第2课时 余弦与正切
关键问答
①在直角三角形中，一个锐角的余弦是哪两条边的比？
②在直角三角形中，一个锐角的正切是哪两条边的比？
1．①如图28－1－14，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，则cosA的值为( )
图28－1－14
A. B. C. D.
2．②如图28－1－15，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则tanB的值为( )
图28－1－15
A. B. C. D.
命题点 1 求余弦函数值 [热度：97%]
3．如图28－1－16，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( )
11
图28－1－16
A. B. C. D.
4.③如图28－1－17，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cosA的值为( )
图28－1－17
A. B. C. D.
方法点拨
③在网格图中求锐角的余弦值，类似于在网格图中求锐角的正弦值.
5．④如图28－1－18，点E，B，C在⊙A上，已知⊙A的直径为1，BE是⊙A的一条弦，则cos∠OBE的值为( )
图28－1－18
A．OB的长 B．BE的长 C．OE的长 D．OC的长
方法点拨
④在圆中求某个圆周角的三角函数值时，可利用同弧所对的圆周角相等，把所求角转化到以直径为斜边的直角三角形中．
6.⑤如图28－1－19，直线y＝x＋3分别与x轴，y轴交于A，B两点，则cos∠BAO的值是( )
图28－1－19
A. B. C. D.
方法点拨
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⑤在平面直角坐标系中，求直线与坐标轴的夹角的余弦值，一般需要先求出直线与两坐标轴围成的直角三角形的三边长.
7.⑥如图28－1－20，圆锥的母线长为11 cm，侧面积为55π cm2，设圆锥的母线与高的夹角为α，则cosα的值为________．
图28－1－20
解题突破
⑥在圆锥中求角的余弦值时，通常关注由母线、圆锥的高、底面圆的半径所组成的直角三角形.
命题点 2 余弦函数的简单应用 [热度：95%]
8．如图28－1－21，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是( )
图28－1－21
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，cosB＝，则BC＝________．
命题点 3 求正切函数值 [热度：98%]
10．2017·兰州如图28－1－22，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面的夹角的正切值等于( )
图28－1－22
A. B. C. D.
11．如图28－1－23，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，则tan∠OPA的值为( )
图28－1－23
A. B. C．2 D.
12.⑦如图28－1－24，直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3∶4.
(1)将△ABC按图①所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点M处，折痕为BD；
11
(2)再将△ABD按图②所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.
则tan∠DEA的值为( )
图28－1－24
A. B. C. D.
解题突破
⑦折叠可以在保持角的度数不变的条件下，将角的位置进行转移．
∠DEA的正切值与∠CBA的正切值相等吗？
13．如图28－1－25，点P(12，a)在反比例函数y＝的图象上，PH⊥x轴于点H，则tan∠POH的值为________．
图28－1－25
14．⑧已知正方形ABCD的边长为2，P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是__________．
易错警示
⑧不要把点P在直线CD上理解为点P在线段CD上，否则会导致漏解.
15．⑨如图28－1－26是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为________．
图28－1－26
解题突破
⑨若设小正方形EFGH的边长是a，则大正方形ABCD的面积如何表示？图中直角三角形的边长也能用a表示吗？
16.⑩阅读理解题：利用45°角的正切，求tan22.5°的值，方法如下：
解：构造Rt△ABC，其中∠C＝90°，∠ABC＝45°，如图28－1－27.延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，则∠D＝∠ABC＝22.5°.设AC＝a，则BC＝a，AB＝BD＝a.又∵CD＝BC
11
＋BD＝(1＋)a，∴tan22.5°＝tanD＝＝＝－1.
请你仿照此法求tan15°的值．
图28－1－27
模型建立
⑩若已知一个锐角的正切值，利用阅读理解的方法，可以求这个角的一半的正切值.
