第2课时 矩形的判定
知识点 1 根据定义判定
1．如图1－2－16，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A．AB＝BC B．AO＝CO
C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
2．木工师傅做一个矩形木框，做好后量得长为80 cm，宽为60 cm，对角线的长为100 cm，则这个木框________．(填“合格”或“不合格”)
图1－2－16 图1－2－17
3．如图1－2－17，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC满足条件__________时，四边形AEDF是矩形．
4．如图1－2－18，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．
图1－2－18
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知识点 2 根据对角线相等判定
图1－2－19
5．如图1－2－19，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )
A．AO＝OC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC
6．如图1－2－20，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，要使▱ABCD为矩形，则OB的长为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
图1－2－20 图1－2－21
7．如图1－2－21，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了．
(1)当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求；
(2)这种做法的根据是______________________．
8．教材例2变式题如图1－2－22，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，△OAB为等边三角形，BC＝.求四边形ABCD的周长．
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图1－2－22
知识点 3 根据直角的个数判定
9．对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
图1－2－23
10．如图1－2－23，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________．
11．下列命题错误的是( )
A．有三个角是直角的四边形是矩形
B．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
12．如图1－2－24，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：
①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；
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④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.
下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A．①②③ B．②③④
C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
图1－2－24 图1－2－25
13．如图1－2－25，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是( )
A．∠BAC＝90° B．BC＝2AE
C．ED平分∠AEB D．AE⊥BC
图1－2－26
14．如图1－2－26，已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是四边的中点，只要四边形ABCD的对角线AC，BD再满足条件________，则四边形EFGH一定是矩形．
15．如图1－2－27，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为角平分线．求证：四边形PMQN是矩形．
图1－2－27
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16．如图1－2－28，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
图1－2－28
17．如图1－2－29，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
图1－2－29
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18．如图1－2－30，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
图1－2－30
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1．C
2．合格
3．答案不唯一，如∠BAC＝90°
4．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°.
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形．
又∵∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形．
5．B
6．B
7．(1)等于
(2)对角线相等的平行四边形是矩形
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA，BD＝2OB.
∵△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝2OA＝2AB，BC＝，由勾股定理，得AB＝＝1，
∴四边形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(1＋)．
9．B
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10 12.
11．C
12．C
13．D
14．AC⊥BD
15．证明：∵PM，PN分别平分∠APQ，∠BPQ，
∴∠MPQ＝∠APQ，∠NPQ＝∠BPQ.
∵∠APQ＋∠BPQ＝180°，
∴∠MPQ＋∠NPQ＝90°，即∠MPN＝90°.
同理可证∠MQN＝90°.
∵AB∥CD，∴∠APQ＋∠CQP＝180°，
∴∠MPQ＋∠MQP＝90°，
即∠PMQ＝90°，∴四边形PMQN是矩形．
16．证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.
∵D为BC的中点，∴CD＝BD.
∴CD∥AE，CD＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，AB＝DE，
∴AC＝DE，
∴平行四边形ADCE是矩形．
17．解：(1)证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.
∵O为AC的中点，∴OA＝OC.
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∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，
即OE＝OF.
在△BOE和△DOF中，∠EBO＝∠FDO，∠BEO＝∠DFO，OE＝OF，
∴△BOE≌△DOF(AAS)．
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是矩形．
证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.
∵OD＝AC，
∴OA＝OB＝OC＝OD，且BD＝AC，
∴四边形ABCD是矩形．
18．解：(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，如图所示，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.
∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.
(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.
∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，
∴OC＝EF＝6.5.
(3)当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
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理由：当O为AC的中点时，AO＝CO.
又∵OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
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