28.2.2 应用举例
第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
关键问答
①如何用一个数学问题来表示这个实际问题？
②利用解直角三角形解决实际问题的一般过程是什么？
1．①如图28－2－15，沿AB方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AB上的一点C，取∠ACD＝146°，CD＝500米，∠D＝56°.要使点A，C，E在同一条直线上，那么开挖点E离点D的距离是( )
图28－2－15
A．500米 B．500sin56°米 C．500cos56°米 D．500tan56°米
2．②如图28－2－16，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10 m到达点B，在B处测得树顶C的仰角为60°(A，B，D三点在同一直线上)，则这棵树CD的高度为( )
图28－2－16
A．10 m B．5 m C．5 m D．10 m
命题点 1 解直角三角形在生活中的应用 [热度：93%]
3.③2018·长春如图28－2－17，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A
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地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( )
图28－2－17
A．800sinα米 B．800tanα米 C.米 D.米
解题突破
③用锐角三角函数表示已知量与未知量之间的关系，然后利用变形即可解决问题.
4.④如图28－2－18，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的渔线BC长3 m，钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC沿逆时针方向转动到AC′的位置，此时露在水面上的渔线B′C′长3 m，则鱼竿转过的角度是( )
图28－2－18
A．60° B．45° C．15° D．90°
解题突破
④可通过两个角作差来求结果.
5.⑤如图28－2－19①，手机放在手机支架上，其侧面示意图如图28－2－19②所示，AB是长度不变的活动片，一端A固定在OA上，另一端B可在OC上变动位置，若将AB变到AB′的位置，则OC顺时针旋转一定角度到达OC′的位置．已知OA＝8 cm，AB⊥OC，∠BOA＝60°，sin∠B′AO＝，则点B′到OA的距离为( )
图28－2－19
A. cm B. cm C. cm D. cm
解题突破
⑤在直角三角形ABO中求出AB的长，利用AB的长度不变解包含点B′到OA的垂线段的另一个直角三角形.
6．将45°的∠AOB按图28－2－20的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为________ cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
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图28－2－20
7.⑥“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图28－2－21①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.
(1)求AD的长；
(2)求点E到AB的距离．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)
图28－2－21
方法点拨
⑥解应用题时，应先将实际问题转化为数学问题，找出直角三角形并寻找已知量和未知量之间的桥梁，从而利用解直角三角形的知识得到数学问题的答案，最后得到符合实际意义的答案.
8.⑦图28－2－22①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由与地面垂直的EM位置运动到EN位置时的示意图．已知BC＝0.64米，AD＝0.24米，α＝18°.(参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)
(1)求AB的长(结果精确到0.01米)；
(2)若测得EN＝0.8米，试计算小明头顶由点M运动到点N的路径弧的长(结果保留π)．
图28－2－22
模型建立
⑦
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已知一个直角梯形的四个内角和两底边的长，求腰长，可通过作高，将其转化为直角三角形求解.
命题点 2 与仰角、俯角相关的解直角三角形 [热度：95%]
9．2018·咸宁如图28－2－23，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110 m，那么该建筑物的高度BC约为________m(结果保留整数，≈1.73)．
图28－2－23
10.⑧2017·东营一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图28－2－24，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A，B两点间的距离为s米，则塔高为________米．
图28－2－24
方法点拨
⑧当图中出现两个直角三角形时，常要用到方程的思想．在直角三角形中，先利用锐角三角函数表示出各基本量，然后由基本量之间的关系列方程(组)，再解方程(组)，求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的．
11．⑨如图28－2－25，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60 m，随后无人机从A处继续飞行30 m到达A′处．
(1)求A，B之间的距离；
(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．
图28－2－25
模型建立
⑨双三角形类型：
类型一：两个直角三角形在公共直角边的同侧，如图28－2－26①，在Rt△ABD和Rt△ACD中，有公共边AD，BC＝BD－CD.
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图28－2－26
类型二：两个直角三角形在公共直角边的两侧，如图②，在Rt△ABD和Rt△ACD中，有公共边AD，BC＝BD＋CD.
12．⑩如图28－2－27，一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点P的仰角为45°，向前走9 m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数；
(2)求该电线杆PQ的高度(结果保留根号)．
图28－2－27
解题突破
⑩本题需要利用锐角三角函数，把未知量向已知量所在的边转移，然后建立方程求解.
13.⑪如图28－2－28，某勘测飞机为了测量一湖泊两端A，B之间的距离，飞机在距离湖面垂直高度为90米的点D处测得端点A的俯角为63.4°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了125米到达C处，在点C处测得端点B的俯角为42.1°，求湖泊两端A，B之间的距离．(参考数据：tan63.4°≈2.00，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan42.1°≈0.90，sin42.1°≈0.67，cos42.1°≈0.74)
图28－2－28
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模型建立
⑪本题相当于解两边平行且四个角及平行两边之间的距离已知的四边形.
