年 1 至 5 月，道路硬化的里程数至
少是多少千米？6
（2）到今年 5 月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程
数正好是原计划的最小值．2017 年通过政府投人 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的
里程数共 45 千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 1：2，且里程数之比为 2：
1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年 6 月起至年底，如果政府投
入经费在 2017 年的基础上增加 10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米
道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加 a%，5a%，那么道路硬化和道路
拓宽的里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a%，8a%，求 a 的值．
23．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为 10 元/千克，已知销售价不低
于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 18 元/千克，市场调查发现，该产品每
天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润=销售价﹣
成本价）
24．无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 250 元，每桶水的进价7
是 5 元，规定销售单价不得高于 12 元/桶，也不得低于 7 元/桶，调查发现日均销售量 p（桶）
与销售单价 x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量 p（桶）与销售单价 x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利 1350 元，那么销售单价是多少？
25．2017 年 5 月 14 日﹣﹣﹣5 月 15 日．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京成功举办，
高峰论坛期间及前夕，各国政府、地方、企业等达成一系列合作共识、重要举措及务实成
果．中方对其中具有代表性的一些成果进行了梳理和汇总，形成高峰论坛成果清单．清单主
要涵盖政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通 5 大类，共 76 大项、270 多
项具体成果．我市新能源产业受这一利好因素，某企业的利润逐月提高．据统计，2017 年
第一季度的利润为 2000 万元，第三季度的利润为 2880 万元．
（1）求该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率；
（2）若第四季度保持前两季度利润的平均增长率不变，该企业 2017 年的年利润总和能否突
破 1 亿元？
26．成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入
规划试点．如图，已知该矩形空地长为 90m，宽为 60m，按照规划将预留总面积为 4536m2 的8
四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，
各通道的宽度相等．
（1）求各通道的宽度；
（2）现有一工程队承接了对这 4536m2 的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工
程队先按照原计划进行施工，在完成了536m2 的绿化任务后，
将工作效率提高 25%，结果提前 2 天完成任务，求该工程队
原计划每天完成多少平方米的绿化任务？
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参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1．
解：设这两年的年利润平均增长率为 x，
根据题意得：300（1+x）2=507．
故选：B．
2．
解：设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为 20%．
故选：C．
3．
解：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32．
故选：B．
4．
解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为 x，
根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则 2017 年蔬菜产量为 80（1+x）吨
，2018 年蔬菜产量为 80（1+x）（1+x）吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，
即：80（1+x）（1+x）=100 或 80（1+x）2=100．
故选：A．
5．
解：设房价定为 x 元，10
根据题意，得（x﹣20）（50﹣ ）=10890．
故选：B．
6．
解：依题意得 3 月份该型号汽车的销量为：2000（1+x）2，
则 2000（1+x）2=4500．
故选：A．
7．
解：由题意可得，
20（1+x）2=24.2，
故选：D．
8．
解：由题意，得
种草部分的长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m，
∴由题意建立等量关系，得
（20﹣x）（32﹣x）=540．
故 A 答案正确，
故选：A．
9．
解：设小路的宽度为 xm，
那么草坪的总长度和总宽度应该为 16﹣2x，9﹣x；
根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）=112，
整理得：x2﹣17x+16=0．
故选：C．
10．11
解：设二、三月份每月的平均增长率为 x，
则二月份生产机器为：50（1+x），
三月份生产机器为：50（1+x）2；
又知二、三月份共生产 120 台；
所以，可列方程：50（1+x）+50（1+x）2=120．
故选：D．
11．
解：设这两年绿地面积的年平均增长率是 x，
根据题意得：300（1+x）2=363，
解得：x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这两年绿地面积的年平均增长率是 10%．
故选：A．
12．
解：设小正方形的边长为 xm，则小矩形的宽为 2xm，长为： m，
依题意得： ．
故选：B．
二．填空题（共 6 小题）
13．
解：设每年下降的百分率为 x，
由题意，可得（1﹣x）2=1﹣19%，
解得 x1=0.1，x2=1.9（不合题意舍去）．
所以平均每年下降的百分率为 10%．
故答案为：10%．
14．
解：设每次降价的百分率都是 m，12
