28．1 锐角三角函数
第1课时 正弦
关键问答
①在直角三角形中，一个锐角的正弦是哪两条边的比？若三角形的三边都扩大为原来的k倍(或缩小为原来的)，则这个比值会发生变化吗？
②求锐角正弦值的方法是什么？
1．①在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值( )
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．扩大为原来的4倍
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
3．②如图28－1－1所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为( )
图28－1－1
A. B.
C. D．1
命题点 1 利用正弦函数的定义求值 [热度：97%]
10
4.③如图28－1－2，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为B(－1，0)，则sinα的值是( )
图28－1－2
A. B. C. D.
解题突破
③点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值.
5.④对于锐角α，sinα的值不可能为( )
A. B. C. D．2
易错警示
④锐角α的正弦值的范围可以通过定义，由直角三角形三边的大小关系来确定.
6.⑤如图28－1－3，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sinA的是( )
图28－1－3
A. B. C. D.
方法点拨
⑤求锐角的正弦值还可以用等角代换的方法
7.⑥如图28－1－4，△ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sinA的值为( )
图28－1－4
A．2 B. C. D.
方法点拨
⑥在网格图中求锐角的正弦值时，先看所求角所在的格点三角形是不是直角三角形，若不是，则需要作出包含所求角的直角三角形．
8．⑦如图28－1－5，△ABC的各个顶点都在正方形网格的格点上，则sinA的值为( )
10
图28－1－5
A. B. C. D.
方法点拨
⑦求格点三角形某条边上的高常用的方法是等积法.
9.⑧如图28－1－6，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα的值为( )
图28－1－6
A. B. C. D.
解题突破
⑧过点D作这一组平行线的垂线，利用全等的知识把已知条件集中到同一个直角三角形中，进而利用正弦的定义求值.
10．已知AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，若AE∶CF＝3∶2，则sin∠BAC∶sin∠ACB的结果是( )
A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．4∶9
11.⑨在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB＝5，AC＝4，那么sin∠ADC1的值是________．
方法点拨
⑨求锐角的正弦值，需要构造这个角所在的直角三角形，或者将其转移到某个直角三角形中.
12．如图28－1－7，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，3)和点B(7，0)，则sin∠ABO的值为________．
图28－1－7
13.⑩如图28－1－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接FB，则sin∠BFC的值为________．
10
图28－1－8
方法点拨
⑩利用相似三角形的性质及勾股定理求边长是几何问题中常用的方法.
14．如图28－1－9，在△ABC中，AD⊥BC于点D，如果AD＝10，DC＝5，E为AC的中点，求sin∠EDC的值．
图28－1－9
命题点 2 正弦函数的简单应用 [热度：95%]
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sinA的值( )
A．与AB的大小有关 B．与BC的大小有关
C．与AC的大小有关 D．与∠A的大小有关
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB的长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
17.⑪在△ABC中，AB＝5，BC＝6，∠B为锐角，且sinB＝，则∠C的正弦值为( )
A. B. C. D.
方法点拨
⑪在直角三角形中，若已知一个锐角的正弦值、这个角的对边、这个三角形的斜边这三个量中的两个量，就可以求得第三个量.
18．如图28－1－10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝________．
图28－1－10
19.⑫如图28－1－11，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于点E，若BC＝4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为________．
图28－1－11
解题突破
⑫因为所求角所在的三角形不是直角三角形，所以需要添加辅助线，想办法将角进行转化.
10
20．已知：如图28－1－12，在△ABC中，AC＝10，sinC＝，sinB＝，求AB的长．
图28－1－12
21.⑬我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图28－1－13，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对的定义，解答下列问题：
(1)sad60°的值为________；
(2)当0°＜∠A＜180°时，∠A的正对sadA的取值范围是________；
(3)已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．
图28－1－13
解题突破
⑬利用“规定”把新情境下的问题转化成我们所学过的知识，再运用已有的经验和方法进行求解.
10
10
详解详析
1．C 2.B 3.B
4．D [解析] 过点A作AC⊥x轴于点C，则AC＝4，OC＝2.又因为OB＝1，所以BC＝3，所以AB＝5，所以sinα＝＝.
5．D [解析] sinα＝，由于斜边的长大于任何一条直角边的长，所以0＜sinα＜1.
6．D [解析] 在Rt△ABC中，sinA＝；
在Rt△ACD中，sinA＝；
∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD.
在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD＝.
