28.2 解直角三角形及其应用
28．2.1 解直角三角形
关键问答
①在直角三角形中，边和角之间有什么数量关系？
②可解的直角三角形有什么特点？
③两直角边长的比为1∶的直角三角形是一个什么样的特殊直角三角形？
1．①2017·绥化某楼梯的侧面如图28－2－1所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( )
图28－2－1
A．3.5sin29°米 B．3.5cos29°米
C．3.5tan29°米 D.米
2．②在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，下列情况中Rt△ABC可解的是( )
A．已知a＝3，∠C＝90° B．已知∠B＝36°，∠C＝90°
C．已知a＝3，∠B＝36° D．已知∠B＝36°，∠A＝54°
3．③在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，已知a＝5，b＝5 ，求c的长和∠A，∠B的度数．
12
命题点 1 解直角三角形 [热度：89%]
4．④2018·宜昌如图28－2－2，要测量小河两岸相对的两点P，A之间的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于( )
图28－2－2
A．100sin35°米 B．100sin55°米
C．100tan35°米 D．100tan55°米
易错警示
④用三角函数求边长时，要分清已知边、未知边、已知角之间的关系，分清所用的三角函数．
5．⑤在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，分别根据下列条件解直角三角形．
(1)a＝3，c＝3 ； (2)a＝3，b＝3 ； (3)c＝4 ，∠B＝30°； (4)b＝4，∠B＝30°.
方法点拨
⑤解直角三角形的基本原则：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原(原始数据)避中(中间数据)．
6．⑥如图28－2－3，已知∠B＝37°，AB＝20，C是射线BM上一点．
(1)在下列条件中，可以唯一确定BC长的是________(填写所有符合条件的序号)．①AC＝13；②tan∠ACB＝；③连接AC，△ABC的面积为126.
(2)在(1)的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC的长．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)
图28－2－3
易错警示
⑥已知两边及一边的对角，不能确定唯一的三角形，所以这样的三角形不可解．
命题点 2 以其他常见几何图形为背景解直角三角形 [热度：95%]
7.⑦如图28－2－4，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，sinB＝，则菱形ABCD的周长是( )
12
图28－2－4
A．10 B．20 C．40 D．28
方法点拨
⑦利用菱形的性质和锐角三角函数把已知条件转化到直角三角形ABE中，将分散的条件集中到一起，使直角三角形ABE可解.
8．如图28－2－5，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为( )
图28－2－5
A．3 B. C. D.
9.⑧如图28－2－6，点A在半径为3的⊙O内，OA＝，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长为( )
图28－2－6
A. B. C. D．2
解题突破
⑧当∠OPA取最大值时，点O到AP的距离最大.
10．如图28－2－7，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠EDF＝60°，AE＝2，CF＝3，则▱ABCD的面积为________．
图28－2－7
11．如图28－2－8，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，4)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则点B′的坐标为________．
图28－2－8
12.⑨如图28－2－9，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH上，除点D外，其他顶点均在矩形EFGH的边上．AB＝50 cm，BC＝40 cm，∠BAE＝55°，求EF
12
的长．
(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)
图28－2－9
方法点拨
⑨解直角三角形的方法是有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜(斜边)用切(正切)，宁乘勿除，取原(原始数据)避中(中间数据)，直接求不行，分着求.
12
命题点 3 解锐角三角形或钝角三角形 [热度：93%]
13.⑩在△ABC中，AB＝12 ，AC＝13，cosB＝，则BC边的长为( )
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
易错警示
⑩分△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.
14．在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )
A. B. C. D.
15.⑪如图28－2－10，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC＝3 ，求AB的长．
图28－2－10
方法点拨
⑪在解锐角三角形或钝角三角形时，常过非特殊角的顶点作三角形的高，通过高将两个直角三角形联系起来.
命题点 4 解直角三角形的综合应用 [热度：91%]
16．2017·齐齐哈尔如图28－2－11，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于________．
图28－2－11
17.⑫阅读下面的材料：
小红遇到这样一个问题：如图28－2－12①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝4 ，BC＝，求AD的长．
小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②)．
(1)请回答：AD的长为________．
(2)参考小红思考问题的方法，解决下列问题：
如图③，在四边形ABCD中，tanA＝，∠B＝∠C＝135°，AB＝9，CD＝3，求BC和AD的长．
12
图28－2－12
方法点拨
⑫对于不规则图形的求解，常通过补形或分割的方法将其转化成直角三角形再进行求解.
