2018_2019学年度九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.5解一元二次方程_换元法同步练习新版新人教版.doc

1 21.2.5 解一元二次方程-换元法 学校：___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共 15 小题） 1．已知方程 x2+3x﹣4=0 的解是 x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0 的解是 （　　） A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5 C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.5 2．已知实数 a、b 满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则 a2﹣b2 的值为（　　） A．﹣2 B．4 C．4 或﹣2 D．﹣4 或 2 3．已知 x、y 都是实数，且（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，那么 x2+y2 的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3 或 1 D．﹣1 或 3 4．已知方程 x2+2x﹣3=0 的解是 x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0 的解 是（　　） A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣6 5．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么 x+2y 的值为（　　） A．1 B．﹣4 C．1 或﹣4 D．﹣1 或 3 6．已知 x 是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么 x2+3x 的值为（　　） A．3 B．﹣3 或 1 C．1 D．﹣1 或 3 7．若实数 x、y 满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，则 x2+y2 的值为（　　） A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．2 或﹣2 8．若实数 x、y 满足（x+y﹣3）（x+y）+2=0，则 x+y 的值为（　　） A．﹣1 或﹣2 B．﹣1 或 2 C．1 或﹣2 D．1 或 2 9．已知方程 ax2+bx+c=0 的解是 x1=2，x2=﹣3，则方程 a（x+1）2+b（x+1）+c=0 的解是（　　） A．x1=1，x2=﹣4 B．x1=﹣1，x2=﹣4 C．x1=﹣1，x2=4 D．x1=1，x2=4 10．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则 x2+y2 的值为（　　） A．﹣5 或 3 B．﹣3 或 5 C．3 D．5 11．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8=0，则 m2+n2=（　　） A．4 B．2 C．4 或﹣2 D．4 或 2 12．用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0 的解为（　　）2 A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣1 13．若实数 x 满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8=0，那么 x2+2x 的值为（　　） A．﹣2 或 4 B．4 C．﹣2 D．2 或﹣4 14．已知 x 为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么 x2+x+1 的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．﹣3 或 1 D．﹣1 或 3 15．若（x2+y2﹣2）2=9，则 x2+y2 的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．5 或﹣1 　 二．填空题（共 5 小题） 16．若实数 a，b 满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则 a+b=　 　． 17．设 x，y 是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）=20，则这个直角 三角形的斜边长为　 　． 18．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则 x2+y2 的值是　 　． 19．若（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，则 x2+y2﹣5=　 　． 20．如果（m+n）（m+n+5）=6，则 m+n=　 　． 　 三．解答题（共 4 小题） 21．阅读下面的材料，回答问题： 解方程 x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设 x2=y，那么 x4=y2，于是原方程可变为 y2﹣5y+4=0 ①，解得 y1=1，y2=4． 当 y=1 时，x2=1，∴x=±1； 当 y=4 时，x2=4，∴x=±2； ∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到　 　的目的，体现了数学的 转化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0． 22．（3x﹣2）2﹣5（3x﹣2）+4=0． 23．已知实数 x，y 满足（x2+y2）（x2+y2﹣12）=45，求 x2+y2 的值． 24．阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程 x4﹣3x2+2=0”3 解：设 x2=y，原方程变为 y2﹣3y+2=0，（y﹣1）（y﹣2）=0，得 y=1 或 y=2 当 y=1 时，即 x2=1，解得 x=±1； 当 y=2 时，即 x2=2，解得 x=± 综上所述，原方程的解为 x1=1，x2=﹣1，x3= ．x4=﹣ 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是　 　 A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣x2+2x﹣6=0． 　4 2018-2019 学年度人教版数学九年级上册同步练习：21.2.5 解一元二次方程-换元法 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共 15 小题） 1． 解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0 看作关于 2x+3 的一元二次方程， 所以 2x+3=1 或 2x+3=﹣4， 所以 x1=﹣1，x2=﹣3.5． 