九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值课时训练（新版）新人教版.doc

第3课时　特殊角的三角函数值 关键问答 ‎①求特殊角的三角函数值的方法是什么？‎ ‎②特殊角的三角函数的运算常用到什么知识？‎ ‎1．①sin60°的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．②计算：sin30°＋cos30°·tan60°＝________.‎ ‎3．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C的度数是________．‎ 命题点 1　直接求特殊角的三角函数值　[热度：96%]‎ ‎4．③如图28－1－35，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO的长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值为(　　)‎ 图28－1－35‎ A. B. C. D. 解题突破 ‎③本题中所作的△AOB是一个等边三角形．‎ ‎5．正方形网格中，∠AOB如图28－1－36放置，则tan∠AOB的值为(　　)‎ 8‎ ‎　　‎ 图28－1－36‎ A. B．‎1 C. D.　‎ ‎6.④如图28－1－37，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则的值为________．‎ ‎　　　‎ 图28－1－37‎ 解题突破 ‎④通过证明△CBD与△ACE全等，结合全等三角形的对应角相等，可得∠AFG的度数为定值.‎ 命题点 2　特殊角的三角函数之间的计算　[热度：92%]‎ ‎7．因为sin30°＝，sin210°＝－，所以sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°；因为sin45°＝，sin225°＝－，所以sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°.由此猜想、推理知：一般地，当α为锐角时，有sin(180°＋α)＝－sinα，由此可知，sin240°的值为(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ ‎8.⑤计算：－cos60°.‎ 方法点拨 ‎⑤因为特殊角的三角函数值很容易记混，所以最好结合图形根据锐角三角函数的定义来理解记忆.‎ ‎9．已知：a△b＝ab＋(a－b)，例如：2△3＝2×3＋(2－3)＝5，求sin30°△(tan45°－tan60°)的值．‎ 8‎ 命题点 3　含有特殊角的三角函数的实数运算　[热度：98%]‎ ‎10.⑥化简的结果为(　　)‎ A．1－ B.－‎1 C.－1 D．1－ 易错警示 ‎⑥＝＝ ‎11．计算：＋tan30°－|sin45°－1|－(2019－2cos60°)0.‎ 命题点 4　由三角函数值求锐角的度数　[热度：95%]‎ ‎12.⑦若在△ABC中，锐角A，B满足|tanA－|＋(cosB－)2＝0，则△ABC是(　　)‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解题突破 ‎⑦这里需要用“若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0”解题．‎ ‎13．⑧已知关于x的一元二次方程x2－x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(　　)‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ 解题突破 ‎⑧由一元二次方程有两个相等的实数根，可得到根的判别式应该满足什么条件？‎ ‎14．⑨已知无意义，且α为锐角，则sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝________．‎ 解题突破 ‎⑨分式无意义的条件是分母等于零．‎ ‎15．如图28－1－38，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，D是AC的中点，那么tan∠DBC的值是________．‎ ‎　图28－1－38‎ ‎16．⑩已知α为锐角，且cosα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求的值．‎ 易错警示 ‎⑩求出方程的根后，还要根据0＜cosα＜1(α为锐角)对cosα的值进行取舍．‎ 8‎ 命题点 5　锐角的范围和三角函数值的取值范围之间的转换　[热度：91%]‎ ‎17．⑪已知在△ABC中，∠C＝90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是(　　)‎ ‎　A．0＜n＜ B．0＜n＜ C．0＜n＜ D．0＜n＜ 解题突破 ‎⑪利用∠B小于另一个锐角∠A，可得到∠B的取值范围，再由正弦函数的增减性进行判断.‎ ‎18．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是(　　)‎ A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°‎ C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°‎ 命题点 6　用计算器探究三角函数中的规律　[热度：82%]‎ ‎19.⑫利用计算器求下列三角函数值并填空．(精确到0.0001)‎ ‎(1)sin10°，cos10°，sin30°，cos30°，sin45°，cos45°，sin60°，cos60°.‎ 猜想：当0°＜α＜45°时，sinα________cosα；当45°＜α＜90°时，sinα________cosα.(填“＞”“＜”或“＝”)‎ ‎(2)sin20°，cos70°，sin44°，cos46°，sin18°28′，cos71°32′.‎ 猜想：sinα＝cos________；sin________＝cosα.‎ 方法点拨 ‎⑫先用计算器求出各个三角函数值，然后比较它们的大小，并观察角度的变化和三角函数值的变化，据此寻找规律.‎ ‎20.⑬亲爱的同学们，在我们进入高中以后，还将会学到三角函数公式：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.