18．如图28－2－13，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.
(1)求sin∠EAC的值；
(2)求线段AH的长．
图28－2－13
19.⑬我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边和角之间是否也存在某种关系呢？如图28－2－14，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，∴BD＝c－bcosA.
12
在Rt△BDC中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即(c－bcosA)2＋(bsinA)2＝a2，整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.
同理可得：b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
利用上述结论解答下列问题：
(1)在锐角三角形ABC中，∠A＝45°，b＝2 ，c＝2，求a的长和∠C的度数；
(2)在△ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，且c＞a＞b，求c的长．
图28－2－14
模型建立
⑬已知任意三角形的两边及夹角可求第三边，或已知任意三角形的三边可求某个角的余弦值，进而求这个角.
12
详解详析
1．A [解析] 在Rt△ABC中，已知斜边BC和锐角∠BCA，求锐角∠BCA的对边，用正弦，即＝sin29°，所以AB＝3.5sin29°米．故选A.
2．C
3．解：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2.
∵a＝5，b＝5 ，∴c＝10.
∵tanA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°.
4．C [解析] ∵PA⊥PB，PC＝100米，∠PCA＝35°，∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝100tan35°米．
5．解：(1)∵sinA＝＝＝，∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°－∠A＝45°.
∵∠A＝∠B＝45°，∴b＝a＝3.
(2)∵∠C＝90°，a＝3，b＝3 ，
∴c＝＝＝6.
∵tanA＝＝＝，∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝60°.
(3)∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝90°－∠B＝60°.
∵sinB＝，
∴b＝c·sinB＝4 ×sin30°＝4 ×＝2 .
∵cosB＝，
∴a＝c·cosB＝4 ×cos30°＝4 ×＝6.
(4)∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝90°－∠B＝60°.
∵tanB＝，∴a＝＝＝4 .
∵sinB＝，∴c＝＝＝8.
6．解：(1)②③
(2)方案一：选②，如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，
∴AD＝AB·sinB≈12，BD＝AB·cosB≈16.
12
在Rt△ACD中，
∵∠ADC＝90°，
∴CD＝≈5，∴BC＝BD＋CD≈21.
方案二：选③，如图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠BEC＝90°.
由S△ABC＝AB·CE＝126，AB＝20，得CE＝12.6.
在Rt△BEC中，∵∠BEC＝90°，
∴BC＝≈21.
7．C [解析] 由sinB＝可得＝，设AE＝4a，AB＝5a，所以BE＝3a.由四边形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝5a，所以BC－BE＝5a－3a＝4，所以a＝2，所以AB＝10，所以菱形ABCD的周长为40.
8．B [解析] 由已知可知：AB＝CD＝4，∠ADE＋∠DAE＝90°，∠BAC＋∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAC，∴cosα＝cos∠BAC＝＝，∴AC＝.
根据勾股定理，得BC＝＝，
∴AD＝BC＝.
9．B [解析] 过点O作OM⊥PA于点M，则sin∠OPA＝.
∵OP的长恒为3，
∴当OM最大时，sin∠OPA最大，即∠OPA取最大值．
当点M与点A重合时，OM最大，为，
此时PA＝＝.
10．12 [解析] 在四边形DEBF中，
∵其内角和为360°，∠EDF＝60°，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠B＝120°，∴∠A＝∠C＝60°.
∵AE＝2，∴AD＝4.又CF＝3，∴DF＝3 ，
∴S▱ABCD＝AD·DF＝4×3 ＝12 .
11．(2，4－2 ) [解析] 过点B′分别作B′D⊥y轴于点D，B′E⊥x轴于点E，∵四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，4)，∴BC＝OC＝4，
∵∠BPC＝60°，∴由折叠的性质求得B′C＝BC＝4，∠B′CP＝∠BCP＝30°，
∴∠DCB′＝90°－∠B′CP－∠BCP＝30°，
∴B′D＝CB′＝2，CD＝B′Ccos30°＝2 ，
∴OD＝OC－CD＝4－2 ，
12
∴点B′的坐标为(2，4－2 )．
12．解：在Rt△ABE中，AB＝50 cm，∠BAE＝55°，
∴BE＝AB·sin∠BAE＝50·sin55°≈50×0.82＝41(cm)．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE＝55°.