该商品现在的价格是；120（1﹣m）2．
故答案为：120（1﹣m）2．
15．
解：设该药品平均每次降价的百分率为 x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒 16 元，
故 25（1﹣x）2=16，
解得 x=0.2 或 1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为 20%．
16．
解：由题意可知：100（1+x）2=121
故答案为：100（1+x）2=121
17．
解：设人均年收入的平均增长率为 x，
根据题意得：10000（1+x）2=12100．
故答案为：10000（1+x）2=12100．
18．
解：设人行通道的宽度为 x，
将脸矩形绿地平移，如图所示，
∴AB=2x，GD=3x，ED=24﹣2x
由题意可列出方程：36×24﹣600=2x×36+3x（24﹣2x）
解得：x=2 或 x=22（不合题意，舍去）
故答案为：213
三．解答题（共 8 小题）
19．
解：（1）设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y=kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入 y=kx+b，得：
，解得： ，
∴年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y=﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为 x 万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为
（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于 70 万元，
∴x=50．
答：该设备的销售单价应是 50 万元/台．
20．
解：（1）设 2018 年前 5 个月要修建 x 个沼气池，则 2018 年前 5 个月要修建（50﹣x）个垃
圾集中处理点，
根据题意得：x≥4（50﹣x），
解得：x≥40．
答：按计划，2018 年前 5 个月至少要修建 40 个沼气池．
（2）修建每个沼气池的平均费用为 78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元），
修建每个垃圾处理点的平均费用为 1.3×2=2.6（万元）．
根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×14
（1+10a%），
设 y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，
解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，
∴a 的值为 10．
21．
解：（1）由题意可得：40n=12，
解得：n=0.3；
（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1= ，m2=﹣ （舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），
（3）设第一年用乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，
解得：a=9.5，
则 Q=20.5．
设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x，
第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30，
解法一：（30﹣a）+2a=39.5
a=9.5
x=20.5
解法二：
解得：
22．
解：（1）设道路硬化的里程数是 x 千米，则道路拓宽的里程数是（50﹣x）千米，
根据题意得：x≥4（50﹣x），
解得：x≥40．15
答：原计划今年 1 至 5 月，道路硬化的里程数至少是 40 千米．
（2）设 2017 年通过政府投人 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为 2x 千
米、x 千米，
2x+x=45，
x=15，
2x=30，
设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为 y 元、2y 元，
30y+15×2y=780，
y=13，
2y=26，
由题意得：13（1+a%）•30（1+5a%）+26（1+5a%）•15（1+8a%）=780（1+10a%），
设 a%=m，则 390（1+m）（1+5m）+390（1+5m）（1+8m）=780（1+10m），
45m2﹣m=0，
m1= ，m2=0（舍），
∴a= ．
23．
解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx+b（k≠0），
把（10，40），（18，24）代入得： ，
解得： ，
∴y 与 x 之间的函数关系式 y=﹣2x+60（10≤x≤18）；
（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）=150，
整理，得：x2﹣40x+375=0，
解得：x1=15，x2=25（不合题意，舍去）．
答：该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为 15 元．
24．
解：（1）设日均销售量 p（桶）与销售单价 x（元）的函数关系为 p=kx+b，16
根据题意得
解得 k=﹣50，b=850，
所以日均销售量 p（桶）与销售单价 x（元）的函数关系为 p=﹣50x+850；
（2）根据题意得一元二次方程 （x﹣5）（﹣50x+850）﹣250=1350，
解得 x1=9，x2=13（不合题意，舍去），
∵销售单价不得高于 12 元/桶，也不得低于 7 元/桶，
∴x=13 不合题意，
答：若该经营部希望日均获利 1350 元，那么销售单价是 9 元．
25．
解：（1）设该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为 x，
根据题意得：2000（1+x）2=2880，
解得：x=0.2=20%或 x=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为 20%．
（2）2000+2000×（1+20%）+2880+2880×（1+20%）=10736（万元），
10736 万元＞1 亿元．
答：该企业 2017 年的年利润总和突破 1 亿元．
26．
解：（1）设各通道的宽度为 x 米，
根据题意得：（90﹣3x）（60﹣3x）=4536，
解得：x1=2，x2=48（不合题意，舍去）．
答：各通道的宽度为 2 米．
（2）设该工程队原计划每天完成 y 平方米的绿化任务，
根据题意得： ﹣ =2，
解得：y=400，
经检验，y=400 是原方程的解，且符合题意．
答：该工程队原计划每天完成 400 平方米的绿化任务．17
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