14.⑫如图28－2－29①②分别是一款家用的垃圾桶及其侧面示意图，踏板AB(与地面平行)可绕定点P(固定在垃圾桶底部的某一位置)上下转动(转动过程中始终保持AP＝A′P，BP＝B′P)．通过向下踩踏点A到A′(与地面接触点)使点B上升到点B′，与此同时，传动杆BH运动到B′H′的位置，点H绕固定点D旋转(DH为旋转半径)至点H′，从而使桶盖打开一个张角∠HDH′.如图28－2－29③，桶盖打开后，传动杆H′B′所在的直线分别与水平直线AB，DH垂直，垂足为M，C，设H′C＝B′M.测得AP＝6 cm，PB＝12 cm，DH′＝8 cm.要使桶盖张开的角度∠HDH′不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少厘米？(结果精确到0.1 cm，参考数据：≈1.41，≈1.73)
图28－2－29
解题突破
⑫根据∠HDH′的取值范围，可得H′C的取值范围，从而得B′M的取值范围，利用相似三角形可得结果.
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详解详析
1．C 2.C
3．D [解析] 在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，∴tanα＝，∴AB＝＝(米)．
4．C
5．D [解析] ∵AB⊥OC，∴∠ABO＝90°.
在Rt△ABO中，∵∠AOB＝60°，OA＝8 cm，
∴AB＝AB′＝OA·sin∠AOB＝8×＝4 (cm)．
如图，过点B′作B′P⊥OA于点P，
在Rt△AB′P中，∵sin∠B′AO＝，
∴B′P＝AB′·sin∠B′AO＝4 ×＝(cm)．故选D.
6．2.7 [解析] 如图，过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E.
在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，
∴BD＝OD＝2 cm，
∴CE＝BD＝2 cm.
在△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，
∵tan37°＝≈0.75，∴OE≈2.7 cm.
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7 cm.
7．解：(1)在Rt△ADF中，由勾股定理得AD＝＝＝15(cm)．
(2)AE＝AD＋CD＋CE＝15＋30＋15＝60(cm)，
如图，过点E作EH⊥AB于点H，在Rt△AEH中，sin∠EAH＝，
则EH＝AE·sin∠EAH≈60×0.97＝58.2(cm)．
答：点E到AB的距离约为58.2 cm.
8．解：(1)如图，过点A作AF⊥BC于点F，
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则BF＝BC－AD＝0.4米，
∴AB＝BF÷sin18°≈1.29米．
(2)∵∠NEM＝90°＋18°＝108°，
∴弧的长为＝0.48π(米)．
9．300 [解析] ∵在Rt△ABD中，AD＝110 m，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝110 m.
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD·tan60°＝110×≈190(m)，
∴BC＝BD＋CD≈110＋190＝300(m)．
10.·s [解析] 在Rt△CBD中，BD＝，∴AD＝＋s.
在Rt△CAD中，CD＝ADtanα＝(＋s)·tanα，化简，得CD＝·s.
11．解：(1)由题意得∠ABD＝30°，在Rt△ABC中，AC＝60 m，
∴AB＝＝＝120(m)．
答：A，B之间的距离为120 m.
(2)如图，过点A′作A′E⊥BC，交BC的延长线于点E，连接A′D，
则A′E＝AC＝60 m，CE＝AA′＝30 m.
在Rt△ADC中，AC＝60 m，∠ADC＝60°，
∴DC＝AC＝20 m，
∴DE＝50 m，
∴tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝＝＝ .
答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值是 .
12．解：如图，延长PQ交直线AB于点E，
(1)∠BPQ＝90°－60°＝30°.
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(2)设PE＝x m．在Rt△APE中，∠PAE＝45°，
则AE＝PE＝x m.
在Rt△BPE中，BE＝PE＝x m.
∵AB＝AE－BE＝9 m，∴x－x＝9，
解得x＝，则BE＝ m.
在Rt△BEQ中，QE＝BE＝ m，
∴PQ＝PE－QE＝－＝(9＋3 )m.
答：该电线杆PQ的高度为(9＋3 )m.
13．解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F.
由题意可得∠ADC＝63.4°，∠MCB＝42.1°，CD＝EF＝125米，CE＝DF＝90米．
在Rt△ADF中，∠FAD＝∠ADC＝63.4°，
∵tan∠FAD＝tan63.4°＝≈2.00，
∴AF＝≈＝45(米)．
在Rt△BCE中，∠EBC＝∠MCB＝42.1°，
∵tan∠EBC＝tan42.1°＝≈0.90，
∴BE＝≈＝100(米)，
∴AB＝EF－AF＋BE≈125－45＋100＝180(米)．
答：湖泊两端A，B之间的距离约为180米．
14．解：如图，过点A′作A′N⊥AB于点N.
在Rt△H′CD中，
若∠HDH′不小于60°，
则≥sin60°＝，
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即H′C≥DH′＝4 cm，
∴B′M＝H′C≥4 cm.
∵Rt△A′NP∽Rt△B′MP，∴＝，
∴A′N＝≥2 ≈3.5(cm)．
∴踏板AB离地面的高度至少等于3.5 cm.
【关键问答】
①在△CDE中，已知CD＝500米，∠D＝56°，延长EC到点A，∠ACD＝146°，求DE的长．
②(1)结合题意，把实际问题转化成数学问题．
(2)若解直角三角形，则寻找已知条件和要求结论存在的数量关系；若解非直角三角形，则过非特殊角的顶点作高将其转化成解直角三角形问题．
(3)利用得到的数量关系求解．
(4)用数学问题的解来解释或说明实际问题．
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