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课下能力提升(四)
[学业水平达标练]
题组1 用三段论表示演绎推理
1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )
A．演绎推理 B．类比推理
C．合情推理 D．归纳推理
2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
3．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
题组2 用三段论证明几何问题
4．有一段演绎推理是这样的：“若一直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.
求证：AB⊥DE.
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6．如图所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．求证：O为△BCD的垂心．
题组3 用三段论证明代数问题
7．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
8．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．
9．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
[能力提升综合练]
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
2．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故该奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是( )
A．小前提错误 B．结论错误
C．正确的 D．大前提错误
A．直角梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
4．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A
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，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
6．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；
③f(x)的最小值是lg 2;
④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的序号是________．
7．已知2sin2α＋sin2β＝3sin α，求sin2α＋sin2β的取值范围．
8．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
(1)求证：|c|≤1；
(2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2.
答案
[学业水平达标练]
1．答案：A
2．答案：B
3．解析：选A A是演绎推理，B是归纳推理，C，D是类比推理.
4．解析：选A “直线与平面平行”，不能得出“直线平行于平面内的所有直线”，即大前提错误．
5．证明：在△ABD中，
∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴BD＝＝2.
∴AB2＋BD2＝AD2.
∴AB⊥BD.
又平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
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∵DE⊂平面EBD，
∴AB⊥DE.
6．证明：如图，连接BO，CO，DO.
∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，
∴AD⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，
∴AD⊥BC.
∵AO⊥平面BCD，
∴AO⊥BC，
又AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心．
7．解析：选A 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然结论错误，原因是大前提错误．
8．解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；
小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；
结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
9．解：(1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
因为当x＞0时，f(x)＜0，
所以f(x2－x1)＜0，
即f(x2)－f(x1)＜0，
所以f(x)为减函数，
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所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．
因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6，
所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.
[能力提升综合练]
1．解析：选A B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
2．答案：C
3.
4．解析：选C A错：因为自然数集对减法和除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
5．解析：由题意，知f(0)＝0，
f(1)＝f(0)＝0，
f(2)＝f(－1)＝0，
f(3)＝f(－2)＝0，
f(4)＝f(－3)＝0，
f(5)＝f(－4)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
答案：0
6．解析：∵f(x)是偶函数，
∴①正确；
当x＞0时，f(x)＝lg＝lg≥lg 2，
当且仅当x＝1时取等号，
∴0＜x＜1时，f(x)为减函数；
x＞1时，f(x)为增函数．x＝1时取得最小值lg 2.
又f(x)为偶函数，
∴－1＜x＜0时，f(x)为增函数；
x＜－1时，f(x)为减函数．x＝－1时取得最小值lg 2.
∴③④也正确．
答案：①③④
7．解：由2sin2α＋sin2β＝3sin α，
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得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sin α＝－2＋，且sin α ≥0，
∵0≤sin2β ≤1，sin2β ＝3sin α－2sin2α，
∴0≤3sin α－2sin2α≤1.
解得sin α＝1或0≤sin α ≤.
令y＝sin2α＋sin2β，
当sin α＝1时，y＝2;
当0≤sin α≤时，0≤y≤，
∴sin2α＋sin2β的取值范围是∪{2}．
8．证明：(1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，
所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，
所以|c|≤1.
(2)当a＞0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，
所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．
又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，
g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，
所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，
又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，
所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，
所以－2≤g(x)≤2.
当a＜0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2.
当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，
g(x)＝f(1)－c，
所以－2≤g(x)≤2.
综上所述，－2≤g(x)≤2.
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