在Rt△BCF中，BC＝40 cm，∠CBF＝55°，
∴BF＝BC·cos∠CBF＝40·cos55°≈40×0.57＝22.8(cm)，
∴EF＝BE＋BF≈41＋22.8＝63.8(cm)，
∴EF的长约为63.8 cm.
13．D [解析] ∵cosB＝，∴∠B＝45°.
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵AB＝12 ，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝12.
∵AC＝13，∴由勾股定理，得CD＝5，
∴BC＝BD－CD＝12－5＝7；
当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC＝BD＋CD＝12＋5＝17.
14．B [解析] 如图，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D.
∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，
∴2AD＝AC＝2，∴AD＝1，CD＝，
∴BD＝5，BC＝2 ，∴sinB＝＝.
15．解：过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠B＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠A＝45°，∴AD＝CD.
在Rt△ADC中，AC＝3 ，
sinA＝，
∴CD＝sin45°×3 ＝3，∴AD＝3.
∵在Rt△BDC中，∠DBC＝60°，tanB＝，
12
∴BD＝＝＝，∴AB＝3＋.
16．－24 [解析] ∵△COD的面积为20，
∴菱形OABC的面积为40.
过点C作CE⊥x轴于点E.
∵tan∠AOC＝＝，
∴设CE＝4a(a＞0)，
则OE＝3a，OA＝OC＝5a，∴5a·4a＝40，
解得a＝(a＝－舍去)，
∴CE＝4 ，OE＝3 ，
∴点C的坐标为(－3 ，4 )．
∵反比例函数y＝的图象经过点C，
∴k＝xy＝－3 ×4 ＝－24.
17．解：(1)在△ADE中，
∵∠A＝90°，∠D＝60°，∴∠E＝30°.
在Rt△BEC中，
∵∠BCE＝90°，∠E＝30°，BC＝，
∴BE＝2BC＝2 ，
∴AE＝AB＋BE＝6 .
在Rt△ADE中，
∵∠A＝90°，∠E＝30°，AE＝6 ，
∴AD＝AE·tanE＝6 ×＝6.
故答案为6.
(2)如图，延长AB与DC相交于点E.
∵∠ABC＝∠BCD＝135°，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴BE＝CE，∠E＝90°.
设BE＝CE＝x，则BC＝x，AE＝9＋x，DE＝3＋x.
在Rt△ADE中，∠E＝90°，
∵tanA＝，∴＝，
即＝，解得x＝3.
经检验，x＝3是所列方程的解且符合题意，
∴BC＝3 ，AE＝12，DE＝6，
∴AD＝＝6 .
18．解：(1)由题意知EC＝2，AE＝.
12
过点E作EM⊥AC于点M，
所以∠EMC＝90°，易知∠ACD＝45°，
所以△EMC是等腰直角三角形，
所以EM＝，
所以sin∠EAC＝＝＝.
(2)在△GDC与△EDA中，
所以△GDC≌△EDA，
所以∠GCD＝∠EAD，GC＝AE＝.
又因为∠HEC＝∠DEA，
所以∠EHC＝∠EDA＝90°，所以AH⊥GC.
因为S△AGC＝AG·DC＝GC·AH，
所以×4×3＝×·AH，
所以AH＝ .
19．解：(1)因为a2＝b2＋c2－2bccos45°＝8＋4－8＝4，所以a＝2(负值已舍去)，
所以cosC＝＝.
又因为∠C为锐角，所以∠C＝45°.
(2)因为b2＝a2＋c2－2accosB，
所以2＝3＋c2－2 c×，
解得c1＝，c2＝(不符合题意，舍去)，所以c＝.
【关键问答】
①在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，则边和角之间的关系有sinA＝，sinB＝，cosA＝，cosB＝，tanA＝，tanB＝.
②由已知条件能确定唯一的直角三角形，这样的直角三角形可解．
③含30°角的直角三角形．
12
微信/支付宝扫码支付