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第6讲 数学归纳法
1．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( )
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)
D．假设n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)
解析：选B.因为n为正奇数，所以n＝2k－1(k∈N*)．
3．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．
解析：当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________．
解析：因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.
答案：f(2n)>(n≥2，n∈N*)
5．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，
即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，
那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)
＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．
这就是说当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立．
6．(2014·高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由题意知S2＝4a3－20，所以S3＝S2＋a3＝5a3－20.
又S3＝15，所以a3＝7，S2＝4a3－20＝8.
又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，
所以a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.
综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.
(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．
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①当n＝1时，结论显然成立；
②假设当n＝k(k≥1)时，ak＝2k＋1，
则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝
＝k(k＋2)．
又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，
所以k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，
所以ak＋1＝2(k＋1)＋1，
即当n＝k＋1时，结论成立．
由①②知，对于∀n∈N*，an＝2n＋1.
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