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小题提速练(二)
(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝，则A∩B＝( )
A．[1,2] B．(1,2]
C．[1,3] D．(1,3]
解析：选B.解不等式x2－4x＋3≤0，得1≤x≤3，∴A＝[1,3]，解不等式≥1，得1＜x≤2，∴B＝(1,2]，∴A∩B＝(1,2]．
2．复数的共轭复数为( )
A．－＋i B．－－i
C．－1＋3i D．－1－3i
解析：选B.∵＝＝＝－＋i.∴的共轭复数为－－i.
3．函数f(x)＝cos，x∈[0，π]的单调递增区间是( )
A. B.
C.， D.
解析：选C.由2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)＝cos，x∈[0，π]的单调递增区间是，.
4．在区间[－π，π]上随机取一个数x，使cos x∈的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.∵y＝cos x是偶函数，∴只研究[0，π]上的情况即可，解≤cos x≤，得≤x≤
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，∴所求概率P＝＝.
5．已知双曲线的中心在原点，一条渐近线方程为y＝x，且它的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选C.由已知，双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1(a＞0，b＞0)，∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴＝.
又∵抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，∴c＝2，a＝4，b＝2，∴此双曲线的方程为－＝1.
6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C．6 D.
解析：选D.根据三视图可知，几何体是由棱长为2的正方体切去两个三棱锥得到的几何体，如图所示，∴该几何体的体积为2×2×2－××2＝.
7．若2cos2＝，则cos＝( )
A. B．－
C. D．－
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解析：选A.∵cos＝2cos2－1＝，
∴cos＝2cos2－1＝－，
∴cos＝cos＝－cos＝.
8．执行如图所示的程序框图，若输入n＝11，则输出的S＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.∵＝(i≥3)，∴执行程序框图，输出的结果是数列(i≥3)的前n项中所有奇数项的和，即
S＝0＋＝，若n＝11，则输出的S＝0＋×＝×＝.
9．数列{an}中，满足an＋2＝2an＋1－an，且a1，a4 035是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－6的极值点，则log2a2 018的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A.根据题意，可知an＋2－an＋1＝an＋1－an，即数列{an}是等差数列．又f′(x)＝x2－8x＋6，所以a1＋a4 035＝8＝2a2 018，所以log2a2 018＝log24＝2.
10．如图为2016年春节文艺晚会初审中五名评委对甲、乙两个节目的综合评分，其中a＞0，b＞0，已知甲、乙两个节目的平均得分之和为179，则＋的最小值为( )
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A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C.甲的得分分别为88,89,90,90＋a,92
乙的得分分别为83,83,87,90＋b,99
由题意得[88＋89＋90＋90＋a＋92]＋[83＋83＋87＋90＋b＋99]＝179.
解得a＋b＝4，
故＋＝×＝＋＋＋＝＋＋≥＋2＝＋2×＝4，当且仅当＝，即3a＝b＝3时，等号成立，
所以＋的最小值为4.
11．已知向量a，b满足a·(a＋2b)＝0，|a|＝|b|＝1，且|c－a－2b|＝1，则|c|的最大值为( )
A．2 B．4
C.＋1 D.＋1
解析：选D.解法一：因为a·(a＋2b)＝0，所以2a·b＝－|a|2，又|a|＝|b|＝1，所以|a＋2b|＝＝＝，所以|c|max＝||＋1＝|a＋2b|＋1＝＋1.
解法二：如图，连接AB，设a＝，a＋2b＝，c＝，且设点A在x轴上，则点B在y轴上，由|c－a－2b|＝1，可知|c－(a＋2b)|＝|－|＝||＝1，所以点C在以B为圆心，1为半径的圆上．
因为＝＋＝a＋2b，所以＝2b.
因为|a|＝|b|＝1，所以||＝2，||＝1，所以||＝＝，
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所以|c|max＝||＋1＝＋1.
12．对于函数f(x)和g(x)，设a∈{x|f(x)＝0}，b∈{x|g(x)＝0}，若存在a，b使得|a－b|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex＋x－e－1与g(x)＝x2－mx－2m＋5互为“零点相邻函数”，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.∵函数y＝ex，y＝x－e－1均为单调递增函数，∴函数f(x)为单调递增函数，∵f(1)＝0，∴函数f(x)的零点为1，设g(x)的零点为b，
则|1－b|≤1，∴0≤b≤2.∵g(x)＝x2－mx－2m＋5的图象必过点(－2,9)，要使g(x)在[0,2]上有零点，则g(0)·g(2)≤0或
解得2≤m≤.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)
13．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z取得最大值．
由得则zmax＝2×2－1＝3.
答案：3
14．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．
解析：成绩低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3，故所求的人数为＝50.
答案：50
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15．在△ABC中，＝2，△ABC的面积为6，若＝＋，则△ABP的面积为________．
解析：如图，在AB上取点E使＝
∵＝2，D是AC的中点，
∴＝.
以AD，AE为邻边作平行四边形ADPE
则＝＋＝＋，又△ABP与△ABD同底AB且等高，∴S△ABP＝S△ABD
∴S△ABP＝S△ABD＝S△ABC＝3.
答案：3
16．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3(a＞0)互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1.设g(x)＝x2－ax－a＋3的零点为b，若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b|≤1，所以0≤b≤2.由于g(x)＝x2－ax－a＋3必经过点(－1,4)，所以要使其零点在区间[0,2]上，则g(0)≥0⇒－a＋3≥0，即a≤3，则对称轴≤，从而可得g＝2－a·－a＋3≤0，即a2＋4a－12≥0，解得，a≥2或a≤－6，又a＞0，则a≥2，所以2≤a≤3.
答案：[2,3]
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