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大题规范练(二)
(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2＋(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)∵{an}为等差数列，
∴⇒⇒an＝2n＋1.
(2)∵bn＝2＋(－1)n·an＝22n＋1＋(－1)n·(2n＋1)＝2×4n＋(－1)n·(2n＋1)，
∴Tn＝2×(41＋42＋…＋4n)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n＋1)]＝＋Gn.
当n＝2k(k∈N*)时，Gn＝2×＝n，∴Tn＝＋n；
当n＝2k－1(k∈N*)时，Gn＝2×－(2n＋1)＝－n－2，
∴Tn＝－n－2，
∴Tn＝
2．(本小题满分12分)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中将均可获得奖金400元．
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
解：(1)P(X＝0)＝＋××＝，P(X＝500)＝×＝，P(X＝1 000)＝××＝，
∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X
0
500
1 000
P
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(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1 000×＝520，
若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B，则E(ξ)＝3×＝，抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，
故选择方案甲较划算．
3．(本小题满分12分)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；
(2)若正四棱锥PABCD的高为1，求二面角CAFP的余弦值．
解：(1)证明：∵直三棱柱ADEBCF中，AB⊥平面ADE，
∴AB⊥AD，又AD⊥AF，AB∩AF＝A，
∴AD⊥平面ABFE，∵AD⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABFE.
(2)∵AD∥BC，AD⊥平面ABFE，∴BC⊥平面ABFE，且AB⊥BF，建立以B为坐标原点，BA，BF，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
∵正四棱锥PABCD的高为1，AE＝AD＝2，
∴A(2,0,0)，E(2,2,0)，F(0,2,0)，C(0,0,2)，P(1，－1,1)，
∴＝(－2,2,0)，＝(0,2，－2)，＝(1,1，－1)，
设n1＝(x1,1，z1)是平面ACF的一个法向量，则n1⊥，n1⊥，
∴，即，
解得x1＝1，z1＝1，即n1＝(1,1,1)．
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设n2＝(x2,1，z2)是平面PAF的一个法向量，则n2⊥，n2⊥，
∴，即，
解得x2＝1，z2＝2，即n2＝(1,1,2)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，
又二面角CAFP是锐角，
∴二面角CAFP的余弦值是.
4．(本小题满分12分)已知椭圆C1的焦点在x轴上，中心在坐标原点；抛物线C2的焦点在y轴上，顶点在坐标原点．在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：
x
3
－2
4
y
0
8
(1)求C1，C2的标准方程；
(2)已知定点C，P为抛物线C2上一动点，过点P作抛物线C2的切线交椭圆C1于A，B两点，求△ABC面积的最大值．
解：(1)设C1：＋＝1(a＞b＞0)，由题意知，点(－2,0)一定在椭圆上，则点也在椭圆上，分别将其代入，得＝1，＋＝1，解得a2＝4，b2＝1，
∴C1的标准方程为＋y2＝1.
设C2：x2＝2py(p＞0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线C2的方程，得p＝1，
∴C2的标准方程为x2＝2y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P，
由y＝x2知y′＝x，故直线AB的方程为y－t2＝t(x－t)，
即y＝tx－t2，代入椭圆C1的方程，整理得
(1＋4t2)x2－4t3x＋t4－4＝0，
Δ＝16t6－4(1＋4t2)(t4－4)＝4(－t4＋16t2＋4)＞0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝＝，
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设点C到直线AB的距离为d，则d＝＝·，
∴S△ABC＝×|AB|×d＝×××＝＝
≤＝，当且仅当t＝±2时，取等号，此时满足Δ＞0.
综上，△ABC面积的最大值为.
5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ax2(x＞0，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)当a＝2时，求证：f(x)＞1；
(2)是否存在正整数a，使得f′(x)≥x2ln x对一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：当a＝2时，f(x)＝ex－x2，则
f′(x)＝ex－2x，
令f1(x)＝f′(x)＝ex－2x，则f′1(x)＝ex－2，
令f′1(x)＝0，得x＝ln 2，又0＜x＜ln 2时，f′1(x)＜0，x＞ln 2时，f′1(x)＞0，
∴f1(x)＝f′(x)在x＝ln 2时取得极小值，也是最小值．
∵f′(ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
∴f(x)＞f(0)＝1.
(2)由已知，得f′(x)＝ex－ax，
由f′(x)≥x2ln x，得ex－ax≥x2ln x对一切x＞0恒成立，当x＝1时，可得a≤e，∴若存在，则正整数a的值只能取1,2.
下面证明当a＝2时，不等式恒成立，
设g(x)＝－－ln x，则g′(x)＝＋－＝，
由(1)得ex＞x2＋1≥2x＞x，∴ex－x＞0(x＞0)，
∴当0＜x＜2时，g′(x)＜0；当x＞2时，g′(x)＞0.
∴g(x)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．
∴g(x)≥g(2)＝(e2－4－4ln 2)＞×(2.72－4－4ln 2)＞(3－ln 16)＞0，
∴当a＝2时，不等式f′(x)≥x2ln x对一切x＞0恒成立，
故a的最大值是2.
请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
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6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为sin θ－ρcos2θ＝0.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．
解：(1)∵sin θ－ρcos2θ＝0，∴ρsin θ－ρ2cos2θ＝0，
即C的直角坐标方程为y－x2＝0.
(2)将代入y－x2＝0得，
＋t－2＝0，即t＝0，
从而，交点坐标为(1，)，
∴直线l与曲线C交点的一个极坐标为.
7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m＞0)．
(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)＜|2＋t|＋|t－1|恒成立；求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝|x－m|－|x＋3m|
＝
当m＝1时，由，或，或(无解)得x≤－，
∴不等式f(x)≥1的解集为{x|x≤－}．
(2)不等式f(x)＜|2＋t|＋|t－1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)＜(|2＋t|＋|t－1|)min恒成立，即[f(x)]max＜(|2＋t|＋|t－1|)min，
∵f(x)＝|x－m|－|x＋3m|≤|(x－m)－(x＋3m)|＝4m，
|2＋t|＋|t－1|≥|(2＋t)－(t－1)|＝3，
∴4m＜3，又m＞0，∴0＜m＜.
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