‎ 例如：sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.‎ ‎(1)试仿照例题，求出cos75°的准确值；‎ ‎(2)若tanα＝，试求出tan75°的准确值．‎ 拓展探究 ‎⑬你还能用其他方法求出sin75°和cos75°的准确值吗？‎ ‎21.⑭对于钝角α，定义它的三角函数值如下：‎ sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．‎ ‎(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值；‎ ‎(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．‎ 8‎ 模型建立 ‎⑭互补的两个角的正弦值相等；互补的两个角的余弦值互为相反数.‎ 8‎ 详解详析 ‎1．C　2.2　3.60°‎ ‎4．B　[解析] 连接AB，由题意可得△AOB是等边三角形，所以cos∠AOB＝cos60°＝.‎ ‎5．B ‎6.　[解析] 因为△ABC是等边三角形，所以AC＝BC＝AB，∠ACE＝∠B＝60°.‎ 又因为AD＝BE，所以BD＝CE，‎ 所以△ACE≌△CBD，所以∠CAE＝∠BCD.‎ 因为∠BCD＋∠ACF＝60°，‎ 所以∠CAE＋∠ACF＝60°＝∠AFG，‎ 所以sin∠AFG＝＝.‎ ‎7．C　[解析] sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.‎ ‎8．解：－cos60°＝－×＝－＝＝.‎ ‎9．解：由题意，得sin30°△(tan45°－tan60°)＝△(1－)＝×(1－)＋(－1＋)＝.‎ ‎10．A　[解析] ＝＝1－.‎ ‎11．解：＋tan30°－|sin45°－1|－(2019－2cos60°)0‎ ‎＝2 ＋×－1＋－1‎ ‎＝ －1.‎ ‎12．D　[解析] 由|tanA－|＋(cosB－)2＝0，得tanA－＝0，cosB－＝0，从而有∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形．‎ ‎13．B　[解析] 由题意得Δ＝2－4sinα＝0，解得sinα＝，∴α＝30°.‎ ‎14.　[解析] 由题意知tanα＝1，所以α＝45°，所以sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin30°＋cos30°＝＋＝.‎ ‎15.　[解析] 在△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴tan∠ABC＝tan60°＝＝‎ 8‎ eq \r(3)，∴AC＝BC.又D是AC的中点，∴DC＝AC＝BC，∴tan∠DBC＝＝＝.‎ ‎16．解：解方程2x2－7x＋3＝0，得x1＝3，x2＝.因为cosα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，且α为锐角，所以cosα＝，所以＝＝.　‎ ‎17．A　[解析] 由题意可得∠B＜90°－∠B，从而有∠B＜45°，所以0°＜∠B＜45°，所以0＜sinB＜.‎ ‎18．B　[解析] 由cosα＜可得α＞45°，由tanα＜，可得α＜60°，因此45°＜α＜60°.‎ ‎19．解：(1)sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848，sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，sin45°≈0.7071，cos45°≈0.7071，sin60°≈0.8660，cos60°＝0.5.‎ 当0°＜α＜45°时，sinα＜cosα；当45°＜α＜90°时，sinα＞cosα.‎ ‎(2)sin20°≈0.3420，cos70°≈0.3420，sin44°≈0.6947，cos46°≈0.6947，sin18°28′≈0.3168，cos71°32′≈0.3168.‎ sinα＝cos(90°－α)；sin(90°－α)＝cosα.‎ ‎20．解：(1)cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝×－×＝.‎ ‎(2)tan75°＝＝＝2＋.‎ ‎21．解：(1)由题意得：‎ sin120°＝sin(180°－120°)＝sin60°＝，‎ cos120°＝－cos(180°－120°)＝－cos60°＝－，‎ sin150°＝sin(180°－150°)＝sin30°＝.‎ ‎(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，‎ ‎∴三个内角分别为30°，30°，120°.‎ ‎①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，－，‎ 将x＝代入方程得4×()2－m×－1＝0，解得m＝0.经检验，－是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意；‎ ‎②当∠A＝120°，∠B＝30°时，方程的两根为，，不符合题意；‎ 8‎ ‎③当∠A＝30°，∠B＝30°时，方程的两根为，，‎ 将x＝代入方程得4×()2－m×－1＝0，解得m＝0.经检验，不是方程4x2－1＝0的根．‎ 综上所述，m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°.‎ ‎【关键问答】‎ ‎①(1)规律记忆法：‎ ‎　　　锐角A 锐角三角函数　　　‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ sinA ()‎ cosA ()‎ tanA ‎1()‎ ()‎ 规律：正弦值的分母都为2，分子分别为1，2，3的算术平方根；‎ 余弦值的分母都为2，分子分别为3，2，1的算术平方根，且一个角的正弦值(余弦值)等于它的余角的余弦值(正弦值)；‎ 正切值的分母都为3，分子分别为3，9，27的算术平方根，且一个角的正切值等于它的余角的正切值的倒数．‎ ‎(2)直接利用含有30°角和45°角的直角三角形各边的数量关系，结合锐角三角函数的概念进行计算．‎ ‎②二次根式的运算、有理数的运算等．‎ 8‎