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大题规范练(一)
(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin 2Ccos C－sin 3C＝(1－cos C)．
(1)求角C；
(2)若c＝2，且sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
解：(1)由2sin 2Ccos C－sin 3C＝(1－cos C)，
得sin 2Ccos C－cos 2Csin C＝－cos C，
化简得sin C＝－cos C，
即sin C＋cos C＝，所以sin＝，
又C为△ABC的内角，
所以C＋＝，故C＝.
(2)由已知可得，sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin 2A，
可得sin Bcos A＝2sin Acos A.
所以cos A＝0或sin B＝2sin A.
当cos A＝0时，A＝，则b＝，S△ABC＝·b·c＝××2＝.
当sin B＝2sin A时，由正弦定理得b＝2a.
由cos C＝＝＝，得a2＝，
所以S△ABC＝·b·a·sin C＝·2a·a·＝a2＝.
综上可知，S△ABC＝.
2．(本小题满分12分)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.
抗倒伏
易倒伏
7 7 3
14
9 7 3 3 1
15
1
9 6 4 0
16
7
5 5 4
17
5 8
8 8 0
18
1 2 6 6 7
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9 5 5 2
19
0 0 3 4 5 8 9 9
6 6 3
20
2 2 3
(1)列出2×2列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？
(2)(ⅰ)按照分层抽样的方法，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X，求X的分布列(概率用组合数算式表示)；
(ⅱ)若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差．
附：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
解：(1)根据统计数据得2×2列联表如下：
抗倒伏
易倒伏
合计
矮茎
15
4
19
高茎
10
16
26
合计
25
20
45
由于K2＝≈7.287＞6.635，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
(2)(ⅰ)按照分层抽样的方法抽到的易倒伏玉米共4株，则X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(ⅱ)在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占，即每次取出高茎玉米的概率均为，设取出高茎玉米的株数为ξ，则ξ～B，即E(ξ)＝np＝50×＝20，D(ξ)＝np(1－p)＝50××＝12.
3．(本小题满分12分)如图(1)所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E为AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE
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的位置，如图(2)所示．
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，BE∥CD，故BE⊥OA1，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC.
又因为CD∥BE，
所以CD⊥平面A1OC.
(2)如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则B，E，
A1，C，
得＝，＝，＝＝(－，0,0)．
设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD所成的锐二面角为θ，
则，得，取x1＝1得n1＝(1,1,1)；
由得，
取y2＝1得n2＝(0,1,1)，
从而cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，
即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为.
4．(本小题满分12分)已知中心在原点，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A
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，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C1：＋＝1(m＞n＞0)，椭圆C2＝＋＝λ(λ＞0且λ≠1)，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于M，N两点，求弦长|MN|的取值范围．
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(－a，0)，B(0，b)，∴直线AB的方程为＋＝1，整理得－bx＋ay－ab＝0，
∴F1(－1,0)到直线AB的距离d＝＝b，
整理得a2＋b2＝7(a－1)2，
又b2＝a2－c2，故a＝2，b＝，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为＋＝1，
①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝2.
②若切线l不垂直于x轴，可设其方程为y＝kx＋d，
将y＝kx＋d代入椭圆C的方程中，
整理得(3＋4k2)x2＋8kdx＋4d2－12＝0，
∵直线l与椭圆C相切，
∴Δ＝(8kd)2－4(3＋4k2)(4d2－12)＝48(4k2＋3－d2)＝0，即d2＝4k2＋3.
记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
将y＝kx＋d代入椭圆C2的方程，得
(3＋4k2)x2＋8kdx＋4d2－36＝0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝＝把d2＝4k2＋3代入得|x1－x2|＝
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，
∴|MN|＝·|x1－x2|＝4 ＝
2 .
∵3＋4k2≥3，∴1＜1＋≤，
即2＜2 ≤4.
综上，弦长|MN|的取值范围为[2，4]．
5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a(x2－1)－ln x.
(1)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的值；
(2)若f(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2ax－，
∵f(x)在x＝2处取得极小值，∴f′(2)＝0，a＝.
经验证，x＝2是f(x)的极小值点，故a＝.
(2)f′(x)＝2ax－，
①当a≤0时，f′(x)＜0，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，
∴当x＞1时，f(x)＜f(1)＝0，这与f(x)≥0矛盾．
②当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞；令f′(x)＜0，得0＜x＜.
(ⅰ)若＞1，即0＜a＜，当x∈时，f′(x)＜0，
∴f(x)在上单调递减，
∴f(x)＜f(1)＝0，与f(x)≥0矛盾．
(ⅱ)若≤1，即a≥，当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(1)＝0，满足题意．
综上，a≥.
请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
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在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(a为参数)，直线l：x－y－6＝0.
(1)在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出最大值；
(2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点之间的距离之积．
解：(1)设点P(cos a，sin a)，则点P到直线l的距离d＝＝，
∴当sin＝－1时，dmax＝4，
此时，cos a＝－，sin a＝，P点坐标为.
(2)曲线C的普通方程为＋y2＝1，即x2＋3y2＝3，由题意知，直线l1的参数方程为(t为参数)，代入x2＋3y2＝3中化简得，
2t2－t－2＝0，得t1t2＝－1，
由参数的几何意义得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝1.
7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|.
(1)解不等式f(x)≤5；
(2)若不等式m2－m＜f(x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝
∴原不等式等价于或或，解得－≤x＜或≤x≤或≤x≤，
∴不等式f(x)≤5的解集为.
(2)∵f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|≥|2x－1－(2x－3)|＝2，
∴m2－m＜f(x)min＝2，即m2－m－2＜0，
∴－1＜m＜2.
故m的取值范围是(－1,2)．
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