2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一．选择题（共10小题）
1．下列方程一定有实根的是（ ）
A．x2﹣4x+3=0 B．x2﹣4x+5=0 C．y2﹣4y+c=0 D．y2﹣4y+12=0
2．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0 B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣2
3．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1
4．不解方程，判别方程2x2﹣3x=3的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
5．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，若k为非负整数，则k等于（ ）
A．0 B．1 C．0，1 D．2
6．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程x2+bx﹣1=0的判别式为（ ）
A．1﹣b2 B．b2﹣4 C．b2+4 D．b2+1
8．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
9．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
10．一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的两实数根的和与积分别是（ ）
A．，﹣ B．， C．﹣，﹣ D．﹣，
二．填空题（共6小题）
11．对于方程3x2﹣5x+2=0，a= ，b= ，c= ，b2﹣4ac= ，此方程的解的情况是 ．
12．关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围为 ．
4
13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+3=0有实数解，则m的取值范围为 ．
14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1= ，x2= ．
15．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22= ．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+1﹣m=0的一个根为2，则另一个根是
三．解答题（共4小题）
17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
18．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当m为正整数时，求方程的根．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．
20．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0
（Ⅰ）求证：无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（Ⅱ）若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根．
4
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．A．2．C．3．A．4．B．5．B．6．C．7．C．8．B．9．C．10．A．
二．填空题（共6小题）
11．3，﹣5，2，1，有两个不相等的实数根．
12．m＞．
13．m≤且m≠2．
14．﹣2；3．
15．
16．3
三．解答题（共4小题）
17．（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，
解得：a=．
（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
18．（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．
解得m＜2；
（2）由（1）知，m＜2．
有m为正整数，
4
∴m=1，
将m=1代入原方程，得
x2﹣2x=0
x（x﹣2）=0，
解得x1=0，x2=2．
19．（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤2；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，
∵x12+x22=6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，
∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．
20．（1）证明：x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0，
△=[﹣（m+2）]2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，
∵不论m为何值，（m﹣2）2+4＞0，
∴△＞0，
∴无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）解：把x=1代入方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0得：1﹣（m+2）+2m﹣1=0，
解得：m=2，
方程为x2﹣4x+3=0，
设方程的另一个根为a，
则a+1=4，
解得：a=3，
即方程的另一个根为3．
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