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课下能力提升(十)
[学业水平达标练]
题组1 复数的乘除运算
1．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i B．－1＋3i
C．－3＋3i D．－1＋i
2．i是虚数单位，复数＝( )
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
3．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i
4．(1)(1－i)(3＋2i)＋(2＋2i)2；(2)＋；
(3).
题组2 共轭复数
5．复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i
6．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值分别是________，________.
7．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
题组3 复数范围内的方程根问题
8．设x，y是实数，且＋＝，则x＋y＝________.
9．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
[能力提升综合练]
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝( )
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A. B. C．1 D．2
3．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i B．－2i C．2 D．－2
4．设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
5．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
6．若z＝－时，求z2 016＋z106＝________.
7．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
8．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
答案
[学业水平达标练]
题组1 复数的乘除运算
1．解析：选B 按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.
2．解析：选B ＝＝＝2－i.
3．解析：选A z＝＝＝＝3＋5i.
4．解：(1)原式＝(3＋2i－3i＋2)＋(4＋8i－4)
＝(5－i)＋8i＝5＋7i.
(2)原式＝＋
＝＋
＝(1－)＋(＋1)i－i＝(1－)＋i.
(3)原式＝＝＝＝2.
题组2 共轭复数
5．解析：选D z＝＝＝－1＋i，＝－1－i.
6．解析：∵x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，
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∴解得
答案：－1 1
7．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
题组3 复数范围内的方程根问题
8．解析：＋＝＋＝＋i，
而＝＝＋i，所以＋＝且＋＝，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
答案：4
9．解：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
[能力提升综合练]
1．解析：选A 由＝＝＝1＋3i得，该复数对应的点为(1,3)．
2．解析：选A 法一：z＝＝＝＝＝－＋i，
∴＝－－i.
∴z·＝＝＋＝.
法二：∵z＝，∴|z|＝＝＝.
∴z·＝|z|2＝.
3．解析：选B 法一：因为z＝1－i，
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所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，而＝＝＝＝－2i.
4．解析：选A 设z＝a＋bi(a， b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，
∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
5．解析：因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
答案：2
6．解析：z2＝2＝－i.
z2 016＋z106＝(－i)1 008＋(－i)53
＝(－i)1 008＋(－i)52·(－i)
＝1－i.
答案：1－i
7．解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1－2＝＝＝＝－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
8．解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，
∴7x－y＝0.①
又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
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