第2课时 正方形的判定
知识点 1 用定义判定正方形
1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )
A．AB＝BD且AC⊥BD
B．∠A＝90°且AB＝AD
C．∠A＝90°且AC＝BD
D．AC和BD互相垂直平分
2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________________．
知识点 2 利用菱形判定四边形是正方形
3．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．OA＝OB＝OC＝OD
C．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD
D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
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图1－3－17
4．如图1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )
A．22.5°角 B．30°角
C．45°角 D．60°角
5．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－18，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．请判断四边形PQEF的形状．
图1－3－18
知识点 3 利用矩形判定四边形是正方形
6．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形．(只填一个即可)
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图1－3－19
7．如图1－3－19所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的方法是__________________________．
8．2017·邵阳如图1－3－20所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.
(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；
(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
图1－3－20
9．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形
B．对角线互相垂直的四边形
C．菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形
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图1－3－21
10．如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是( )
A．BC＝AC B．CF⊥BF
C．BD＝DF D．AC＝BF
图1－3－22
11．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－22，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )
A．30 B．34 C．36 D．40
12．2017·贵阳期末如图1－3－23，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
图1－3－23
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13．如图1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为N.
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？并给出证明．
图1－3－24
14．观察如图1－3－25所示图形的变化过程，解答以下问题：
图1－3－25
如图1－3－26，在△ABC中，D为BC边上的一动点(点D不与B，C两点重合)，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.
(1)试探索当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？
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图1－3－26
15．如图1－3－27，在四边形ABCD中，E，G分别是AD，BC的中点，F，H分别是BD，AC的中点．
(1)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明你的结论；
(2)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；
(3)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并证明你的结论．
图1－3－27
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1．B 2.AB＝BC(答案不唯一)
3．D
4．C .
5．解：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，
∴AF＝BP＝CQ＝DE.
又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，
∴FP＝PQ＝QE＝EF，
∴四边形PQEF是菱形．
∵△AFP≌△BPQ，
∴∠APF＝∠BQP.
∵∠BPQ＋∠BQP＝90°＝∠BPQ＋∠APF，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形PQEF为正方形．
6．AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)
7．有一组邻边相等的矩形是正方形
8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
(2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．
9．D 10.D
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11．B
12．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO平分∠AEC，
∴∠AED＝∠AEC＝×60°＝30°.
又∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
13．解：(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝×180°＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
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∴四边形ADCE为矩形．
(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE为正方形．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°.
∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD.
又∵四边形ADCE是矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
14．解：(1)当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形．
理由：∵AE∥DF，DE∥AF，
∴四边形AEDF为平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD.
又∵DE∥AF，
∴∠FAD＝∠ADE，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF为菱形．
(2)当∠BAC＝90°时，菱形AEDF是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形．
15．解：(1)当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形．
证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，G，H分别是BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
GH∥AB，GH＝AB，
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FG∥CD.
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AB⊥CD，
∴EF⊥FG，即∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
(2)当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．
证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，
∴EF＝AB，GH＝AB，FG＝CD，EH＝CD.
又∵AB＝CD，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
(3)当AB＝CD且AB⊥CD时，四边形EFGH是正方形．
证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
同理，EH∥CD，EH＝CD，FG＝CD，
GH＝AB.
∵AB＝CD，
∴EF＝EH＝GH＝FG，
∴四边形EFGH是菱形．
∵AB⊥CD，
∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，
∴菱形EFGH是正方形．
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