命题点 4 正切函数的简单应用 [热度：95%]
17．如图28－1－28，在边长为12的正方形ACBE中，D是边AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为( )
图28－1－28
A．4 B．2 C．2 D．2
18.⑪如图28－1－29，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使CD＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为( )
图28－1－29
A. B. C. D.
解题突破
⑪思维一：构造以∠CAD为一锐角的直角三角形求解；
思维二：将∠CAD转移到某个直角三角形中，通过求与其相等的角的正切值得解.
19．如图28－1－30，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E.如果BC＝8，tanA＝，那么BD＝________．
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图28－1－30
命题点 5 锐角三角函数的综合应用 [热度：95%]
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA∶sinB＝3∶4，则tanA的值是( )
A. B. C. D.
21．⑫如图28－1－31，在Rt△ABO中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC＝36°，则( )
图28－1－31
A．点B到AO的距离为sin54°
B．点B到AO的距离为tan36°
C．点A到OC的距离为sin36°·sin54°
D．点A到OC的距离为cos36°·sin54°
解题突破
⑫点B到AO的距离是线段BO的长，过点A作AD⊥OC于点D，则AD的长就是点A到OC的距离．
22．在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则cosB＝________．
23．如图28－1－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1.
(1)求BC的长；(2)求tan∠DAE的值．
图28－1－32
24.⑬已知：如图28－1－33，CA⊥OA，E，F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE.
(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
(2)锐角的正切函数值随角度的增大而________．
11
图28－1－33
模型建立
⑬锐角的正切函数值随角度的增大而增大.
25．⑭在如图28－1－34所示的直角三角形中，我们知道sinα＝，cosα＝，tanα＝，∴sin2α＋cos2α＝＋＝＝1.即一个角的正弦和余弦的平方和为1.
(1)请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
(2)请你利用上面探究的结论解答下列问题：已知α为锐角，且tanα＝，求的值．
图28－1－34
模型建立
⑭由本题可得到同角正弦、余弦的数量关系，以及同角正弦、余弦与正切之间的关系．
(1)sin2A＋cos2A＝1；(2)tanA＝.
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详解详析
1．A 2.B
3．D [解析] 由勾股定理得OA＝＝5，
所以cosα＝.故选D.
4．D [解析] 连接BD，如图．
由勾股定理得
AB＝＝，
AD＝＝2 ，BD＝＝，
∴AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，
∴cosA＝＝＝.
故选D.
5．D [解析] 连接CE，则其必过A点，由同弧所对的圆周角相等可得∠ECO＝∠OBE，所以cos∠OBE＝cos∠ECO＝＝OC.
6．A [解析] 当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝－4，
∴直线y＝x＋3与x轴，y轴的交点坐标分别为A(－4，0)，B(0，3)，∴OA＝4，OB＝3.
由勾股定理，得AB＝5，则cos∠BAO＝＝.
7. [解析] 设圆锥的底面圆的半径为r，依题意得2πr××11＝55π，解得r＝5，
则圆锥的高为＝4 ，所以cosα＝.
8．A [解析] 因为cos∠BDC＝＝，所以CD＝BD.又因为MN垂直平分AB，所以BD＝AD，所以BD＋BD＝AC＝8 cm，所以BD＝5 cm，CD＝3 cm，所以BC＝4 cm.
9．9 [解析] 由题意得cosB＝＝.又因为AB＝15，所以BC＝9.
10．C [解析] 在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m，正切值为对边比邻边，故斜坡与水平地面的夹角的正切值＝＝.故选C.
11．D [解析] 过点O作OC⊥AB于点C.因为AB＝8 cm，所以AC＝BC＝4 cm.因为OA＝5 cm，所以OC＝3 cm.又因为BC＋BP＝CP＝6 cm，所以tan∠OPA＝＝.
