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阶段质量检测(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值 f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中( )
A．小前提错误 B．大前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－1
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A．■ B．△ C．□ D．○
4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )
A．各正三角形内任一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76 C．123 D．199
6．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是( )
A．a>b B．a2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
14．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
15．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
16．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜.
18．(本小题12分)已知实数x，且有a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求证：a，b，c中至少有一个不小于1.
19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
20．(本小题12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
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(2)求证：角B不可能是钝角．
21．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.
(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝(n＝1,2，…)，求证：数列{cn}是等差数列．
22．通过计算可得下列等式：
22－12＝2×1＋1；
32－22＝2×2＋1；
42－32＝2×3＋1；
…
(n＋1)2－n2＝2n＋1.
将以上各式两边分别相加，得(n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝.
类比上述方法，请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值．
答案
1．解析：选B 可导函数f(x)，若f′(x0)＝0且x0两侧导数值相反，则x＝x0是函数f(x)的极值点，故选B.
2．解析：选B 由所给的等式可以根据规律猜想得：9(n－1)＋n＝10n－9.
3．解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．
4．解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．
5．解析：选C 记an＋bn＝f(n)，
则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4，
f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；
f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.
通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，
则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；
f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；
f(8)＝f(6)＋f(7)＝47;
f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；
f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
6．解析：选B 要比较a与b的大小，由于c>1，
所以a>0，b>0，
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故只需比较与的大小即可，
而＝＝＋，
＝＝＋，
显然>，从而必有a
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