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小题提速练(三)
(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0}，N＝{x|log2x＜0}，则M∩N等于( )
A．(－1,0) B．(－1,1)
C．(0,1) D．(1,3)
解析：选C.由题干条件可知，M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝{x|0＜x＜1}．
2．若复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是( )
A．－ B．±
C．±i D.i
解析：选B.复数z的实部为1，设z＝1＋bi，|z|＝2，可得＝2，解得b＝±，复数z的虚部是±.
3．若命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cos α；命题q：∀x∈R，x2＋1＞0，则下面结论正确的是( )
A．p是假命题 B．﹁q是真命题
C．p∧q是假命题 D．p∨q是真命题
解析：选D.当α＝时，cos＝cos＝0，
∴命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cos α是真命题，∵∀x∈R，x2＋1≥1＞0，∴命题q是真命题，∴A中p是假命题是错误的；B中﹁q是真命题是错误的；C中p∧q是假命题是错误的；D中p∨q是真命题是正确的．
4．如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值等于( )
A．0.120 B．0.180
C．0.012 D．0.018
解析：选D.由30×0.006＋10×0.01＋10×0.054＋10x＝1，解得x＝0.018.
5．若一个三棱锥的三视图如图所示
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，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由题意可知，该几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．
6．若函数f(x)＝则f(f(e))＝(其中e为自然对数的底数)( )
A．0 B．1
C．2 D．(e2＋1)
解析：选C.由题意得，f(e)＝ln e＝1，所以f(f(e))＝f(1)＝1＋1＝2.
7．函数f(x)＝cos x的图象大致为( )
解析：选C.依题意，注意到f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝cos x＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A，B均不正确；当0＜x＜1时，＜0，cos x＞0，f(x)＜0，因此结合选项知，C正确，选C.
8．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋＜t，则实数t的取值范围为( )
A. B.
C. D.
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解析：选D.依题意得，当n≥2时，an＝＝＝2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，＝，数列{}是以为首项，为公比的等比数列，等比数列{}的前n项和等于＝＜，因此实数t的取值范围是，选D.
9．若函数f(x)＝2sin(－2＜x＜14)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则(＋)·＝(其中O为坐标原点)( )
A．－32 B．32
C．－72 D．72
解析：选D.由f(x)＝2sin＝0可得x＋＝kπ，∴x＝8k－2，k∈Z，∵－2＜x＜14，∴x＝6即A(6,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，∴B，C两点关于点A对称即x1＋x2＝12，y1＋y2＝0，则(＋)·＝(x1＋x2，y1＋y2)·(6,0)＝6(x1＋x2)＝72.
10．双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2＝12x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为( )
A．6 B．2
C. D．2
解析：选D.由题意可得双曲线C1的一个焦点为(3,0)，
∴c＝3，可设双曲线C1的标准方程为－＝1，由解得y＝±，∴2×＝4，解得a＝，∴双曲线C1的实轴长为2a＝2.
11．已知点P是椭圆＋＝1上非顶点的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是( )
A．[0,3) B．(0,2)
C．[2，3) D．(0,4]
解析：选B.如图，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时||取最小值0.当点P在椭圆与x轴交点时，点M与焦点F
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1重合，此时||取大值2.∵xy≠0，∴||的取值范围是(0,2)．
12．已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象在A，B两点处的切线重合，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，－1) B．(1,2)
C．(－1，＋∞) D．(－ln 2，＋∞)
解析：选C.当x＜0时，f(x)＝x2＋x＋a的导数为f′(x)＝2x＋1；当x＞0时，f(x)＝ln x的导数为f′(x)＝，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2，当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2，当x1＜0时，函数f(x)在点A(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x＋x1＋a)＝(2x1＋1)(x－x1)；当x2＞0时，函数f(x)在点B(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，两直线重合的充要条件是＝2x1＋1①，ln x2－1＝－x＋a②，由①及x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②得a＝ln x2＋2－1，令t＝，则0＜t＜1，且a＝－ln t＋t2－t－，设h(t)＝－ln t＋t2－t－(0＜t＜1)，则h′(t)＝－＋t－＜0，即h(t)在(0,1)为减函数，则h(t)＞h(1)＝－ln 1－1＝－1，则a＞－1，可得函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围是(－1，＋∞)．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)
13．若直线ax－by＋1＝0平分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是________．
解析：∵直线ax－by＋1＝0平分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，
∴直线ax－by＋1＝0过圆C的圆心(－1,2)，
∴有a＋2b＝1，∴ab＝(1－2b)b＝－22＋≤，
∴ab的取值范围是.
答案：
14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i值为________．
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解析：由程序框图知：程序第一次运行n＝10，i＝2；第二次运行n＝5，i＝3；第三次运行n＝3×5＋1＝16，i＝4；第四次运行n＝8，i＝5；第五次运行n＝4，i＝6；第六次运行n＝2，i＝7；第七次运行n＝1，i＝8.满足条件n＝1.程序运行终止，输出i＝8.
答案：8
15．已知变量x，y满足约束条件且目标函数z＝3x＋y的最小值为－1，则实常数k＝________.
解析：由题意作出目标函数的平面区域如图所示，
结合图象可知，当过点A(x,2)时，目标函数z＝3x＋y取得最小值－1，故3x＋2＝－1，解得x＝－1，故A(－1,2)，故－1＝4×2－k，故k＝9.
答案：9
16．在一个棱长为4的正方体内，最多能放入________个直径为1的球．
解析：根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数：16＋9＋16＋9＋16＝66(个)．
答案：66
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