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第3讲 基本不等式
1．已知f(x)＝x＋－2(x0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B.由题意知ab＝1，所以m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，所以m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.
4．(2016·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，
所以xy≤＝＝1，所以≥1；
又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.
5．(2016·河北省五校联盟质量监测)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D．4
解析：选D.
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不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z＝ax＋by得y＝－x＋，当z变化时，它表示经过可行域的一族平行直线，其斜率为－，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4，6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12即2a＋3b＝6，所以＋＝·＝≥4，当且仅当a＝，b＝1时等号成立．
6．(2016·江西省五校联考)设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A．3＋2 B．6
C．4 D．2
解析：选A.由题意可知a＋b＝2，a＋b－1＝1，
所以＋＝(a＋b－1)
＝2＋＋＋1≥3＋2，
当且仅当＝，即a＝2－，b＝时取等号．
7．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
解析：由基本不等式得a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取到等号．
答案：2
8．(2016·江西省八所中学联考)已知点P(x，y)到A(0，4)和B(－2，0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________．
解析：由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x＋2y＝3，
所以2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时，等号成立，故2x＋4y的最小值为4.
答案：4
9．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5 8
10．(2016·厦门模拟)若当x>－3时，不等式a≤x＋恒成立，则a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x＋＝(x＋3)＋－3，
因为x>－3，所以x＋3>0，
故f(x)≥2 －3
＝2－3，
当且仅当x＝－3时等号成立，
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所以a的取值范围是(－∞，2－3]．
答案：(－∞，2－3]
11．设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
证明：由于a、b均为正实数，
所以＋≥2 ＝，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，
又因为＋ab≥2 ＝2，
当且仅当＝ab时等号成立，
所以＋＋ab≥＋ab≥2，
当且仅当即a＝b＝时取等号．
12．(2016·郑州质检)若正数x，y满足x＋2y＋4＝4xy，且不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解：因为正实数x，y满足x＋2y＋4＝4xy，
即x＋2y＝4xy－4，由不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，
即(4xy－4)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，
变形得2xy(2a2＋1)≥4a2－2a＋34恒成立，即xy≥恒成立．
又因为x>0，y>0，所以x＋2y≥2，
所以4xy＝x＋2y＋4≥4＋2，
即2()2－－2≥0，
所以≥或≤－(舍去)，可得xy≥2.
要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立．
化简得2a2＋a－15≥0，
解得a≤－3或a≥.
故a的取值范围是(－∞，－3]∪.
1．(2016·西安第一中学模拟)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：选C.由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3，
则＋＝＋＝＝.又a>1，b>1，所以ab≤＝3，所以lg ab≤lg 3，从而＋ ≤＝1，当且仅当a＝b＝时等号成立．
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2．(2016·抚州一模)已知正数a，b，c满足a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，则c的取值范围是________．
解析：因为正数a，b满足a＋b＝ab，所以ab≥2⇒()2－2≥0⇒≥2⇒ab≥4.由a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，
得c＝＝＝1＋.
因为ab≥4，所以ab－1≥3，所以00，且2x＋5y＝20.
求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)＋的最小值．
解：(1)因为x>0，y>0，
所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.
因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)因为x>0，y>0，
所以＋＝·
＝≥
＝.
当且仅当＝时，等号成立．
由解得
所以＋的最小值为.
4．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1. 5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
解：设AP＝x米，AQ＝y米．
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(1)则x＋y＝200，△APQ的面积S＝xy·sin 120°＝xy.
所以S≤＝2 500.
当且仅当即x＝y＝100时取“＝”．
(2)由题意得100×(x＋1.5y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40 000＝1.75＋，
当y＝时，PQ有最小值，此时x＝.
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