由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
课下能力提升(三)
[学业水平达标练]
题组1 数(式)中的归纳推理
1.已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,则数列的第k项是( )
A.ak+ak+1+…+a2k B.ak-1+ak+…+a2k-1
C.ak-1+ak+…+a2k D.ak-1+ak+…+a2k-2
2.如图所示,n个连续自然数按规律排列如下:
根据规律,从2 014到2 016的箭头方向依次为( )
A.→↑ B.↑→ C.↓→ D.→↓
3.根据给出的等式猜测123 456×9+7等于( )
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1 111
1 234×9+5=11 111
12 345×9+6=111 111
A.1 111 110 B.1 111 111
C.1 111 112 D.1 111 113
4.设函数f(x)=(x>0),观察:
f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,
f3(x)=f(f2(x))=,
f4(x)=f(f3(x))=,
…
根据以上事实,由归纳推理可得:
当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.
题组2 图形中的归纳推理
5.如图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色( )
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
A.白色 B.黑色
C.白色可能性大 D.黑色可能性大
6.如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项,则这个数列的一个通项公式为( )
A.an=3n-1 B.an=3n
C.an=3n-2n D.an=3n-1+2n-3
7.如图所示,在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,将圆最多分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,将圆最多分割成7部分;画四条线段,彼此最多分割成16条线段,将圆最多分割成11部分.
猜想:在圆内画n(n≥2)条线段,彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?
题组3 类比推理
8.已知{bn}为等比数列,b5=2,且b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为( )
A.a1a2a3…a9=29
B.a1+a2+…+a9=29
C.a1a2…a9=2×9
D.a1+a2+…+a9=2×9
9.在平面中,△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比=,将这个结论类比到空间:在三棱锥ABCD中,平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E,则类比的结论为________.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
10.在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β,则cos2α+cos2β=1,在立体几何中,通过类比,给出猜想并证明.
[能力提升综合练]
1.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 016的末两位数字为( )
A.01 B.43 C.07 D.49
2.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:
那么下列4个图形中,
可以表示A*D,A*C的分别是( )
A.(1),(2) B.(1),(3)
C.(2),(4) D.(1),(4)
3.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:
他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,________,________,成等比数列.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
5.将正整数排成下表:
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
……
则在表中数字2 016出现在第________行,第________列.
6.已知椭圆具有以下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线-=1(a>0,b>0)写出具有类似特征的性质,并加以证明.
7.如图所示为m行m+1列的士兵方阵(m∈N*,m≥2).
(1)写出一个数列,用它表示当m分别是2,3,4,5,…时,方阵中士兵的人数;
(2)若把(1)中的数列记为{an},归纳该数列的通项公式;
(3)求a10,并说明a10表示的实际意义;
(4)已知an=9 900,问an是数列第几项?
答案
[学业水平达标练]
1.解析:选D 利用归纳推理可知,第k项中第一个数为ak-1,且第k项中有k项,且次数连续,故第k项为ak-1+ak+…+a2k-2.
2.解析:选B 观察总结规律为:以4个数为一个周期,箭头方向重复出现.因此,
2 014到2 016的箭头方向和2到4的箭头方向是一致的.故选B.
3.解析:选B 由题中给出的等式猜测,应是各位数都是1的七位数,即1 111 111.
4.解析:根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…,可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=.
答案:
5.解析:选A 由图,知三白二黑周期性排列,36=5×
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
7+1,故第36颗珠子的颜色为白色.
6.解析:选A ∵a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,
∴猜想an=3n-1.
7.解:设圆内两两相交的n条线段,彼此最多分割成的线段为f(n)条,将圆最多分割为g(n)部分.
f(1)=1=12,
g(1)=2;
f(2)=4=22,
g(2)=4=2+2;
f(3)=9=32,
g(3)=7=2+2+3;
f(4)=16=42,
g(4)=11=2+2+3+4;
猜想:f(n)=n2,
g(n)=2+2+3+4+…+n=1+=.
即圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分割为n2条线段,将圆最多分割为部分.
8.解析:选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积),得a1+a2+…+a9=2×9.
9.解析:平面中的面积类比到空间为体积,
故类比成.
平面中的线段长类比到空间为面积,
故类比成.
故有=.
答案:=
10.解:如图①,在矩形ABCD中,cos2α+cos2 β=2+2===1.
于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ,
则cos2α+cos2β+cos2γ=1,
证明如下:
如图②,cos2α+cos2β+cos2γ
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
=2+2+2
===1.
[能力提升综合练]
1.解析:选A 因为71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,76=117 649,…,
所以这些数的末两位数字呈周期性出现,且周期T=4.又2 016=4×504,
所以72 016的末两位数字与74的末两位数字相同,为01.
2.解析:选C 由①②③④可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,
∴A*D是(2),A*C是(4).
3.解析:选C 记三角形数构成的数列为{an},则a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,可得通项公式为an=1+2+3+…+n=.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn=n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式,使得n都为正整数的只有1 225.
4.解析:等差数列类比于等比数列时,和类比于积,减法类比于除法,可得类比结论为:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.
答案:
5.解析:第n行有2n-1个数字,前n行的数字个数为1+3+5+…+(2n-1)=n2.
∵442=1 936,452=2 025,
且1 936<2 016<2 025,
∴2 016在第45行.
又2 025-2 016=9,
且第45行有2×45-1=89个数字,
∴2 016在第89-9=80列.
答案:45 80
6.解:类似的性质为:若M,N是双曲线-=1(a>0,b
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
>0)上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.
证明如下:设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),
则N(-m,-n).
因为点M(m,n)在已知的双曲线上,
所以-=1,
得n2=m2-b2.
同理,y2=x2-b2,则y2-n2=(x2-m2).
所以kPM·kPN=·==·=(定值).
所以kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.
7.解:(1)当m=2时,表示一个2行3列的士兵方阵,共有6人,依次可以得到当m=3,4,5,…时的士兵人数分别为12,20,30,….故所求数列为6,12,20,30,….
(2)因为a1=2×3,a2=3×4,a3=4×5,…,所以猜想an=(n+1)(n+2),n∈N*.
(3)a10=11×12=132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n+1)(n+2)=9 900,所以n=98,即an是数列的第98项,此时方阵为99行100列.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费