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12．A [解析] 由折叠可得∠EBD＝∠EDB，∠BDC＝∠BDM.因为∠BDM＋∠EBD＝90°，所以∠BDC＋∠EDB＝90°，即∠EDC＝90°，所以DE∥BC，所以∠DEA＝∠ABC，所以tan∠DEA＝tan∠ABC＝＝.
13. [解析] ∵点P(12，a)在反比例函数y＝的图象上，∴a＝＝5.∵PH⊥x轴于点H，
∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH＝.
14．2或 [解析] 此题有两种情况：当点P在边CD上时，
∵BC＝2，DP＝1，∠C＝90°，∴CP＝1，
∴tan∠BPC＝＝2；
当点P在边CD的延长线上时，
∵DP＝1，DC＝2，∴CP＝3.
又∵BC＝2，∠C＝90°，∴tan∠BPC＝＝.∴tan∠BPC的值是2或.
15. [解析] 设小正方形EFGH的边长是a，则小正方形EFGH的面积是a2，大正方形ABCD的面积是13a2.
∵图中的四个直角三角形是全等的，
∴AE＝DH，
设AE＝DH＝x，在Rt△AED中，AD2＝AE2＋DE2，即13a2＝x2＋(x＋a)2，
解得x1＝2a，x2＝－3a(舍去)，
∴AE＝2a，DE＝3a，
∴tan∠ADE＝＝＝.
16．解：构造Rt△ABC，其中∠C＝90°，∠ABC＝30°，如图，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，则∠D＝∠ABC＝15°，设AC＝a，则由构造的三角形得：AB＝2a，BC＝a，BD＝2a，则CD＝2a＋a＝(2＋)a，∴tan15°＝tanD＝＝＝2－.
17．A [解析] 过点D作DF⊥AB于点F，由∠CAB＝45°，得DF＝AF.又tan∠DBA＝＝，所以6AF＝AB＝12 ，所以AF＝2 ，所以AD＝AF＝4.
18．D [解析] 如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
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∵tanB＝，即＝，
∴设AD＝5x(x＞0)，则AB＝3x.
∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，∴＝＝＝，
∴CE＝x，DE＝x，∴AE＝x，
∴tan∠CAD＝＝.
19. [解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanA＝，∴AC＝＝＝6，∴AB＝＝10，cosB＝＝.∵边AB的垂直平分线交边AB于点E，∴BE＝AB＝5.∵在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∴cosB＝＝，∴BD＝＝.
20．A
21．C [解析] ①∵AB∥OC，
∴∠BAO＝∠AOC＝36°.
∵在Rt△BOA中，∠BOA＝90°，AB＝1，∴sin36°＝，
∴BO＝ABsin36°＝sin36°，
故选项A，B均错误；
②如图，作AD⊥OC，垂足为D.
∵∠BAO＝36°，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝54°.
在Rt△AOD中，sin∠AOD＝sin36°＝，
∴AD＝AO·sin36°.
在Rt△ABO中，sin∠ABO＝sin54°＝，
∴AO＝AB·sin54°，
∴AD＝AB·sin54°·sin36°＝sin54°·sin36°，故选项C正确，选项D错误．故选C.
22.
23．解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
11
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2 ，
∴BC＝BD＋DC＝2 ＋1.
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝＋，
∴DE＝CE－CD＝－，
∴tan∠DAE＝＝－.
24．解：(1)证明：∵CA⊥OA，
∴△FOA和△EOA均为直角三角形，
∴tan∠AOF＝，tan∠AOE＝.
∵AF＞AE，∴tan∠AOF＞tan∠AOE.
(2)由(1)可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．故填“增大”．
25．解：(1)∵sinα＝，cosα＝，tanα＝，
∴＝＝＝tanα，即tanα＝.
(2)∵tanα＝，∴＝，∴2sinα＝cosα，
∴＝＝＝－.
【关键问答】
①在直角三角形中，一个锐角的余弦是这个角的邻边与斜边的比．
②在直角三角形中，一个锐角的正切是这个角的对边与邻边的比．
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