故选：A． 　 2． 解：设 y=a2﹣b2，原式化为 y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0， 可得 y﹣4=0 或 y+2=0， 解得：y1=4，y2=﹣2， ∴a2﹣b2=4 或﹣2． 故选：C． 　 3． 解：（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0， （x2+y2）2+2（x2+y2）﹣3=0， （x2+y2+3）（x2+y2﹣1）=0， x2+y2﹣1=0， x2+y2=1， 故选：B． 　 4． 解：∵方程 x2+2x﹣3=0 的解是 x1=1，x2=﹣3， ∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0 中 x+3=1 或﹣3， 解得：x=﹣2 或﹣6，5 即 x1=﹣2，x2=﹣6， 故选：D． 　 5． 解：设 x+2y=a，则原方程变形为 a2+3a﹣4=0，解得 a=﹣4 或 a=1．故选 C． 　 6． 解：由 y=x2+3x， 则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0， 分解因式，得，（y+3）（y﹣1）=0， 解得，y1=﹣3，y2=1， 当 x2+3x=﹣3 时，经△=32﹣3×4=﹣3＜0 检验，可知 x 不是实数 当 x2+3x=1 时，经检验，符合题意． 故选：C． 　 7． 解：设 t=x2+y2，则 t≥0， 原方程变形为（t+2）（t﹣2）=0， 解得：t=2 或 t=﹣2（舍去）． 故选：B． 　 8． 解：t=x+y，则由原方程，得 t（t﹣3）+2=0， 整理，得 （t﹣1）（t﹣2）=0． 解得 t=1 或 t=2， 所以 x+y 的值为 1 或 2． 故选：D． 　6 9． 解：设 t=x+1，则方程 a（x+1）2+b（x+1）+c=0 化为 at2+at+c=0， 因为方程 ax2+bx+c=0 的解是 x1=2，x2=﹣3， 所以 t1=2，t2=﹣3， 当 t=2 时，x+1=2，解得 x=1； 当 t=﹣3 时，x+1=﹣3，解得 x=﹣4， 所以方程 a（x+1）2+b（x+1）+c=0 的解是 x1=1，x2=﹣4． 故选：A． 　 10． 解：设 t=x2+y2，则原方程可化为 t2+2t﹣15=0， ∴t=x2+y2=3 或 t=x2+y2=﹣5， 又∵t≥0， ∴x2+y2=3． 故选：C． 　 11． 解：设 m2+n2=t（t≥0），由原方程，得 t（t﹣2）﹣8=0， 整理，得（t﹣4）（t+2）=0， 解得 t=4 或 t=﹣2（舍去）， 所以 m2+n2=4． 故选：A． 　 12． 解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0， 设 2x+5=y， 则原方程变形为 y2﹣4y+3=0， 解得：y1=1，y2=3， 当 y=1 时，2x+5=1， 解得：x=﹣2，7 当 y=3 时，2x+5=3， 解得：x=﹣1， 即原方程的解为 x1=﹣2，x2=﹣1， 故选：D． 　 13． 解：设 x2+2x=y，则原方程化为 y（y﹣2）﹣8=0， 解得：y=4 或﹣2， 当 y=4 时，x2+2x=4，此时方程有解， 当 y=﹣2 时，x2+2x=﹣2，此时方程无解，舍去， 所以 x2+2x=4． 故选：B． 　 14． 解：设 y=x2+x+1=y， 则（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0， 分解因式得：（y+3）（y﹣1）=0， 解得：y1=﹣3，y2=1， 当 x2+x+1=﹣3 时，经△=12﹣4×1×4＜0 检验，可知 x 不是实数， 当 x2+x+1=1 时，经检验，符合题意． 故选：A． 　 15． 解：设 t=x2+y2（t≥0）， 由原方程得：（t﹣2）2=9， 解得 t﹣2=±3， 解得 t=5 或 t=﹣1（舍去）． 故选：C． 　 二．填空题（共 5 小题）8 16． 解：设 a+b=x，则由原方程，得 2x（2x﹣2）﹣8=0， 整理，得 4x2﹣4x﹣8=0，即 x2﹣x﹣2=0， 分解得：（x+1）（x﹣2）=0， 解得：x1=﹣1，x2=2． 则 a+b 的值是﹣1 或 2． 故答案是：﹣1 或 2． 　 17． 解：设 x2+y2=t，则原方程可化为： t（t﹣1）=20， ∴t2﹣t﹣20=0， 即（t+4）（t﹣5）=0， ∴t1=5，t2=﹣4（舍去）， ∴x2+y2=5， ∴这个直角三角形的斜边长为 ， 故答案为： ． 　 18． 解：（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12， （x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0， （x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0， x2+y2+3=0，x2+y2﹣4=0， x2+y2=﹣3，x2+y2=4， ∵不论 x、y 为何值，x2+y2 不能为负数， ∴x2+y2=4， 故答案为：4． 　 19．9 解：设 x2+y2+3=t ∵（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0， ∴t2﹣6t+8=0 ∴t=2 或 t=4 当 t=2 时， x2+y2+3=2 ∴x2+y2=﹣1 故 t=2 舍去 当 t=4 时， x2+y2+3=4 ∴x2+y2=1 ∴原式=1﹣5=﹣4 故答案为：﹣4 　 20． 解：设 m+n 为 x 则（m+n）（m+n+5）=6 变形为 x（x+5）=6 移项去括号得 x2+5x﹣6=0 因式分解得（x+6）（x﹣1）=0 解得 x=1 或﹣6 即 m+n=1 或﹣6． 　 三．解答题（共 4 小题） 21． 解：（1）换元，降次 （2）设 x2+x=y，原方程可化为 y2﹣4y﹣12=0， 解得 y1=6，y2=﹣2． 由 x2+x=6，得 x1=﹣3，x2=2． 由 x2+x=﹣2，得方程 x2+x+2=0， b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．10 所以原方程的解为 x1=﹣3，x2=2． 　 22． 解：设（3x﹣2）=y，原方程等价于 y2﹣5y+4=0 因式分解，得 （y﹣4）（y﹣1）=0， 于是，得 y﹣4=0 或 y﹣1=0， 解得 y=4 或 y=1， 3x﹣2=4，3x﹣2=1， 解得 x1=2，x2=1． 　 23． 解：设 x2+y2=a，则 a（a﹣12）=45， a2﹣12a﹣45=0， （a﹣15）（a+3）=0， a1=15，a2=﹣3， ∵x2+y2=a≥0， ∴x2+y2=15． 　 24． 解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设 x2﹣2x=y，原方程化为 y2﹣y﹣6=0， 整理，得 （y﹣3）（y+2）=0， 得 y=3 或 y=﹣2 当 y=3 时，即 x2﹣2x=3，解得 x=﹣1 或 x=3；11 当 y=﹣2 时，即 x2﹣2x=2，解得 x=1± 综上所述，原方程的解为 x1=﹣1，x2=3，x3=1+ ．x4=1﹣ ．