7．D [解析] 如图，连接CD，根据网格图的特点，可知∠ADC＝90°，设每个小正方形的边长均为1，则CD＝，AC＝，所以sinA＝＝.
8．A [解析] 设每个小正方形的边长均为1，过点C作CD⊥AB于点D，△ABC的面积为4×3－1×1－×3×1－×2×1－×4×3＝.
因为AB＝5，所以×5×CD＝，所以CD＝1.
又因为AC＝，所以sinA的值为.
9．B [解析] 如图，过点D作EF⊥l1，交l1于点E，交l4于点F，
∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，
∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°，
即EF与l2，l3，l4都垂直，
∴DE＝1，DF＝2.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠ADE＋∠CDF＝90°.
10
又∵∠α＋∠ADE＝90°，∴∠α＝∠CDF.
又∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°，
∴△ADE≌△DCF，∴CF＝DE＝1，
∴在Rt△CDF中，CD＝＝，
∴sinα＝sin∠CDF＝＝.
10．B [解析] 由题意可得sin∠BAC＝，sin∠ACB＝，
所以sin∠BAC∶sin∠ACB＝CF∶AE＝2∶3.
11. [解析] ∵∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，
则点C1恰好落在斜边AB上，
∴∠DC1A＝90°，∴∠ADC1＝∠ABC.
∵AB＝5，AC＝4，
∴sin∠ADC1＝sin∠ABC＝.
12. [解析] 过点A作AC⊥x轴于点C.因为A(3，3)，所以AC＝3，OC＝3.又因为B(7，0)，所以BC＝4，所以AB＝5，所以sin∠ABO＝＝.
13. [解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB.
设AB＝5x，∵AE∶EB＝4∶1，
∴AE＝4x，EB＝x，BC＝x.
∵△ABC是直角三角形，∴AC＝ x.
∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴EF∥BC，
∴AF∶FC＝AE∶EB＝4∶1，
即FC＝AC＝x，
∴BF＝x，∴sin∠BFC＝＝ .
14．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∵AD＝10，DC＝5，∴AC＝5 .
∵E为AC的中点，∴DE＝AE＝EC＝AC，
∴∠EDC＝∠C，
∴sin∠EDC＝sinC＝＝＝ .
15．D
16．D [解析] ∵在Rt△ABC中，
∠C＝90°，sinA＝＝，BC＝6，
10
∴AB＝＝＝10.故选D.
17．C [解析] 如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵sinB＝，∴＝.
∵AB＝5，∴AD＝3，
∴BD＝4.
∵BC＝6，∴CD＝2，
∴AC＝，∴sinC＝＝.
18. [解析] ∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝6÷＝10，∴AC＝8.
∵D是AB的中点，∴AD＝5.
由△ABC∽△AED，
可得DE＝＝＝.
19. [解析] 取AB的中点F，连接OF，EC，过点B作BG⊥AC于点G.由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO，
∴OF⊥AB，OF＝BC＝2.
又∵△AOE的面积为5，
∴AE＝5.
由线段垂直平分线的性质可得EC＝AE＝5.
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE＝3.
∵BG⊥AC，OE⊥AC，∴BG∥OE，
∴＝＝.
∵BG∥OE，∴∠BOE＝∠OBG，
∴sin∠BOE＝sin∠OBG＝＝＝.
20．解：过点A作AE⊥BC，垂足为E.
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在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，
∴sinC＝，∴＝，∴AE＝8.
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
∴sinB＝，∴＝，∴AB＝24.
21．解：(1)根据正对的定义，当等腰三角形的顶角为60°时，其底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°＝1.
(2)当∠A接近0°时，sadA接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底边长接近于腰长的2倍，故sadA接近2.所以当0°＜∠A＜180°时，sadA的取值范围是0＜sadA＜2.
(3)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝.
在AB上取一点D，使AD＝AC，过点D作DH⊥AC，H为垂足，
令BC＝3k，AB＝5k，
则AD＝AC＝4k.
在△ADH中，∠AHD＝90°，sinA＝，
所以DH＝AD·sinA＝k，由勾股定理可得AH＝＝ k，
则在Rt△CDH中，CH＝AC－AH＝k，CD＝ k.
在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝ k，
由正对的定义可得sadA＝＝，
即sadα＝.
【关键问答】
①在直角三角形中，一个锐角的正弦是这个锐角的对边与斜边的比；这个比值不会发生变化．
②使锐角成为某个直角三角形的内角，利用这个锐角的对比与斜边的比来求得正弦值．
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